数学中的分析法篇（1）

在初中数学学习阶段中，函数部分主要包括了一次函数和二次函数。本文针对一次函数的知识结构和教学方法进行分析。一次函数，用公式表示就是y=kx+b（k≠0）。一次函数不仅在数学的教学中是重要的知识点，而且在日常生活中也得到了非常广泛的运用。通过对学生进行调查，了解到大部分学生认为一次函数知识的学习较为困难。因此，需要对一次函数的教学特点、教学方法进行分析，旨在能够有效的提高初中数学函数的教学质量，达到预期的教学效果。

一、注重提高学生的学习兴趣

函数是初中数学教学的重要核心内容，其思想方法涉及到方程、求极限、代数式以及几何等方面的内容，其对于培养学生的逻辑思维能力具有十分重要的作用。对初中一次函数进行教学时，要注重结合生活实例，来对一次函数的知识点进行扩展，这样有利于极大的提高学生的积极性和学习兴趣，并提高一次函数教学的质量和效果。兴趣是最好的老师，因此，在教学过程中，教师通过引进生活中的实例，这样有利于拉近函数与学生的距离，进而引起学生的好奇心和求知欲。另外，教师在引进一次函数的生活实例时，教师运用情境创设法，创造出和一次函数知识点有关的情境，提出相应的问题，引导学生对问题进行分析、思考和讨论，实现一次函数知识内容和现实生活的紧密联系，进而引导学生运用学到的一次函数知识来解决现实生活中的实际问题。在学生进行解决的过程中，进而提高对知识的理解掌握能力，最终实现一次函数的教学目的。

二、结合一次函数的知识特征

由于一次函数是初中数学教学中的重点和难点，所以，要引起对这块知识的重视度。教师在进行初中一次函数的教学过程中，对一次函数自身的知识、特征进行了解，找到一次函数知识内容的重点内容，构建全面系统性的教学思想体系，对一次函数知识内容进行实践教学，进一步提高学生对一次函数知识点的理解和掌握能力，有效的提高课堂的教学效率。

由于函数知识内容在初中阶段的数学教学过程中属于基础知识，并且是学生第一次接触的知识。因此，在对初中数学的一次函数知识进行教学时，通过对学生的接受能力进行了解，设计出生动有趣的教学内容，探寻函数教学知识的学习规律和方法，最终提高学生的学习兴趣。例如，教师通过对一次函数概念的本质进行分析，让学生了解到一次函数的公式：y=kx+b（k≠0），其中k、b为常数，k≠0，x属于自变量，b=0，一次函数公式可以作为正比例函数公式。由此，让学生了解到，正比例函数是一种特殊的一次函数，在具体的解题过程中，将探索验证的结构运用在解题思考的过程中。

三、运用数形结合的方法

由于函数具有抽象性的特点，单从公式来看，不能清晰的了解到公式所表达的内容。因此，在进行一次函数的教学过程中，对一次函数的解析式与函数图像之间的关系进行了解，运用数形结合的方式，给学生渗透数形结合思想，进一步开展一次函数的教学实践。在函数的知识结构中，对一次函数公式进行表示，可以通过运用函数的解析式或者函数图像的方式，来对函数公式、自变量的变化规律进行充分的表达，并让学生了解到函数的解析式与函数图像之间的关系。

在开展一次函数的教学实践中，教师要注意加强对学生进行一次函数解析式和图像关系的分析与探寻，在解答一次函数问题的过程中，强调学生运用数形结合的方式，解决一次函数问题。例如，对于一次函数y=kx+b（k≠0），对其函数解析式和图像关系的分析时，由于常数k和b可以取不同的值，所以，受到常数k、b取值不同因素的影响，一次函数所列出的解析式情况也就不同。那么，将常数k和b取值上的变化给函数解析式造成的影响，代入到函数图像的关系分析中，将常数k、b取值结果的正负情况表现出来。例如，当k>0且b>0，那么函数的图像必定经过一、三象限，函数值y随着x的增加而不断发生变化，函数图像和y轴的正半轴相交；同样的道理，当k

除此之外，还可以运用对比的方法，通过对一次函数和正比例函数进行对比，运用类比的方法，进行开展一次函数教学实践。由于正比例函数是一次函数中的特殊表现形式，所以，在进行一次函数的教学时，对正比例函数和一次函数进行对比，让学生掌握了解一次函数特殊形式的规律，提高其运用能力。还可以运用待定系数法进行一次函数的解题，给学生传授解题思想。

三、结语

总而言之，函数教学知识点在初中的数学教学过程中是其中重要的内容，因此，在教学的实践过程中，教师要通过结合函数相关的理论教学知识，了解学生的接受能力，运用科学、合理、行之有效的教学方法，营造生动活泼的教学氛围，有利于极大的调动学生学习函数的积极性，让学生树立学习自信心，最终有效的提高初中数学教学的质量水平、学生的学习效率和成绩。

参考文献

数学中的分析法篇（2）

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。 而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。 而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。 因此，教师在小学数学教学中，要使“数学方法”与“数学思想”结合，于无形之中让学生在学习数学的时候了解到解决问题的思路以及由来，从而培养学生的解决问题以及数学能力，从而学会独立借用数学思想解决问题。正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”， 要让学生知道如何解决这道题的同时，更知道解决问题的思想，从而受到启发，能解决于此类似或相关甚至变换、延伸出来的问题，提升学生数学素质。

一、数形结合的思想方法

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

二、集合的思想方法

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。 　三、化归思想

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。

例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1／2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3／8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？

这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1／2（或2 3／4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3／8米的整倍数，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍数”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。

