数学学习路径篇（1）

矫正型小测验是指以学生的普遍错误为素材，以纠正错误、强化方法、形成技巧为目的而设计的小测验。矫正型小测验可以通过题组比较等方式帮助学生分辨相似问题的异同，使他们真正理解这些易错知识的本质，同时掌握与这些易错知识相关的常见习题的解题方法，从而减少学习路径中的障碍。

如配合人教版六年级数学下册使用的作业本（浙江教育出版社出版）第12页呈现了如下这道填空题：

一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积多48立方厘米，那么圆柱的体积是（ ），圆锥的体积是（ ）。

应该说此题是关于等底等高圆柱体积与圆锥体积关系的典型习题，主要检查学生对这两种立体图形体积关系的理解程度。但实际的答题情况并不乐观，全班有7人填了64立方厘米和16立方厘米，还有6人不知道该怎么填，再加上其他错误，此题的错误率超过了40%。经了解，出现64立方厘米和16立方厘米这两个答案的同学都是把48× 的积作为圆锥体积，再把16+48的和作为圆柱体积。看来，学生出错的主要原因还是没有厘清等底等高圆柱体积与圆锥体积之间的关系。为此，笔者特意设计了以厘清圆柱体积与圆锥体积关系为主题的小测验卷，内容如下：

1. 打牢基础。

（1）计算下面各图形的体积。

（2）观察上面几个图形，说一说你的发现。

我发现 。

（3）填空。

①如果圆柱体积是1立方厘米，那么与它等底等高的圆锥体积是（ ），它们的体积差是（ ），它们的体积和是（ ）。

②如果圆锥体积是1立方厘米，那么与它等底等高的圆柱体积是（ ），它们的体积差是（ ），它们的体积和是（ ）。

③把圆锥体积看作1倍，那么等底等高圆柱体积就是（ ）倍，（ ）就是2倍，（ ）就是4倍。

2. 适度发挥。

（1）把一个底面积为12.56平方厘米，高为15厘米的圆锥形铁块铸成一个与它等底的圆柱。这个圆柱的高是多少？

（2）把一个圆柱形木块切削成一个最大的圆锥，削去部分质量是24千克。这个圆锥重多少千克？圆柱重多少千克？

（3）一个圆柱体积是一个圆锥体积的6倍，圆柱底面积是圆锥底面积的一半。已知圆柱的高是12cm，圆锥的高是多少厘米？

3. 充分拓展。

把一个长10cm，宽8cm，高6cm的长方体切削成一个最大的圆锥。这个圆锥的体积是多少？（提示：切削后的圆锥有几种可能？底面直径和高各是多少？）

上述小测验分为三个层次，“打牢基础”是求一组等底的圆柱和圆锥体积，学生通过计算、观察、比较、归纳，很容易得出三者之间的体积关系，即底等底高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，等底等体积的圆锥高是圆柱高的3倍，使学生在头脑中建立起比较清晰的圆柱与圆锥体积关系的立体模型。“适度发挥”是对基础题的应用与深化，通过练习、延伸与拓展，拓宽到等底等体积甚至体积、底面积与高都是倍数关系的情况，这样就开拓了学生的视野，锻炼了学生的思维。“充分拓展”主要考查学生思考问题的完整性，同时也考查学生对数据的选择能力。整张小测验卷由浅入深，由易到难，测试后使学生对圆柱与圆锥之间的体积关系有了更深的认识，取得了预期的效果。

二、 巩固型小测验——消除学习路径中的堵塞

巩固型小测验是指以数学概念的正确理解、数学方法的熟练运用、数学技巧的准确把握为目的而进行的小测验。此类小测验重点考查学生对基本概念、方法与技巧的掌握程度，因此选题时要突出阶段教学的重点，淡化难点，力求使大部分同学都能完成。同时，必须对测试的准确度与速度有相应的要求，从而消除学习路径中的堵塞。

例如，在教学人教版六年级“比例的意义和基本性质”后，为检测学生对所学知识掌握的熟练程度，笔者设计了以比例的意义与解比例为主题的小测验卷，内容如下：

1.基础题。（18分为达标）

（1）求比值。（8分）

3∶5 9∶15 0.8∶0.5 12∶10

∶ 4∶ 0.75∶ ∶

（2）化成最简单的整数比。（6分）

1.2∶0.3 10∶0.1 ∶

∶0.25 0.6∶0.4 ∶

（3）解比例。（6分）

0.8∶X=1∶500 = =X∶0.5

2.发展题。（7、8两题每题2分，其余每题1分。7分为达标。）

（1）把16×18=32×9改写成比例是（ ）。

（2）用12的因数组成一个比例式是（ ）。

（3）用9元钱可以买2kg鸡蛋，总价与数量的比是（ ），比值是（ ）。

（4）走同一段路，甲用了20分钟，乙用了30分钟。甲乙的速度比是（ ）。

（5）甲数与乙数的比是5∶4，乙数比甲数少（ ）%。

（6）甲袋大米的和乙袋大米的一样重，甲乙两袋大米质量的最简整数比是（ ）。

（7）国旗的长与宽的比是3∶2，我校旗杆上的国旗宽128cm，长应是多少厘米？

（8）图上距离与实际距离的比是1∶2000，如果在这幅图上量得甲乙两地距离是8cm，那么两地的实际距离是多少米？

经测试，基础题达标率为91%，成绩比较理想，其错误主要集中在最后一题。发展题达标率为83%，其错误主要集中在4、6、8三题。其中，第4题的答案大多是2∶3，可能是学生把速度比看成了时间比，也有可能是学生根本就不知道如何求速度比；第6题的答案大多是8∶9，可能是学生还没有掌握比例法和假设法这两种解题技巧；第8题的主要错误是没有注意单位的转化。经过梳理与分析，可以看出学生的基础打得比较扎实，下阶段可适当减少计算题，增加解决问题这类题型的数量。可见，巩固型小测验能够巩固学生的“双基”，从而消除学习路径堵塞。