四、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

那如何加强数学思想方法的渗透呢？

数学中的分析法篇（3）

一、初中数学中的数学思想和数学方法分析

初中数学中的数学思想和数学方法主要有以下几种：

（一）数形结合思想

数形结合思想是初中数学最基本、最重要的思想之一，对数学问题的解决有重要的作用。在初中数学教材中，以下内容体现了数形结合思想。一是数轴上所有的点和实数之间是一一对应关系。二是平面上所有的点和有序实数是一一对应关系。三是函数式和图像的关系。四是线段的和、分、倍、差问题。五是在三角形求解时，在边长和角度计算中，引入了三角函数，以代数方法解决三角形求解问题。六是在“圆”章节中，圆的定义，圆的位置关系，圆与点的关系都是通过数量关系进行处理的。七是在统计中，统计的第二种方法和是通过绘制统计的图表来处理，通过图表能够反映出数据情况和发展趋势。

（二）类比思想

在初中数学中，类比思想的应用也比较普遍。但两个数学系统元素的属性相同或是相似时，可以采用相同或者相似的思维模式。主要表现在以下几个方面：一是不等式。二是二次根加减运算。三是角的比较，角平分线，角的度量可以与线段知识进行类比分析。四是相似三角形与相似多边形。

（三）整体思想

整体思想主要运用于图形解答中，将图形作为一个整体，对已知条件和所求结果之间的关系进行分析，从通过有意识、有目的的整体处理来解答问题。整体思想能够避免局部思考的困惑，简化问题。

（四）分类讨论思想

在数学问题解答过程中，由于解答对象属性的差异，导致研究问题结果会有很大不同，这就需要对解答对象的属性进行分类分析，在研究过程中，如果出现了不同的情况，也应该将其独立出来进行分析。通过分类讨论思想，能够化繁为简，让事物的本质能够显现出来，这样能够方便问题的解决。在综合题目解答时，通过已知条件，对图形变化情况进行分析，找出解决问题的方法，在几种方法的对比分析中，归纳出正确答案。

（五）化归思想

化归思想是一种比较常见的数学思想，通过转化过程将未解决的为题转化为已解决的问题，将复杂为题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。化归思想在初中数学中的应用范围非常广泛，尤其是在综合题解答时，题目所给出的已知条件比较分散，很难找出简单的解题方法，这时就可以采用化归思想，对题目中的已知条件进行分析，在转化过程中缩短与结论的距离，这样能方便找出解题的方法。化归思想主要体现在以下几个方面：一是在求解分式方程时，可以将分式方程和转化成一元二次方程进行解答。二是在直角三角形解题中，可以将非直角三角形转化成直角三角形进行解答。三是在多边形或者三角形面积或线段解答时，可以将其转化为相似比问题进行解答。

二、在初中数学教学中，数学思想和数学思维渗透的方法

（一）抓住渗透契机，及时引导学生

初中学生的数学知识还比较频发，其抽象思维能力、空间想象能力较差，在数学方法、数学思维独立出来进行学习还比较困难。这就需要教师在教学过程中，抓住数学思维和数学方法在课堂教学的渗透契机，重视数学公式、法则、定理、概念的形成发展过程，让学生在学习过程中能够开拓思维，在数学思想和数学思维的领悟过程中，解决具体的数学问题。在数学思想、数学方法渗透过程中，教师应精心设计，在潜移默化中引导学生发现各种数学思想和方法。以二次不等式为例，在解答二次不等式问题时，可以结合二次函数的图像来帮助学生记忆和理解，总结归纳出了二次不等式的解集应为“两根之外”“两根之间”两种。通过数形结合思想，不仅有利于二次不等式的学习，还能巩固二次函数的知识，完成新旧知识之间的过渡。在概念、定理、法则、公式等数学结论导出的过程中，教师应创设必要的问题情境，为学生提供各种感知材料，让学生明白数学结论的产生发展过程，在这一过程中，还能通过观察、归纳、类比、检验、假设、尝试等方法完成数学思想、数学方法渗透的过程。

（二）分阶段分层次组织教学

（1）分阶段组织教学。主要分为孕育阶段和形成阶段。在孕育阶段，数学思想和数学知识的渗透主要基于数学内容的组成结构。从数学教学内容来看，一般是由两条线索组成的。因此，在数学学习中，应特别重视知识的积累，教师应积极引导学生寻找数学知识中包含的数学思想和数学方法， 在横向联系中感受到数学的魅力。以一元一次方程为例，学生在解答此类问题时，一般只注重解题步骤，而忽视了解题的思想。通过变形处理，将方程转化成ax=b（a≠0）。由于学生对化归思想不了解，导致方程训练的目标并不理想。在形成阶段，指的是学生对数学知识有了一定的了解和掌握，能够逐步形成数学思想和数学方法，并有意识地将数学思想和数学方法运用到解题中去。在这个阶段，教师应有意识地引导学生总结、概括性的数学知识，引导学生发现数学知识隐藏的数学思想和数学方法。以二元一次方程组为例，在该章节中，化归思想的应用比较普遍，将二元方程组转化成一元方程来解答。在教学过程中，教师可以列举一个实例，学生通过一元一次方程能够解答这个问题，再要求学生以二元一次方程组进行解答，通过对比发现，通过消元处理，能够让学生认识到化归思想的精妙之处。

（2）分层次组织教学。在初中数学教学中，教师应熟悉数学教材，挖掘数学思想和数学方法，对这些知识进行认真研究。再根据学生的认知能力、知识掌握程度、理解能力和年级差异进行由易到难、由浅入深贯彻数学思想、数学方法。数学学习是通过课堂教学、复习巩固和练习题的过程完成的。因此，数学思想、数学方法需要长期的数学学习才能形成。同时，在数学学习中，应重视对旧知识的巩固，形成一个完整的数学体系。如在一次函数的学习中，可以采用乘法公式进行类推处理。在二次函数学习时，可以将一元二次方程结合起来，在重复性学习中，让学生真正理解和掌握数学思想和数学方法。

三、总结

随着新课程标准的推行，初中数学的教学理念和教学方法发生了很大变化。在教学过程中，如果只注重数学知识的传授，而忽视了数学思想、数学方法的教学，对学生数学学习会产生不利影响。数学是一门抽象性、概括性较强的学科，数学知识的学习很难让学生系统性地掌握数学学科的全部内容，学生的学习也仅停留在知识学习的表面。而忽视知识的学习会导致数学教学流于形式，因此，在数学教学中，应将数学思想、数学方法与数学知识的教学活动有机结合起来，才能提高数学教学的效果，实现素质教育的人才培养目标。