三、 补充型小测验——避免学习路径中的断层

每册数学教材都存在大单元与小单元的情况，大单元内容多，时间跨度大，并且都是本册教材的重点所在，学生在学习过程中容易出现知识疲劳，影响学习效果，甚至还会形成知识断层，导致数学学困生的增加。针对这些大单元，我们有必要补充小测验的次数，变大单元为小单元，及时监控学生的学习，调控自己的课堂教学进度，让学生的学习更加有层次感，从而避免学习路径中的断层。

例如，人教版六年级数学上册的“百分数”单元一共安排了15课时，至少需要3周时间才能学完。为了及时了解学生的学习情况，笔者根据教学进度与教学内容设计了三张小测验卷进行考查，具体为：

结果表明：及时补充小测验的次数可以提高学习效率。可见，在影响学习效果的诸多因素中，及时的检测与评价是非常重要的，它可以提升学生数学学习的层次感，从而更加深刻地掌握大单元知识，达到切实消除知识断层的目的。

四、 整理型小测验——防止学习路径中的拥挤

整理型小测验就是在单元复习阶段，以知识整理为目的，以罗列、列举、画图、框架、举例等方式为手段，以厘清知识之间的关系为目的，以培养学生自主学习能力为目标而进行的小测验。这种形式的小测验难度较大，很多学生难以独立完成，需要教师提供一定的帮助，同时，允许他们适当参考其他同学的成果。

例如，人教版五年级数学下册“因数与倍数”单元的相关概念非常多，学生在学习过程中经常会把有些概念的意义搞混淆。单元内容教完后，笔者要求学生对本单元的学习成果进行整理，整理内容如下：

1.单元知识整理。

本单元一共有几个部分，记下来；仔细看书，找出每个部分有几个知识点，记在相应的方格内；把相反意义的概念放在一起。

2.写出三组意义相反的数的涵义。

（1）（ ）数：

（ ）数：

（2）（ ）数：

（ ）数：

（3）（ ）数：

（ ）数：

3.你认为其他重要的知识还有哪些？

学生整理的过程，也就是对所学数学知识进行全面梳理的过程。通过整理，既可以厘清知识之间的前后联系，又可以明晰单元学习的重点与难点，从而有效防止学习路径中的拥挤。在此基础上，再让学生经历一定量的对比与强化练习，使学生运用知识的能力明显增强。

五、适应型小测验——填补学路中的坑洼

数学学习路径篇（2）

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）26-0036-02

【作者简介】朱桂凤，江苏省连云港市幸福路中学（江苏连云港，222023）高级教师。

2015年中考已经结束，笔者对半年来的中考复习教学进行了回顾与反思。发现在中考第一轮复习后，学生容易出现疲惫状态，数学复习教学呈现出低效现象。为克服此种情形，笔者曾上过一节基于“整体思维”的研究课（“特殊四边形”的复习教学），收到了良好的教学效果。现梳理成文，希望能给复习期的初中数学教学添就新的研究视角。

一、数学整体思维的内涵

整体思维是一种“通体相关的思维”，[1]它强调从整体上把握事物的本质，重视整体与部分的内在关联。把“整体思维”的思想方法用在数学课堂教学中，则体现为问题设计的整体性、知识建构的立体性和思想方法的系统性。整体思维利于知识左右关联、上下贯通，进而让“会一题，通一类，连一片”不再是挂在嘴边的口号;它力促一种复习行为具体化的革新，使得数学复习拥有融合度、匹配度和指向度，刷新数学复习课的旧模式，谋求数学复习教学更为有效的路径。

二、数学整体思维的实践价值

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，要经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握问题解决的一般方法;在运用数学表述和解决问题的过程中，体会数学的实践价值。而整体思维就体现出问题解决方法的一般化和多样性，使得数学复习教学具有“大一统”的眼界。因此，整体思维是数学复习课的精髓，能释放学生数学学习的潜力。

1.顺应学生数学认知发展水平。

初中学生的数学分析思维水平依然偏低，归结问题的能力不足，凝练方法经验的能力欠缺。这些能力的提升均离不开整体思维的参与。唯有借助整体思维，方能实现知识归位、方法到位、经验立位的立体性数学学科价值。

2.契合学生数学学习过程。

根据学生的认知规律，习得知识的过程就是将知识内化的过程。而学生在用整体思维思考问题的过程中，要经过知识的搜索和排序、思想方法的内化和提炼、基本经验的称量和借鉴等序列化思维活动。在此类思维活动的过程中，思维内层积极更新知识，使得同质知识一统、异质知识关联，实现由内而外释放知识的力量，从而建构起充满活性的知识体系。

三、数学整体思维的实践路径

整体思维是数学复习课不可或缺的思想方法。离开整体思维的指导，会压缩学生思维的兴趣，降低知识关联的融合度、弱化数理判断的匹配度、分散方法经验的指向度，使得数学复习课低效甚至无效。因此，必须高举“整体思维”的大旗，方能实现高效复习的初衷，体现学科的育人价值。

1.打通整体思维通道，凸显知识关联。

打通整体思维通道的过程，就是强化知识关联的过程。稳定的数学能力的形成需要教师的指导和学生的实践历练，就这个层面而言，唯有打通整体思维的通道、链接中考、俯瞰概念结构，方能融合知识间的内外关联，落实思维的连续性，预期繁华的思维景象。为此，笔者在复习“特殊的平行四边形”这一节内容时，首先做出如下设置。

【理论铺垫】

（1）特殊四边形的性质表

（2）写一个你认为合适的条件：

要使？荀ABCD成为矩形，需添加的条件是 ;要使？荀ABCD成为菱形，需添加的条件是 ;

要使矩形ABCD成为正方形，需添加 ;要使菱形ABCD成为正方形，需添加 ;

要使？荀ABCD成为正方形，需添加 ;要使梯形ABCD成为等腰梯形，需添加 。

【研究示例】

活动一：测一测

（2007年・连云港卷）如图1，在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA。下列四个判断中，不正确的是（ ）。