参考文献：

[1]高海霞.浅谈数学思想和数学方法的教学[J].教育实践与研究：中学版（B），2011，（17）：64-64

[2]曾锦华.初中数学教学中数学思想和方法训练探析[J].成才之路，2011，（35）：39-39

[3]蓝国坚.浅谈在初中数学中渗透数学思想和数学方法[J].中国科教创新导刊，2010，（27）：61-62

数学中的分析法篇（4）

随着人们对教育认识的深化，教育模式也逐渐受到人们的重视。当前的高中数学教学中，大部分教师都还是采用传统的教学方式，这种教学方式不利于学生学习效率的提升，对教师教学有效性的提升有着一定的阻碍作用。而数学分层教学法就是在这种背景下产生的具有创新意义、效益最大化意义的教学模式，能够帮助学生的学习效率以及教师的教学效率都得到最大限度的提升。

一、高中数学教学中分层教学法概述

1.分层教学法

分层教学法是在当前教学模式不能够满足所有学生需求的基础上衍生出来的，具体是指，教师在了解了学生的基本情况后，按照综合评价的某种标准对学生进行不同层次的划分，学由高到低进行分层，教师针对这种分层情况开展有区别的教学活动。该教学法能够使每个层次学生都在教学中获得知识和能力的提升。

2.分层教学法的优点

分层教学法是在解决当前数学教学中学生缺乏针对性教学现状的基础上发展而来的，其主要作用表现为以下两个方面。

（1）帮助学生在数学学习中获得成就感

当前的传统教学法，教师的教学活动主要是根据班级中中等知识能力水平的学生开展的，这使中等以下的学生很难跟上教师开展教学的节奏，从而失去学习的信心。

而通过分层教学法，教师会针对知识能力水平较差层次的学生开展适合他们基本情况的教学活动，从而使他们体会到数学学习的乐趣，在学习中不断树立自信心，从而提高他们在数学方面的知识能力水平等，进而帮助他们在数学学习中获得成就感。

（2）有利于不同层次学生通过教师的教学获得有效的提升

当前传统教学方法中，中等层次的学生较为适应教师的教学，能够从教师的一系列活动中获得提升。可是，对于低层次和高层次的学生来讲，当前的教学内容与他们的学习需求并不匹配，不能够使他们的学习获得有效的提升。

使用分层教学法后，不同层次的学生都能获得适应自己层次的教学，从而摒弃了低层次学生听不懂、学不会、跟不上的学习现状，也不会出现高层次学生认为教师的一系列教学活动过于简单而无法真正提升自己的情况，有助于学生获得学习效率的提升。

二、如何在高中数学教学中使用分层教学法

1.了解每个学生在数学方面的基本情况

在高中数学教学中使用分层教学法的首要前提，就是了解每个学生在数学方面的基本情况。教师只有正确掌握学生的现状，对学生有一个综合、有效的评价，才能对学生有一个合理有效的分层，为后续教学活动的开展做铺垫。

2.按照一定的标准将学生进行分层

在了解了学生的基本现状后，教师就要对学生进行分层。教师对学生进行层次划分是有一定的标准的，具体来说，是指学生对数学知识的掌握情况、数学知识能力水平现状、数学知识应用能力、数学思维方式方法、数学学习兴趣浓厚程度等一系列指标的综合。教师要将这个综合评分中的每一部分进行量化分析，从而按照量化的综合分数来进行分层。

3.对不同层次的学生开展有区别的教学活动

教师要针对不同层次学生的现状开展有区别的教学活动。一系列有区别的教学活动主要包括教学目标要求、教学内容要求、作业布置难度、测试检验等。这些有区别的教学活动的开展有利于学生能力水平的综合提升，对教师教学有效性的提升十分有益。

综上所述，分层教学法是当前高中数学教学的发展趋势，分层教学法是建立在教师对学生的完全认识以及完全了解的基础上开展的。分层教学法有利于学生在学习中取得成就感，能够制订有利于学生学习的计划，开展最适合学生能力水平的教学活动，能够帮助不同层次的学生获得知识能力水平的提升。教师在教学中，要在了解学生基本情况的基础上，对学生的数学能力、数学知识水平以及数学思维能力等方面进行综合评价，并且按照这种评价进行层次的划分，对不同层次的学生开展不同的教学活动，从而最大限度地提高教师教学的有效性。

数学中的分析法篇（5）

一、数学方法的特点

1.数学方法一般具有高度的抽象性，可以在数学题目中只保留数量关系和空间形式。2.数学方法在逻辑上有高度的严密性和对最后结论的确定性。3.数学方法具有广泛的应用性和在运算上的可靠性，当然由于不同数学题目对相应数学方法的要求也不同。数学方法本身具有的特点是数学解题过程中一种手段也是一种工具，总结一下，数学方法具有逻辑性、抽象性、严密性、可靠性、广泛性和普遍性的特点。

二、 中学数学解题过程中常用的几种数学方法

（一）不完全归纳法

不完全归纳法就是将一些较为特殊的数学问题进行抽象提高，再通过研究分析将其中存在一般属性和规律进行总结。一般具有以下特点：

（1）有一定的事实基础，对问题判断的范围小于结论应当判断的范围。

比如：我们在探究多边形内角的求和公式的时候就是通过先计算一些多边形的内角和慢慢摸索其中的存在的规律然后归纳出n变形的内角和。

具体方法如下，由多边形的一个顶点画出所有的对角线，就会发现四边形被分成2个三角形，五边形被分成了4个三角形直到十四边形会被分成12个三角形，通过这种方法会发现被分出的三角形个数总是比多边形边数少2个，三角形的内角和是180°，就可以推算出n边形内角和的计算公式为（n-2）×180°。