A.四边形AEDF是平行四边形

B.如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

C.如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

D.如果ADBC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形

设问：若正确，说明判断依据;若不正确，更改条件使其正确。

案例中的“理论铺垫”项和“测一测”活动项，就是打通特殊四边形关联通道的具体化（站在概念识别与判断的基线上，展示概念的通性和差异）。它们使得孤立的概念群（平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形及其元素），在直观图表的帮助下和整体思维的关联下，融合为一个不可分割的整体（特殊四边形群体的对称性）。填表的过程就是学生利用整体思维关联知识的过程（“理论铺垫”项）;判断正误的过程就是学生整体思维运行的过程（“测一测”活动项）。就教学现场来看，学生的思维活跃，兴趣思维理性化，屏蔽了思维原地踏步的低迷状态，实现了高效的数学复习。

2.和合整体思维方式，强化数理判断。

把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，这是课标对数学教学的要求。这意味着数学复习应该更多地关注数理知识结构和完善学生的数学认知结构，重视数量关系和变化规律的符号化，强调知识与方法的匹配，形成层次分明的知识谱系。和合整体思维透过思想方法洞悉问题本质、获悉解题路径，最终实现数学复习教学的立体目标群（认知目标+动作技能目标+思维目标+情意目标）。为此，笔者设计了第二个教学活动模块。

活动二：做一做

（2013年・连云港卷）如图2所示，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EFAB，垂足为F，则EF的长为 。

追问：还有其他的解法吗？

（中考指南改编题）将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉重叠，叠合部分面积的最小值为 ;最大值为 。

追问：画出图形并说说你的思考过程。

上述“做一做”活动就是和合整体思维的具体体现。就知识目标而言，考查对称图形的本质（等腰三角形、矩形、菱形和正方形）;就技能目标而言，考查数理能力（叠合、勾股定理的本质、角度计量）;就思维目标而言，考查转化、作差、数形结合和极限等思想方法（将图形边长转化为方程），获得最终结果的过程就是整体思维运行的过程;就情意目标而言，则使学生体会到历经思考后获得的成功感，这种成功感是由内而外的。因此，和合整体思维方式是数学复习应有的思维样态。

3.谋划整体思维主题，聚焦经验方法。

整体思维是一种设计视野，但如果没有经验方法的聚焦，则无法获取多维的思维承载体。整体思维是一种方法，但如果没有方法经验的奠基，方法只能是方法论世界的海市蜃楼;整体思维是一种理解数学的方式，但如果没有经验方法的沉淀，这种理解方式只能是句口号（思想方法隐藏在具体知识的背后）。在整体思维下注重经验方法的总结是复习教学的重头戏，因此，笔者在教学的结尾做了如下设计：

活动三：议一议

如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形。

（1）AD与BC有怎样的等量关系？请说明理由;

（2）当AB=DC时，求证：？荀AEFD是矩形。

设问：你是怎样思考的？本题考查了哪些知识点和思想方法？

上述“议一议”活动，第（1）个问题是围绕概念的整体经验进行的，获取数量关系和作出判断的过程就是方法经验外显的过程;第（2）个问题是围绕意象经验的聚焦而展开的，问题分析的过程就是整体经验方法释放的过程。

综上，本案例由“理论铺垫测一测做一做议一议”4个组块构成，组块1是对概念群的回溯与更新;组块2是对概念群的甄别与判断;组块3是对概念群的应用与迁移;组块4是对概念群结构的推演和升华。4个组块在适切主题的承载下有序有向地推进，它们是整体思维在数学复习教学中的具体体现，为数学复习教学的成功提供了保障。

数学学习路径篇（3）

【中图分类号】G63.23【文献标识码】A【文章编号】

在大家的印象中数学往往是用枯燥乏味、晦涩难懂、望而却步等词来形容的，很少有人真正体会到它所蕴含的丰富的美学原理。但在现今的高中学习中数学又是一门非常重要而高考必考的一门学科，那如何学好数学就成畏很多老师和学生讨论的话题了。我们都知道兴趣是最好的老师，学生有了学习的兴趣就会产生强烈的参与意识，才会主动去寻求知识和从事学习活动，从而影响学习水平和学习质量。孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”俄国教育家乌申斯基说过：“没有任何兴趣的强制性学习，将会扼杀学生掌握知识的意愿。”由此可见兴趣是学习知识、培养能力的前提。但是学习兴趣不是天生的，主要在于教师如何引导学生，充分调动学生对学习的积极性和主动性，进而能创造性地学，最终达到优化课堂教学和提高教学效率的目的。数学教学应该怎样去激发学生的兴趣呢？我认为应从以下两方面来激发学生的兴趣。

一、以关爱来激发学生的学习兴趣

以爱学生让学生来爱老师，再来爱老师所上的数学课。我感觉这点在高中的教学中尤为重要，因为高中的学生处在严重的青春叛逆期，如果他不喜欢那位教师，或感觉那位老师不喜欢他，那么相应他也就不喜欢这位老师所代的课了。所以在教学中，首先教师要转变观念，以学习活动的组织者、引导者、参与者的角色参与到学生学习活动之中，从而营造宽松、和谐的课堂氛围，给学生营造心理上的安全感和轻松感。因此，在教学中要努力做到尊重学生的意见，宽容学生的误解，激励学生的创新，鼓励他们独立思考，用赞赏的态度，正确的引导学生，以表扬、鼓励为主，使学生感到春天般的温暖，似如亲身父母。学生喜欢老师，喜欢老师的课，从而激发了学生的学习兴趣。在课堂上，老师一句不经意的话，一个不经意的动作或眼神都会直接影响学生的心理，因此老师要随时关注每一位学生，洞察他们的心理变化，让学生能使可感受到老师的关爱。因为关爱是激起学生学习兴趣的情感基础，所以关爱、鼓励能激起学生学习兴趣。

二、以提高教学水平来激发学生的学习兴趣

在一节课的教学中包含了很多方面，但我认为能激发学生学习兴趣的有以下几点：

（一）老师要有一定的幽默细胞

老师在教学中其实就是一名演员，在心情好或不好时都要以一个兴奋激昂的心态去上课，课堂教学中要用幽默的语言讲述数学中枯燥乏味的定义定理公理。

“幽默”是一位优秀老师必备的素质。有了幽默，才会有课堂上的欢声笑语，才会有学生的兴致勃勃，才会有师生之间的和谐融洽，才会有学生的个性飞扬。前苏联教育家斯维特洛夫说：“教育最主要的也是第一位的助手，就是幽默。”。例如，在一节枯燥的数学课上，老师可以对睡觉学生幽默的说：“请问同学们，你们知道黑板檫除过檫黑板的作用，还有什么作用？”同学们叽叽喳喳时你说“黑板檫还可以给睡觉的同学进行脸部美白。”这样一句幽默的话，既可以活跃课堂气氛，也可以敲击课堂睡觉的学生，老师何乐而不为呢。

（二）数学教学要与实例结合

老师在教学中其实就是一名探索家和创造家。在现有的教学课本及资料里，不是所有的都能将一个枯燥的概念定理以实际的、简而易懂的例子展现出来。这就需要教师发动自己的脑袋探索创造符合实际的例子，来帮助学生理解枯燥的文字所蕴含的真正含义。例如：在高中数学中有一个概念叫赋值语句，我们讲这一内容时，可以用同学们都知道的猴子下上来的故事为例，帮助学生理解这一抽象概念，即能使课堂活跃，也能加深学生对概念的深刻理解。

（三）教学中的“层次性”和“激励性”

每个学生不管是在学习上还是性格上都是有或多或少的差异，这就需要教师在平时的教学和生活上给予不同的教育和帮助。给学习好的和学习主动性强的学生，在学习中应该严格要求，使之在学习中踏实稳步的提高；在生活上应该给予更多地理解和支持，应为这类学生家长的要求一般来说比老师的要求更高，在学习上的压力很大，所以教师就应该帮助他们减压，这样才能使他们有着轻松愉快来正确的面对学习，而不是产生抵触感。给学习差纪律差的学生，我们在学习上应给予更多的是鼓励，使他们能因为教师的一句话看到学习的希望并拥有学习的动力；在生活上，不要应为他们纪律性差而批评他们，他们更需要教师们耐心的纠正其错误，给与时间让其改正。当然学生的学习的进步和坏习惯的纠正也是需要给予肯定和鼓励的，但鼓励要因人而异，对于好学生如果进步了，应给予肯定并提出下面努力的方向，以免骄傲迷失方向；对于差点的学生提出其长处加以表扬，使其在优势方面进一步的同时带动其他方面慢慢提高。

以上是我对高中数学学习的兴趣培养的浅薄认识，希望对各位老师有所帮助。

参考文献

数学学习路径篇（4）

问题是数学的心脏,问题是思维的起点。正如美国教育家布鲁巴克所说:“最精湛的教学艺术,遵循的最高准则就是让学生自己提出问题,自觉学习。”在进行“综合与实践”的教学时,教师要营造良好的氛围让学生“敢问”,创设富有情趣的情境让学生“愿问”,随着问题意识的增强,学生会逐步达到“会问”和“善问”的层次。例如,近年来,雾霾现象成为社会的热点问题,教师引导学生关注雾霾中的数学问题,学生非常感兴趣,小组讨论后提出若干关键问题:雾霾分级的数学标准是什么?雾霾会给人体带来哪些危害?如何对雾霾的成因进行量化分析?怎样进行调查研究……这些真实有效的问题激发了学生高涨的学习热情,他们自发成立了研究团队,分工明确,有人负责调查访问,有人负责拍照取样,有人负责整理数据。研究小组连续12天在固定时间、固定地点对着学校大门上方固定的位置拍照取样,完成实验报告。他们将研究成果对全班同学进行汇报展出,并且联名给市长写了一封环保建议书。

正是这样具有现实意义的问题让学生积极地参与到研究中来,他们主动获取知识,探索问题解决的途径,提升数学思考,发展思维能力。教师激活了学生的问题意识,就打开了学生的思维空间,问题意识让学生的思维插上想象的翅膀在数学的天际自由飞翔。

2.培养学生的应用意识。

长期以来,数学教学中更多地注重技能训练而弱化了知识的实际应用。综合实践活动则是有效培养学生应用意识的重要载体。教师应重视从学生已有的生活经验出发,让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。当学生能有意识地运用知识解决生活问题、学以致用时,就会感受到数学的魅力,成为学习的主人。例如,学习了平均数的知识,教师引导学生解决学校食堂中午至少要做出多少米饭才能让大家既吃得饱又不浪费的问题。首先,指导学生对在校吃饭的人数和每个人的饭量进行调查,如果调查全部人数,会很麻烦,于是引导学生选择一定的样本,在每个年段随机选择5个人调查他们的饭量,调查结果如下:

数学学习路径篇（5）

一、做到前后知识的链接，构建学习框架

高中数学的教学是一个系统的工程，各个学习部分虽然是分开来讲解的，但是在内容的连接上和衔接上都是相互影响和相互作用的，所以在高中数学的学习过程中学生要树立整体意识和全局意识，要把所学的知识整理成一个框架，做到融会贯通，触类旁通和举一反三。每一堂课结束之后学生要及时查漏补缺，对于存在的疑难问题要及时给予解决，新课开始之前要学会对已学知识复习和对新知识预习，这样才能收到温故而知新的效果。教学实践证明，学生对于熟悉的知识一般会感觉到学习轻松，也更容易激发他们的学习兴趣，同时，也有益于提升他们的学习效率和理解能力。在具体的预习过程中，要让学生养成良好的习惯。对于新知识，学生要结合以往的知识进行有效的链接，形成一定的知识框架；在预习之后，学生要主动地结合一些试题去尝试寻找解决的方法，然后再回归课本，反思自身的学习，形成知识汇总和落实学习的重难点。在预习的过程中，学生要做个有心人，能对新课有一个全面的把握，对基础知识有一个认识，为了有效地开展预习，学生可以采用教师的导学案，这样既能做到针对性的预习，又能检测预习的结果。

如，在学习《指数函数的概念》之前，就可以利用导学案引导学生开展预习工作：

1.一般地，函数（ ）叫做指数函数.