（2）得出的结论可能出现错误

比如对函数方程式y=x2+x+41中是否x取非负整数，y都会是质数的判断的时候，x的取取值我们通常是从0开始，然后再是1，2，3，4，……慢慢会发现对应的y值为 41，43，47，53，……，1601，也都是质数，由于很少有人会将x取值取到40所以很容易认为这个判断是正确的，但是就是在x=40时，y对应的值就为1618，而1618能够被1和本身整除，也能够被41整除显然1618就不是质数而是合数，所以最后的这个结论的判断是错误的，所以这样用不完全归纳法就很容易出现错误。

（3）得到结论后判断结论是否正确，需要通过理论证明和实践的检验

比如：1+8=9 即13+23=32=（1+2）2

1+8+27=36 即13+23+33=62=（1+2+3）2

……

在计算中我们可以推算出

13+23+33+ ……+n3=（1+2+3+ ……+n）2=

然后用数学归纳法发现这个结论是正确的。

（二）建立数学模型

在解数学题目的时候将语言的文字描述，提炼出合理的数学模型，然后分析和解决数学问题的同时通过调查和研究，了解问题表达的信息，再进行抽象简化后用数学符号表达成数学式子，然后在通过计算得到模型的结果，用结果来解决实际的问题，最后再进行实际检验。

在建立数学模型解题时一般遵循以下几个步骤：1.对数学题目有全面的理解，围绕题目的问题选择适当的方法。2.结合题目的问题作为建模的目的，对建模的对象进行简化抽象。3.在对模型假设的基础上，要有充分的依据和尽量简单化，便于问题的处理。4.利用所学的数学知识对模型进行解答。5.对解答后的数学模型进行确认和检验，然后对模型进行运用。

比如：小明用6000元买了一台电脑，现在首先支付了1200元，剩下一部分钱进行贷款形式支付，依照每月900元在6个月内还清，现在要求计算贷款的利率是多少？

解题方法：首先对本题可以建立直观的模型。把生活的实际问题转化为数学问题，也就是要按每月还贷800元进行计算，得出21个月的贷款利息为600元的年利率。

可以得出还款的期限是 = 年

设利息为i 600=800× i× 即i=42.86%

（三）数形结合法

数学中的分析法篇（6）

中图分类号：G623.5

在我国，初中数学教学通常是以学科教学大纲为教学基准的。学生在升入初中时，因个人及家庭等因素的影响导致学生个体差异较大，从而在学习基础上也表现的各有不同。数学是一门系统性、科学性较强的学科，它的严密的体系和知识结构决定了数学教学学习必须按照可接受原则。学生在日常学习中如果某个知识点掌握不到位很容易对后面所学知识造成影响。所以教师在教学的同时应该特别关注学生的个体差异，实施分层次教学法做到因材施教。

1、分层次教学的意义

分层次教学是一种适合因材施教的教学方法，又是新课程理念的要求。它结合学生的自身特点进行教学。不同的学生具有不同的学习动机、学习兴趣、学习能力和学习方法等都有不同，这些不同中智力水平差别是最影响学习效果的因素。针对不同学生确定不同的教学目标，采用不同的教学方法才是因材施教。分层次教学是根据学生的不同划分层次，主要是按照成绩差别来分层，按照不同层次的学生进行教学组织，是符合因材施教的要求的。教师是按照学生的实际能力提出不同层次的目标，让学生自己选择适宜自己的教学目标，同时在学习中表现为达成目标所作出的积极行为。

2、分层教学实施的原则

在分层次教学法实施的过程中应该遵守以下原则①在分层时把学习成绩相近的学生分为同一层；②在确定各层次教学方法、目标、作业、练习时，应让学生跳一跳，才能达到为宜，在分层中感受到成功的快乐；③因为各层次教学要求不同，所以在课堂上以学、议为主，教师要善于激趣、指导、引思、精讲，调控好各层次学生的学习，做好分类指导；④分层是可变的动态的，有提高的可以升级，有退步的可以转级，保证分层结果保密；⑤对各层次学生的评价，按照纵向性原则。

3、初中采取分组数学教学的实践

⑴教学目标的分层。给不同层次的学生制定不同的目标和要求，数学教师可根据教学大纲的要求，从而针对不同的学生制定不同的教学内容，对于数学基础较好的上层学生，他们学习数学的兴趣和动力较强，应尽量提高学生的听说读写能力，增加课外教学内容，开阔学生视野。对于下层的学生，应尽量降低一些要求，尽量让其能够对课本的基础知识能够掌握即可。

⑵授课内容和方式的分层。对于不同层次的学生使用不同的教学内容，这是进行分层教学的直接要求，也是实现分层教学的重要保证，教师应根据教学层次和教学目标的要求选用不同的教材，对于基础知识较好的上层学生，应加强其听说外延思考能力，重点培养学生的思考方式，让学生对一个问题采取多种解决方式，对于基础知识较弱的下层学生应注重在夯实基础的上，提高自身的数学基础知识的理解和简单应用上。

⑶课堂练习的分层。分层练习是分层教学的重要环节，其目的在于强化各层学生的学习效果，及时反馈、检查学习效果，把所掌握的知识通过分层练习转变成技能，实现逐层落实学习目标的效果。教师要在备课时，根据学生实际和教材内容精心设计课堂练习的不同层次，在设计三个不同层次的练习时，要遵守基本要求相同，激励个体发展的规则。

⑷课后训练的分层。课后训练分层是指教师在授课之后，根据学生的能力和水平布置不同的作业，简单来说，其可以分为必做题和选做题两部分，其中必做题中是一些基础知识和简单综合题目，这给基础较差的学生提供了练习的机会。选做题是一些相对难度比较大的综合题目，可以有效满足上层学生的求知欲，提高学生学习数学的兴趣，同时也能提高学生的发散思维能力，同时，通过做一些较难的题目，查找自己的不足，防止优秀学生滋生骄傲自满情绪。

⑸课外辅导的分层。分层次教学的目标是减小层次差别。教师要培优补差，利用课余时间积极开展第二课堂，要重点对低等层次学生的辅导，监督他们认真完成作业，对有所进步的学生及时进行表扬。教师要按照循序渐进的方法，从起点开始，耐心地做好辅导工作。积极改变传统教学弊病是优化教学过程的需要，发挥分层次教学的优势，不断提高数学教学质量。