2.指数函数的定义域是（ ），值域（ ）。

3.指数函数y=ax（a>0，a≠1）的图象必过特殊点（ ）

4.指数函数y=ax（a>0，a≠1），当（ ）时，在（-∞，+∞）上是增函数；当（ ）时，在（-∞，+∞）上是减函数。导学案中的知识预习从定义到实践，层层推进，环环相扣，只要学生认真地去阅读和思考，这些基本的知识完全可以通过自己的努力去解决，一定程度上促进学习效果的提升。

二、培养良好的学习习惯，提升学生的数学素养

高中数学虽然学习难度较大，但是只要学生认真地听课，做好相关的练习，掌握好相关的知识，可以很好地掌握数学知识，所以，在学习过程中，高中生必须树立良好的学习习惯，让这些好习惯成为提升学习能力的法宝。课堂上要认真做笔记，及时地做好相关练习以巩固新知识。在学习的过程中，高中生切忌被动地接受，而要学会及时反思和总结，对于存在的问题要及时地想方设法地给予解决，切忌拖延，否则就会越积越多，最后导致学习成绩的下降。在学习上，学生的智商差距不会很大，最主要的还是非智力因素起着关键性的作用，比如，学习态度和学习兴趣。为此，高中生要有浓厚的学习兴趣，端正学习态度，做到不耻下问，努力学习，有质疑精神，这样一定会提升自己的数学素养和学习能力。

三、巧用经典案例授课，提升练习的有效性

高中数学有自己的特殊性，它需要一定的练习作为辅助，需要经典的案例给予诠释。所以，高中生在学习的过程中一定要选对辅助教材，在练习题的选择中也一定要做到精简，有代表性。我们这里所说的练习并不是大张旗鼓地开展题海战术，让学生每天都浸泡在题海之中，而是有选择地练习。数学知识来源于生活，所以，在教学过程中，教师就可以给学生选择一些生活中的案例，学生也可以购买一些优秀的辅助练习题本，摘取其中较具代表性的试题来进行深度的剖析，并学会总结与反思，掌握既定的做题策略。实践证明，高中生在充分的数学练习之后能提升解决问题的能力，加快突破口的寻找，也有利于构建知识框架，融合相关的数学知识，以便形成系统化的知识结构。如，在学习完“平面向量”之后，针对可能出现的考试问题，教师就可以让学生做一些具有典型性的例题。如：

1.已知a和b的夹角为60°，|a|=10，|b|=8，求：|a+b|；a+b与a的夹角θ的余弦值？

2.已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量■等。

数学学习路径篇（6）

《培智学校义务教育课程设置标准（2012年6月征求意见稿）》在智能发展领域中明确指出：“要培养智障学生初步学会运用数学和逻辑的思维方式，利用数量和基本数学及相应的科学知识解决实际生活问题的数理运用能力。”要使智障学生具备基本的计算技能、推理能力和思维能力，在社会生活中能够简单进行数据处理、计算推理等数学活动，良好的数感是重要的基础。

对于智障儿童来说，由于其生理或心理功能的缺失或畸形，对于数学学习尤其是概念的形成造成很大的困难，他们不能正确理解数的意义，缺乏用数学表达和交流信息的能力，不能为解决问题而选择适当的方法。因此，培养智障儿童的数感是培智生活数学的主要任务之一。

一、从切身体验与生活阅历中获取数感

学是与一定的社会背景即“情境”相联系，在实际情境中学习，有利于教学意义的建构。生活中处处有数学，因此在教学实践中我们要密切联系学生的生活实际，从寻找身边的数学入手，创设生活情境，唤起其原有的经验，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程，从而建构数学知识的模型。

例如，教师在教学第一学段中计量单元“长度的测量”一课时，可先组织学生到操场去走一走、测一测、量一量，让学生对10米、50米、1千米的长度有一个感性的认识，从而加深对长度单位米和千米的理解与体认。又如，在教学第二学段中的“重量单位”时，教师可带领学生到学校食堂去看一看、称一称、掂一掂各种蔬菜、肉类、大米等原材料以及食盐、味精等调味品的重量，感知100克、1千克、10千克等的轻重不同，让学生建立起克、千克的身体感受记忆。课堂上，教师应准备好称重量的用具，让学生自己动手感知书本、文具等物体的重量。再如，教师在教学第三学段“面积单位”等抽象概念时，让学生在地上量一量、画一画、比一比，让学生站到1平方米中，数数能站多少人，亲身感受1平方米面积的大小……

在数学教学过程中，我们要利用生活中的情景，引导学生发现数学与生活的密切关系，从而激发他们对数学的兴趣，激发他们对数字与数学的感受，培养和形成数感。

笔者曾经听过一位教师执教“年、月、日”一课。教师提出了如下较为抽象的问题：“你能不能结合自己的生活经验说一说 ，一年到底有多长？一个月又有多长？”学生不知道如何回答才好。其实教师可以联系学生的生活经验和切身体验，理解一年、一月的时间跨度。“我今年过生日，到明年再过生日正好是一年。”“我爸爸每月五日发工资，到下月五日再发工资，正好是一个月。”让学生利用自己的生活经验，把抽象的、看不见摸不着的“时间”概念量化、物化、具象化出来，把抽象的数学概念放在具体的情境中去感觉、体验，从而加深学生对数的概念的理解，让他们体会到数学就在身边，感受到数学的价值和作用，同时使得学生获取数感的启蒙。

二、在动手操作与自主探索中体验数感

学习知识的最佳途径是自己主动去发现，因为这种发现最容易掌握其中内在的规律和性质。智障学生也不例外。教学过程中，教师要努力为学生创设各种形式的探索机会，让学生在自主探究的过程中建构数感的模型，获得数感的体验。

例如，“凑十法”是20以内进位加法的基本思路，运用“凑十法”能将20以内进位加法转化成10加几，从而化简为易。对于以具体形象思维占主导的智障学生来说，借助于一定的感性材料，在教师创设的操作情境中摆一摆、移一移，去感悟其中的道理，并逐步内化为自身的经验尤为重要。因此在进行该单元教学时，教师可让学生搭积木或摆小棒，在动手操作过程中初步感知、体验“凑十法”，来逐渐理解20以内进位加法的计算方法。学生在运算的过程中能进一步理解数的意义，使数感得以形成和发展。

如，在第二学段“乘法的认识”教学活动中，笔者制作了课件――动画片《动物园一角》，卡通的情境配上生动的声音，学生立即兴趣高涨。笔者让学生观察画面并提出：“你发现了什么？”学生经过观察后踊跃发言。教师通过情景图提问：“图上有几种动物？（两种，即鸡和兔）它们 是怎样站立的？（兔是每2只站在一起，鸡是每3只一堆）”接着引导学生2只2只地数小兔，3只3只地数小鸡，然后让学生小组合作，自主探索求小兔和小鸡各有多少只。如此，学生在问题情境中初步感知新知的同时也增进了数感。

三、在合作交流与课堂表达中巩固数感

在教学中为学生创设问题情境，让同学之间互相启发，互相讨论学习，学会倾听，从别人对某些数量的描述中发现问题、思考问题，体会数可以用来表示和交流信息，使学生在交流对数的感知时拓展思维，丰富自己对数的认识，从而促进巩固数感。

如，在“时、分、秒”单元教学中，教师让学生相互合作，通过静坐、测脉搏、跳绳等活动体验1分的时长；认识1小时，通过上课、大课间活动等多媒体画面体验1小时。

又如，学生学习了“100以内的数”的知识后，教师安排了巩固练习，内容主要是让学生用100以内的数来描述、表达生活中的事情，感受数学就在自己身边，体会运用数可以简单明了地表示许多现象，进一步巩固数感。教材片断（要求用语言叙述场景图）：我班有12名同学。我家养了15头猪。我们楼里住了20户人家。师：“孩子们，你也能用我们认识的数来说一句话吗？”生1：“我家的闹钟上有12个数。”生2：“我看的一本书共有96页。”生3：“我妈妈买了1箱苹果，共有24个。”生4：”我家住在长阳花园58幢。”生5：“我家的电视机能收70个频道”……

数感的建立不是通过传授的，而是学生通过主动的观察和感知逐步形成的。让学生从生活经验和客观事实出发，从自身接触和经历的有关情境和实例中来体会数、表示数和交流数，数感的概念得到了进一步强化。

四、在数学活动和解决问题中发展数感

前苏联教育家赞科夫说过：“只有当学生把所学知识与生活经验联系起来，才能更好地掌握知识，内化知识。”课堂上，教师设计一些数学活动，让学生在活动中感受数学，发现和思考数学问题，并选择恰当的方法解决问题，有利于发展学生的数感。

在第三学段“统计的初步认识”单元教学中，笔者设计了如下活动：

数学学习路径篇（7）

一、引言

随着近些年国家对素质教育不断地深入开展，人们的教育观念也渐渐发生了变化，各个阶段的教育者正在不停地探索新型有效的教育模式，而小组合作学习就是其中最受师生欢迎的教学模式，并且已经受到不同阶段教育者的重视，说明了小组合作学习在教育教学活动中有着十分重要的影响[1].小组合作学习顾名思义就是以小组为单位，明确每个小组成员的分工内容以及责任，所开展的合作学习活动.在小组学习当中，学生作为主体的性质就会显得特别突出，而教师只需要做好学习的指导以及引导的工作，让学生在整个教学活动中成为主角，对学习当中遇到的问题和知识点进行自主探究和发现，并且通过学生之间的相互讨论和辩证来解决学习问题，并收集所有发现到的知识将其总结，不仅能够提高学生个人的学习探究能力，同时也可以培养学生之间的团队合作能力，更是维护课堂高效学习的重要方法.将小组合作学习的方法应用于小学数学教学课堂当中，可以让课堂氛围保持活跃的状态，提高学生对小学数学学习的积极性，激发学生对合作学习的热情，促进数学课堂教学的高效进行.

二、科学分配小组成员及分工

小组的分配在小组合作学习当中对学生合作学习的效率具有重要的影响，科学合理地分配小组，是根据各名学生的特点将其分配至小组当中，可以让学生充分利用自身的特点在小组中发挥各自的优势，并且起到各自不可缺少的作用，让学生在合作学习中明确自身在小组合作学习中的重要性，使小组合作学习在课堂中紧凑有序地开展，保证课堂教学的高效性.小学数学在进行课堂教学前，教师要掌握好班级中每名学生的数学学习能力以及数学基础水平，并且还要包括性格、兴趣、组织能力和合作能力等方面的情况，才能进行科学合理的分组搭配，提高小组合作学习的效率，促进各个小组之间的相互竞争.教师将学生进行分组时，应该按照小组学生个性的不同搭配，学生之间具有相互补充合作的良好关系，由4至6人为作为一个小组，明确小组组长，由小组组长负责组织和管理，小组成员进行讨论，并且确定每个小组成员的分工，如，专门负责小组活动记录的人、负责材料搜集的人以及代表小组发言人等，可以让小组当中的每个人都充分发挥出自己的作用，避免小组成员中出现无所事事又不知道自己分工的学生出现.比如，在对“长度单位”的学习时，为了让学生学会如何应用本课的知识，教师可以给每个小组分发尺子，并让各个小组的学生同时对桌椅的长度进行测量，开展比赛活动，以各个小组测量桌椅长度的速度作为比赛要求，可以让学生的学习热情高涨，活跃整个课堂氛围，鼓励每名学生积极地参与到比赛活动当中.而在开始测量活动时，每个小组的学生在得到属于自己的分工后，就会有专门的学生负责测量工作、专门的学生负责数据记录工作，还有专门的学生负责整理数据以及发言等，通过每个小组成员的分工合作，让每名学生都发挥出自己最大的作用，提高完成合作学习任务的效率，学会应用尺子测量实物的方法和知识，加深学生对长度单位的认知，有效提高课堂教学效率.