4、初中数学分层教学体会

⑴课堂教学是搞好分层教学的关键。优化教学方法，做好常规课前、课中、课后的各项工作，认真钻研教材，课堂教学真正体现“教师为主导，学生为主体”的教学思想，并结合学生实际，合理创设情境，诱发学生的认知需求和创新欲望，使学生从情感、思维和行为上主动参与学习；使学生充分认识到自己教学主体的地位，充分营造各种环境，让学生融入到教学环境中去。

⑵做好课后辅导工作，提高教师素质。同许多初中教师一样，笔者也感到现在的学生在学习习惯、学习态度和行为方式上都出现了一定的滑坡，而且这种下滑趋势在短期内似乎还难以逆转。作为刚升入初中的新生，很多学生缺乏学习的自觉性和主动性，时常不能按时完成基本学习任务，甚至出现厌学情绪；针对这种现状，课外辅导和心理沟通就显得尤为重要。为了帮助他们树立学习的信心，初中教师必须通过各种措施对初中学生进行心理辅导，很多时候，课堂教学中只要能够做好学生的心理辅导，课堂教学任务就成功了一大半，笔者在课堂教学中经常有意识地通过一些浅显易懂的问题为他们提供发言机会，给他们自我表现的机会，同时对他们在学习中的点滴进步，都给于表扬和鼓励，使他们重新树立起学习的勇气。

5、结语

综上所述，初中学校的数学分层教学是一种因材施教的表现，它不仅可以促进初中数学教学改革，还可以激发学生的学习兴趣。分层次教学是以学生的不同个性为参考依据的，可以使各个水平上面的学生都能学到相关知识。在教学过程中应该明确注意到层次目标分明，内容难易适中，加强学生双基训练以此来确保学生的个性发展，达到教育教学的最终目的。

数学中的分析法篇（7）

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）33-0097-03

极限是数学分析课程中最重要、最基本的概念之一.极限思想贯穿数学分析课程内容的始终，极限计算是数学分析课程中的一个重要内容.极限计算的方法分布在数学分析课程的不同章节，学生不能很好地系统地掌握极限计算的方法。对此笔者根据自己多年的教学在这方面进行一些总结，对数学分析中的极限计算方法进行系统的分析探讨，让学生掌握极限计算的各种方法，开拓学生视野，培养学生的综合解题能力。

一、极限计算的基本方法

1.利用极限的四则运算法则计算极限。利用极限的四则运算法则求极限是最基本、最直接的方法，但必需注意适用的条件极限.有时可以直接利用极限的四则运算法则即能计算，有时可能无法直接利用极限的四则运算法则进行计算，这就要求我们对所给的对象进行化简、变形处理，然后再利用四则运算法来计算。

2.利用两边夹定理计算极限。利用两边夹定理可将考虑的对象进行适当缩小和放大，从而得到原对象的极限。

3.利用单调有界准则计算极限。这种方法适用于求数列的极限，应用单调有界准则计算数列的极限时，首先可用数学归纳法或不等式的放缩法来讨论数列{xn}的单调性和有界性，然后再令■xn=a，然后解关于a的方程，从而求得出■xn=a.

4.利用两个重要极限计算极限。利用两个重要极限计算极限关键在于将考虑对象化成满足重要极限条件的形式.

5.利用洛必达法则计算极限。这种方法适用求未定式■型和■型的极限计算，其他的未定式极限都需先化为■型或■型后再求极限，但要注意这种方法只适用于导数存在的形式。

6.利用函数的连续性计算极限。因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的，所以如果f（x）是初等函数，且x0是f（x）的定义区间内的点，则■f（x）=f（x0），从而计算极限就等于计算该点处的函数值。以上方法是计算极限的基本方法，作为大学数学专业的学生是必须熟练掌握的。

二、极限计算的一些特殊方法

1.利用左右极限计算极限。函数f（x）在x0处极限存在的充要条件是在该点处它的左极限及右极限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.这种方法对分段函数求极限问题应用尤为重要，它是计算分段函数求极限问题的有力工具。

例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分阶函数，计算f（x）在分阶点处的极限只能通过计算该点处它的左极限及右极限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1.

2.利用无穷小的性质计算极限。

例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）（0，0）时是无穷小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0.

3.利用等价无穷小计算极限。利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，同时还应该熟悉一些常用的等价无穷小。

例3.计算■■.分析：由于■-1：■（x0），1-cosx：■（x0），于是■■=■■=1.

4.利用导数定义计算极限。由于f'（x）=■■，从而可以利用导数定义计算极限。

例4.证明：若f'（x0）存在，则■■=2f'（x0）.分析：将题中极限表达式变形为导数定义中的极限形式表示即可证明。

5.利用定积分定义求极限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的极限转化为定积分■f（x）dx，转化过程掌握好两个关键：一是由f（ξi）确定被积函数f（x），二是由Δxi确定积分区间［a，b］.当在定积分存在的前提下，我们选取区间［a，b］某种特殊的分割T和区间［a，b］一个特殊的点集{ξi}，可以得到一类特殊的和式的极限，从而可以利用定积分解决此类函数极限的求值，即当所求极限的表达式或经过变换后的表达式是一个 n项和的形式时，可以考虑用定积分定义来计算， 其关键在于把和式写成积分和的形式。

例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 对所求极限进行变形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］区间上的一个积分和.这里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■为小区间 ［xi-1，xi］=■，■的左端点，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■.

6.利用级数收敛的必要条件计算极限。利用级数收敛的必要条件：若■un收敛，则■un=0.运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。

例6.求■■.分析：设un=■，由比值判别法知■un收敛，这样就得到了■■=0.

7.利用微分中值定理或积分中值定理计算极限。

例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■满足积分中值定理的条件，从而在0，■至少存在一点ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.

8.利用麦克劳林展开式或泰勒展开式计算极限。设函数f（x）在x=0的某个邻域内有定义且f（n）（0）存在，则f（x）的具有皮亚诺余项的麦克劳林展展开式为f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），对某些较复杂的求极限问题，可以利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式来求极限。

例8.计算■■.分析：利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是将上两式代入所求极限即得■■=-■.

9.利用级数的和函数计算极限。计算此类极限时常可以辅的构造一个函数项级数使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例9.计算■■（-1）n■x2n+1.分析：设S（x）■（-1）n■x2n+1，从而只要计算出S（x）即能计算所求的极限。利用函数项级数和函的分析性质容易计算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■.

以上归纳了数学分析课程中计算极限的一些方法，当然还有一些其他的计算方法.在讲授完数学分析的课程之后，教师如果能系统地对极限计算方法进行总结，并适当布置一定的数量的课外习题让学生去做，要求学生根据题目的不同灵活选择适当的方法，一定起到事半功倍的效果，那么学生对有关极限的计算就比较容易解决了，从而培养提高学生分析和解决问题的能力。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北：崇文书局，2003.

[3]常敏慧，杨建雅.新建本科院校数学分析习题课教学模式探讨[J].运城学院学报，2010，28（2）.

[4]杨泽恒.数学分析课程极限理论教学的一些实践与思考[J].大理学院学报，2007，（6）.

数学中的分析法篇（8）

一、数学教学设计中任务分析的含义、作用

1. 任务分析的含义

任务分析（本文指的是狭义的任务分析，以下同）是一种教学设计的技术，指在开始教学活动之前，预先对教学目标中所规定的，需要学生习得的能力或倾向的构成成分及其层次关系详加分析，为学习顺序的安排和教学条件的创设提供心理学依据.

2. 任务分析的作用

在数学教学设计中进行任务分析，可以促进教学设计的优化，起到沟通学习论与教学论的桥梁作用.

（1）任务分析可促进教学设计的优化

传统的备课（狭义的教学设计）过程是：确定单元或课时的教学目标，分析重点、难点，然后围绕课堂教学5步骤，即复习提问—讲授新课-巩固新课—课堂小结—布置作业进行设计，写出教案.但对于教学目标是怎么得来的，运用何种理论采用何种学习方法把教学目标变成学生的学习结果，教师则很少关注.这种凭着教师经验作出的教学设计，往往停留于模仿，缺少心理学理论的指导，很难达到教学设计的优化.教学之所以常常不能支持学习，其中一个重要的原因是设计者未能进行任务分析，使自己陷入冗长的、不适当的和重复的教学过程.因此，光靠教师的教学经验是远远不够的，我们还需要利用科学的方法——任务分析，对学生和学习任务加以严密的分析，促进教学设计的优化，以达到最好的教学效果.

（2）任务分析是沟通学习论与教学论的桥梁

知识分类学习论告诉我们，知识有不同类型，其学习过程和条件也不同.任务分析以课时或单元教学为单位进行，通过分析揭示教学目标所规定的必须实现的终点能力背后的知识结构及其类型，区分出终点目标，使能目标和起点能力，分析学习者要达到这个目标所应具备的内外条件，并根据分析的结果，针对不同知识的类型，提出教学过程的顺序，说明采用何种教学方法、技术和媒体，使“教学有法，教无定法，教有优法”.可见，任务分析以分析学生的学习为核心，以促进学生的发展为宗旨，使教学成为学生学习的有力支持条件，更符合教学和学习规律，起到了沟通学习论与教学论的桥梁作用.

二、数学教学设计中任务分析的方法

狭义的任务分析仅从课堂教学的层面、只进行课堂设计所需要的、围绕教学设计环节以实现设计优化为宗旨来进行分析，其过程主要包括以下几个步骤：

1. 陈述教学目标

教学目标是预期的、在具体情境下学生行为变化的结果，是用“学生学会了什么”的说法来表示的.教学目标的陈述要求定位准确、要求具体、效果明确、可以观察和可以测量.例如课例“合并同类项”的教学目标的陈述：

（1）能识别同类项， 说出合并同类项的含义.

（2）能运用规则合并同类项.

（3）给出任意5个可以运用合并同类项的题目，能正确运用合并同类项且正确率达到80%为合格.

（4）初步感受数学的简洁美和换元的思想方法，养成独立思考的学习习惯.

上面所述的教学目标，其特点为：主体是学生，用无主句式表述. 行为动词“能识别”“ 说出”“ 能运用”等都是具体的、可以明确地操作的表述学习结果的行为动词.其中“正确率达到80%为合格”为变化规定了的合格标准. 所以本课时教学目标的设计是自然的、合理的.

教学目标的确定，直接关系到教学的成败.教学目标在教学中具有导向的功能，主要表现在导教、导学和导评价.教学目标对教学过程有指引作用，能使教学中师生的活动有明确的方向，指导教学方法、技术、媒体的选择与运用.将教学目标分散在课的每一个环节，让学生知道教学目标，可提高教学目标的刺激作用，激发学生的学习动机.例如，当学生知道了同类项的含义后，教师提出“同类项有什么作用？”“怎样去合并同类项？”“合并同类项的规则怎样去研究？”等问题，让学生知道接下去要学习的将是什么（教学目标），就能起到导学的作用.具体明确的教学目标，可以准确地评价学生的学习效果，如设计教学目标（3）来评价学习，就能做到客观和公正.

教学目标是实施教学的出发点和归宿，教师为完成教学目标教学，学生为达到目标而学.然而，课堂教学是一个动态生成的过程，通过激发学生的潜能，还会生成一些课前教学设计中没有预先设定的目标.但是，生成的并非都是科学的，它可能会使教学处于无序、混乱的状态，影响教学目标的实现，因此，教师必须对课堂中生成的目标进行科学的选择和规范，将科学的、有价值的学习目标纳入教学目标体系中，使生成目标变成有序的教学目标.