三、合理安排课堂合作学习时间

每个小组都是由4至6人组成，但由于每名学生的学习能力和水平都不同，如果在课堂上不能合理安排合作学习的时间，就会出现只有数学学习能力和水平较高的学生与喜欢发言的学生真正参与到合作学习当中，而那些学习能力和水平较低的学生和比较内向且反应能力较弱的学生很难在有限的时间内进行思考以及完成合作学习的任务，也更难以发表自己的意见.而且，由于时间过短也很难让学生对问题进行深入的讨论学习和交流意，影响到学生合作学习的质量，从而无法达到小组合作学习的目标.所以，教师要合理地安排学生小组合作学习的时间，确保学生能够在充足的合作学习时间内完成相应的小组学习任务，让学生可以深入地思考学习问题，并且讨论出解决问题的方法.比如，根据课堂学习内容的难度，安排不同的合作学习时间，合作学习的时间随着学习内容的难度的加大而延长，让学生能够在较为充裕的时间内进行小组讨论.通常，难度较小的学习内容或不需要让学生太多动手操作的应用问题可以安排5至10分钟的时间让学生进行合作探讨；难度较大并且还要一定的动手操作才能进行探究的学习问题，可以安排12至18分钟的时间让学生深入地进行探讨.同时，教师也要按照具体的学习进度、现场讨论情况以及新问题的出现等情况，适当地调整课堂小组合作学习的时间，确保让每名学生均能有时间对学习问题进行思考、探讨以及解决，促进小组合作学习的深入开展.

数学学习路径篇（8）

二、创设主动参与情景，让学生“做、演数学”

在小学数学教学中，应根据小学生的认知规律及小学生好奇、好玩、好动的心理需求，创设情境让学生主动参与，动手实践。学生在实践操作中手脑并用，理解知识，通过自身的积极实践探索后获得成功，体验到参与之乐。如在教学“长方体的表面积”时，可让让学生课前自制一个长方体，课堂上让学生看一看、摸一摸长方体的各个面，理解什么是长方形的表面积。然后让学生把模型拆开，让学生自己动手测量出长方体的长、宽、高，引导学生认真观察，鼓励学生尝试用多种方法计算长方体的表面积。最后通过比较、分析、归纳，得出长方形的表面积公式。这样学生不仅兴趣更浓，积极性高，而且通过亲身动手实践，理解更透彻，记忆更牢固。有一些知识没有办法直接通过实物演示进行教学，但不进行操作演示，学生又很难理解，此时我们可以寻找生活中的模型，利用模型帮助学生理解，从而解决问题。如教学“行程问题”时，因部分学生理解起来有困难，我就准备了两辆遥控玩具车，让两位学生分别操纵，在讲台上操作演示。这样学生很快就掌握了解决行程问题的方法。学生常常把课堂作业视为负担，我们可以创设让学生主动参与的情景，让学生活学活用，引导学生将书本所学知识应用到实际生活中，运用数学解决生活问题，帮助他们建构系统的知识体系，形成知识的网络系统。例如，在学习百分数应用后，教师可以在课堂上设计这样的练习拓展所学知识：配制含糖20％的糖水，你能做到吗?配制好后，让老师和同学尝一尝。学生一听，积极性很高，都跃跃欲试，果然都配制出了糖水。又如，在学习了“年、月、日”课后，可以让学生根据课上所学知识设计一个精美的新年历。这样学生在创造性的学习活动中，将书本中所学知识运用到实际生活中，不但潜移默化中了提高了学习数学的兴趣，更重要的是训练了思维，提高了综合素质。

数学学习路径篇（9）

1.引言

在数学教学中，学生是学习的主体，而教师是在发挥组织、引导的作用。有效的数学教学不能单纯地依赖课本讲义，不能单纯地讲授定理与公式，而应该引导学生自己动手实践、独立探索。由此可见，在数学教学过程中，老师应注重对学生自主学习能力的培养，为学生搭建一个自主学习的舞台，调动学生自身的能动性与创造性。

2.“自主学习”在小学数学教学中的重要作用

当前，很多小学数学的课堂上，基本上还是处于老师拿着讲义在讲台上讲定理、讲公式，而学生则在下面硬背定理、硬套公式，有时根本就不明白这类数学知识解决的是什么问题，可以在生活的哪些方面使用，从而导致许多学生认为学习数学是没用的，失去对数学学习的兴趣。所以好的、适合的方法在小学数学教学中是十分重要的。

如果学生具有自主学习的能力，可以有效地提高数学课堂教学的效率。在自主学习教学中，首先是老师提出一个问题，让学生带着问题学习，自己查找问题的答案，在这一过程中可以使每个学生都积极地参与进来，发挥自身的主动性与能动性，从而使每个学生在课堂上都有所收获。

另外，培养学生自主学习能力，可以全面发展所有学生。在陈旧的教学模式中，老师只能顾及可以跟上自己讲课进程的中上等学生，而那些接受知识能力差的学生则会被无情地忽视掉，慢慢失去学习兴趣。而培养学生的自主学习，可以让那些接受知识慢的学生合理规划自己学习的进程，让他们在自己合理安排的计划中一步步体验成功的快乐。

最后，每个学生在学习方面都存在着巨大的未开发的潜能，而老师的职责就是把这种潜能挖掘出来。要激发学生的学习潜能，就要老师使用正确的方式。这种方式要告别传统的填鸭式教学，一步一步地培养学生的自主学习能力，挖掘他们的潜能。

3.“自主学习”模式在小学数学中实施的策略

3.1以激发数学思维为目的，建设性地提出问题。

预习是培养学生自主学习能力的重要途径，所以就需要教师在课前引导学生预习。然后抓住此时学生思维活动的特点，再结合学生的实际年龄、智力水平、认识规律等因素提出一个问题，然后学生就会反复阅读教材并根据已知的知识与技能自主寻到新的知识，直到找到该问题的解决方案。在这一过程中，离不开老师的指导与带领，但老师也要掌握好提示的度，慢慢经历由扶到放的过程，让学生逐渐找到自学的技能。

3.2以生活为基础，创设情境。

要想让学生养成自主学习的良好学习习惯，可以在数学教学过程中，让学生进入学习情景，这样不仅把教学内容和学生的真实生活紧密联系起来，还可以提高学生学习的积极性，更深入地学习数学知识，从而达到培养自主学习习惯的目的。