2. 分析学习结果类型

现代认知心理学从信息加工的观点，把个体习得的广义知识分为陈述性知识和程序性知识两大类.陈述性知识又称语义知识或言语信息，它回答世界是什么的问题. 程序性知识是办事的一套操作步骤，其中又可分为两个亚类，一类为对外办事的程序性知识（智慧技能），另一类为对内调控的程序性知识（认知策略或策略性知识）. 该理论进一步认为，程序性知识学习的前身是陈述性的，陈述性知识学习本质是必须保证所表示的新信息（事实、概念、规则等）进入学生原有认知结构的适当部位.如果要将陈述性知识转化为办事的技能，则必须保证它们在充分的变式条件下得到适当练习，以便于它们日后在新的变化环境中应用.

根据现代认知心理学的知识分类学习论，当我们分析或确定某节课的学习类型时，不仅要考虑知识两大类型的划分，而且要看每类知识的学习处于何种阶段.例如中学生学习合并同类项的最终目的是用它去办事，熟练地解决有关数学问题，因此“合并同类项”这节课是作为程序性知识来学习的.就学习阶段而言，理解并能说出同类项的概念到理解并能说出合并同类项的规则，这一阶段的学习是处于陈述性阶段.接着，设计例、习题的变式练习，让学生运用合并同类项的规则来解决问题，将陈述性知识转化为程序性知识，此时，是作为程序性知识来学习的. 因此课题“合并同类项”的学习类型是“概念和规则”的学习.事实上，对于数学学科来说，中学生学习数学概念和数学规则的目的都是为了解决问题，因此，中学数学学习的知识都是程序性知识.

知识有不同的类型，它们的学习过程既有相同之处，也有不同之处，因此它们的学习条件既有相同也有不同. 对学习结果的类型进行分析，体现不同学习结果类型需要不同的教学方法的思想.例如，在陈述性知识的学习阶段，教师要注意通过设计正反例的辨别，再进行正例的识别；在程序性知识的学习阶段，教师则要通过设计变式训练，让学生的数学技能达到自动化程度，将知识转化为能力.

3. 分析学生的起点能力

起点能力，是指在学习新知识之前原有的知识技能水平.奥苏贝尔的同化论认为，人的大脑里的知识结构网络是在学习过程中通过原有知识对新知识的同化而不断扩展的. 新知识要获得意义，学生认知结构中不仅应具备原有的知识技能，而且原有知识技能必须处于“激活状态”. 在数学教学设计中，教师首先要考虑学生头脑中的原有知识技能水平，并选择适当的教学方法，将学习新知识所需要的原有知识技能“激活”或“植入”，以便于把新知识固着在已有的认知结构中.

例如，合并同类项这节课，由于前面知识的学习，学生已具备的起点能力：

（1）学生已经能正确进行有理数的加减法计算.

（2）学生已经能识别怎样的代数式是单项式，并能指出单项式的系数、指数.

（3）能说出多项式的意义，并能指出多项式中的项数、次数和常数项.

（4）能对一个多项式按某个字母作升降幂排列.

在数学教学中，教师一旦了解学生的起点能力，就会有的放矢.于是，教师设计问题1作为本节课的引入.

在学生完成问题1的基础上，教师继续指出：这个多项式看起来有点“繁”，出于对数学简洁美的追求，我们能否将这个多项式化得简单一点？带着这个问题，我们从写出的多项式的项入手开始研究，请看问题2.

问题2：你能将下列单项式分类吗？并请思考：你为什么这样分类？你是根据什么标准来分类的？

问题1中涉及多项式、单项式及单项式的系数、指数等概念，是学习合并同类项知识的“生长点”.接着，让学生带着问题“能否将这个多项式化得简单一点”入手对写出的单项式进行研究，目的是让新知识在“生长点”的基础上自然而然地生长出来.

读完全文，你将看到本节课还突出贯穿化简多项式这条主线，从提出问题“能否将这个多项式化得简单一点”，到建立同类项的概念、合并同类项的规则等数学模型，最后返回到对开始提出的多项式进行化简及赋值计算，体现了问题解决、数学建模的教学思想.

数学教学只有以学生原有的知识技能水平为基础，以“最近发展区”定向，才能有效地促进学生的发展.

4. 分析使能目标

在从起点能力到终点能力之间，学生还有许多知识技能尚未掌握，掌握这些知识技能是达到终点目标的前提条件.从起点能力到终点能力之间的这些知识技能被称为使能目标.从起点到终点之间所需要学习的知识技能越多，则使能目标也越多. 使能目标分析的方法，一般是从终点目标开始，运用逆向设问法，反复提问并回答这样的问题：学生要掌握这一水平的技能，需要预先获得哪些更简单的技能？一直分析到学生的原有起点为止. 例如，课题“合并同类项”的使能目标我们可以这样分析：学生要能运用规则合并同类项，那么学生就要知道合并同类项的规则，为此，学生就需要知道同类项的概念，学生要知道同类项的概念，就需要会辨别怎样的单项式是同类项.于是得到从起点到终点之间的使能目标如下所示：

使能目标之（1）：通过观察能辨别怎样的单项式是同类项.

使能目标之（2）：能说出同类项的意义并能正确辨别同类项.

使能目标之（3）：通过实例能说出合并同类项的含义.

使能目标之（4）：能根据规则合并同类项.

使能目标的分析是为了确定先决知识技能.因为学生原有的学习习惯、学习方法、相关知识和技能对新学习的成败起着决定性的作用. 另外，由于智慧技能经由辨别、概念、规则、高级规则，有着严格的先后层次关系，高一级的学习以低一级的学习为基础，低一级的学习是高一级学习的先决条件，因此，作为高一级智慧技能先决条件的较低级智慧技能必须全部掌握.

任何知识都有其系统的内在联系，使能目标的分析揭示了知识内在的系统规律，体现了知识结构序列性和学习的层次性，找到了从起点能力到终点目标所走的台阶. 如在学习合并同类项的知识时，它的使能目标必须按学习代数式的项什么是同类项怎样合并同类项的层次发展，前一个目标是后一个目标的必要条件，后一个目标是前一个目标的转化和发展，是一个低层次知识向高层次知识转化的过程，因此使能目标又体现了学生思维发展的规律性.