在教学中，可以利用的例子有很多。例如：在学习金钱方面的知识时，可以让一部分学生扮演售货员，另一部分学生扮演顾客，这样不仅可以调动学生学习的积极性，还可以让学生更清楚地知道圆角分的使用；在学习方位的时候，可以引导学生思考吃饭、写字时用的是左手还是右手，然后引导学生分辨方位，这样可以让学生更深刻地辨清出方位。

3.3强调学生之间的数学交流。

强调学生“自主学习”能力的培养并不是说每个学生必须独立自主地完成所有问题，必要的时候还需注重对学生交流能力的培养，团体成员之间通过交流，除了可以发挥群体的积极功能之外还可以提高个体学习能力。

合作交流最常见的形式便是小组讨论，这在课堂上也是容易实现的，在交流之前，每个学生都经历了独立思考，对问题的理解与解决都有了独立的见解，而在谈论过程中，既可以发现别人想到而自己忽略的知识，补充自己的知识储备，又可以为了证明自己的能力把自己的见解提供给他人。如果形成了良性循环，学生就会对数学更有兴趣，学习更有积极性，可以清楚地理解数学问题，培养学生的自主学习能力。

4.结语

每个学生的学习潜能都是非常大的，同时也具有非常强烈的学习愿望。所以，老师要做的就是在尊重、信任的基础上教授给学生重要的学习方法，把学生当成课堂的主人，有效转变传统教学的模式，这样就能使学生在数学学习过程中逐步形成较强的自主学习的能力。

数学学习路径篇（10）

对于小学生而言，他们对所学的知识感兴趣便会专心、专注地学习这方面的知识，在遇到困难时也会积极主动地去钻研和挖掘，因此，提高学生的自主学习能力，就需要激发和培养学生的学习兴趣。在小学数学教学中，培养学生学习兴趣的途径有多种，建立融洽的师生关系、展现数学的魅力、选择恰当合理的教学方式、对学生进行适时的表扬和鼓励等都能够有效地激发学生的学习兴趣。

例如，在选择恰当合理的教学方式中，教师可以尝试将生活实际融入到数学中，使生活化的目标在数学应用题教学中得到更好的体现。让鼓噪乏味的数学问题转化为有趣的实际生活问题，将理论性的知识变得更加生动有趣，激发学生的学习兴趣，同时还能够促进学生对生活实践的了解。再如，教师在教学中要从学生的积极性入手调动学生的学习热情，比如进行《圆》的学习中，先让学生画出汽车轮胎、水桶口的外观形状，从而引入对“圆”的学习，提高学生的主动参与性。

二、创设问题情境，提高学生探索能力

创设问题情境对于提高学生发现问题和解决问题能力具有重要的作用。在数学课堂教学中对相关的问题进行提问，能够有效地实现对教学内容的导入。课前、课中以及课后问题的设置对课堂教学效果的提升具有重要影响，并且各个问题之间的有效衔接能够更好地引导学生思考，提高对问题和知识的把握和理解程度。教师要根据教学内容设置课前问题，以有效地引导学生进行预习，提高学生的自主学习能力和学习兴趣。课中问题是实现高质量教学的关键，同时也是引导学生积极参与课堂、进行课堂互动的有效方式。课后问题的设置，可以让学生加深对课堂学习内容的理解，在自主学习中探索更加深层次的问题，从而有效地提高学生的自主思考能力和解决问题的能力。例如，教师在比例尺的教学中，首先给学生讲解比例尺的基础知识，让学生对比例尺有所了解，然后教师就可以提出具有引申性的问题，如“比例尺在生活中有哪些具体的应用”。学生可以通过对比例尺的概念以及计算方法的理解，从而发现生活中的地图、玩具模型等都是应用了比例尺的原理。学生在对问题进行思考和解答的过程中，不仅加深了对比例尺基础知识的理解，还提高了学生自主学习的能力。

三、营造良好氛围，实现学生轻松学习

良好的教学氛围对于提高学生的自学能力具有重要的影响，处于轻松、愉快的教学氛围中有利于发挥学生的积极性，提高学生的参与度，从而提高学生的自主学习能力。因此，在小学数学教学中教师要改变灌输式的传统教学模式，改变沉闷的教学氛围，采取有效的措施营造轻松愉快的教学氛围，提高学生的积极性和主动性，提高自主学习能力和水平。教师在对学生询问的问题进行解疑时，不仅要注重问题的解决，更重要的是发挥点拨和指导作用，让学生有所思，有所悟。例如，教师在对平行四边形面积问题的讲解中，让学生自主研究和探索平行四边形面积求解与边长、高以及三角形面积求解的关系，让学生在思考中理解和掌握平行四边形的面积公式，同时加强与其他知识学习的联系性，提高学生自主学习的能力。

四、丰富教学形式，增强学生数学感知

小学数学教材本身便是一个丰富多彩的数学王国，在教与学中会涉及到各种问题，比如基本的单位、计算方法、平面和立方体等。教师在对不同的内容进行讲解时，可以创设不同的教学形式，丰富学生的学习生活。首先，数学理论教学难免枯燥乏味，甚至有些理论比较抽象，这就要求教师擅于将抽象的概念通过具体的方式表现出来，将深奥的道理简单化，将枯燥的课堂教学趣味化。在进行课堂教学中，教师可以利用多种辅助教学工具，比如各式各样的教具、网络多媒体或者是进行有趣的课堂教学游戏，在教学中尽可能地吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，增强学生的数学感知，为学生进行自主学习提供动力。例如，教师可以采用新颖有趣的教学方法进行教学，在进行乘法教学之前，教师可以引导学生一起玩一个计算游戏，看谁计算的最快，接着教师将计算的题目展现给同学：2+2+2+2，3+3+3+3+3+3，4+4+4+4+4+4+4。在小朋友进行紧张的计算时，老师就可以立马将答案写出来，以此引起学生的好奇心。然后，教师进行算法解密，便是应用了乘法运算，从而进入到对乘法运算的学习中去。其次，教师在教学中要注重教学内容与生活实际的紧密联系，实现数学知识的实际应用，让学生在学习中体会到数学源于生活、用于生活、生活中处处有数学的道理。提高学生对数学知识和问题的真实感知，从而将学生的注意力集中到问题解决上，提高学生的学习能力和热情。