一旦分析清楚了起点能力、使能目标和终点能力的先后顺序，教学步骤的确定就有了科学的依据，我们就能较好地把握教学要求，设计出明确的教学过程，选择合适的教学方法.例如，合并同类项这节课，根据使能目标设计的教学过程片断（略去了其详细的教学过程）：

问题2：你能将下列单项式分类吗？并请思考：你为什么这样分类？你是根据什么标准分类的？【完成使能目标之（1）】

在学生回答的基础上，让学生概括出同类项的意义.

问题3：辨别下列各组是不是同类项，并说出为什么.【完成使能目标之（1）和（2）】

问题4：在小学里我们就知道：3只小猫 + 5只小猫 = （3 + 5）只小猫 = 8只小猫，如果把这个算式中的小猫分别换成x，y2，ab2，请你写出得到的三个等式.然后仔细观察这三个等式，思考：它们的运算有什么特点，从中能得到什么规律？其理论依据是什么？

当学生通过自己的独立思考，再合作交流得出并能说出合并同类项的规则时，那么学生也就完成了使能目标之（3）.

问题5：化简：

这样，我们就得到了由简单到复杂、先概念后规则这样一个比较合理的数学教学序列.

5. 分析学习的支持性条件

任务分析除了必要性条件的分析之外，还要进行支持性条件的分析.支持性条件与必要性条件的区别在于：必要性条件是构成高一级能力的组成部分，支持性条件虽不是构成新的高一级能力的组成部分，但它有点像化学中的“催化剂”，有助于加快或减缓新的能力的出现.分析学习的支持性条件， 其一是学生的注意或学习动机的激发，其二是认知策略的支持，其三是陈述性知识与程序性知识的相互转化与支持，其四是多媒体技术的支持.例如，本节课教师采用问题驱动的教学策略，引起学生内心的冲突，激起学生的情趣和思维；将数学简洁美的思想、换元的思想、数学建模的思想渗透于数学学习之中；采取让学生先独立思考后合作交流等自主学习的形式；适当的信息技术的使用等.这些学习的支持性条件，能帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律.不但促进了新能力的习得.而且为学生创造了有意义的学习经历，达到了较好的教学效果.

综上所述，任务分析是教学设计中其他环节的基础，为实际的教学工作选择具体的教学方法与确定何种教学步骤，也是发现教学过程中存在问题的一种方法.在教学设计中进行任务分析，教师能达到有效地教学和促进学生有效地学习的目的.

【参考文献】

[1]皮连生. 智育心理学[M]. 北京：人民教育出版社，1996.

数学中的分析法篇（9）

新课标指出现阶段的数学教学应面向全体学生，使所有学生都能够真正学习到有价值及必要的数学知识，同时还应使不同的学生在数学上获得不同的发展。然而，传统的教学方法已经很难适应当前的初中数学教学。为此，将分层教学法应用到初中数学教学中就显得尤为重要。

一、分层教学及开展分层教学应遵循的原则

1.分层教学法

分层教学法是目前课堂教学中较为实用的一种教学方法，具体是指在学生个体特点存在明显差异的情况下，为了达到不同层次的教学目标，教师有针对性地对学生采取分层次教学的一种方法。在同一个班级中进行教学时，应按照学生个体情况的不同，开展分层教学，这就要求教师不仅要对学生进行分层，同时还要对其学习目标进行分层，通过这样的分层可以使课堂教学活动的开展更具针对性、更有目的性，进而使每一名学生在学习的过程中都能学有所得。由于初中学生的心理认知规律已经基本形成，为此在实施分层教学时，教师应遵循这一规律进行课堂教学，这样才能获得意想不到的教学效果。

2.开展分层教学应遵循的基本原则

（1）因材施教原则。该原则要求教师应以学生的实际情况为出发点，并按照学生的个体差异有针对性地开展课堂教学，以此来实现教学目标。这一原则的根本就在于强调学生之间的个体差异，由于学生的接受能力和知识水平均有所不同，故此教师在应用分层教学法进行教学时，必须从学生的个体特点出发，进行因材施教，这样才能真正发挥出分层教学法的最大作用，进而达到提高教学效果的目的。

（2）循序渐进原则。这一原则主要是指教师在运用分层教学法时，应根据科学的逻辑性和学生的认知发展来进行教学，重点应突出学生知识层次和思维能力的培养，使学生可以更为系统的掌握数学这一学科中的基础知识以及应用方法。

二、分层教学法在初中数学教学中的应用效果分析

1.学生分层效果分析

在初中数学教学过程中，对学生进行分层是分层教学法的重要环节之一。学生分层不仅要切合实际，不能偏离学生的实际情况，而且还要合情合理，避免伤害到学生的自尊心，从而影响学生的学习积极性。学生分层可以从两个方面进行，一方面是针对刚入学的新生进行分层，可根据学生在小学时的毕业成绩为主要分层依据，需指出的是这种分层应当是暂时性的，当学生学习成绩有所进步或退步时，则应进行重新分层，这样有利于调动学生的学习积极性；另一方面是班级内的学生分层。一般可将班内学生分为优等生、中等生和偏差生这三个层次，教师在分层时必须掌握好尺度，并且要认真了解每一个学生的具体情况，各个层次中的学生数可按照班级实际情况而定，尽量不要按固定的数目来安排学生，同时应在每次考试以后进行重新分层，这样不仅能够激发学生的上进心，而且也更容易完成教学任务。

2.教学目标分层

在对学生进行分层以后，为了有效地提高教学效果，应对教学目标进行分层。具体方法是针对不同层次的学生制定不同的教学目标，并采取不同的教学策略，这样才能充分地体现出分层教学的作用。例如，对于优等生，可以设计一些难度较大的问题并积极鼓励其在完成课堂教学内容的前提下进行自学，这样有利于培养其创新思维能力；对于中等生，首先要求他们能够对课堂所学的基础熟练掌握，在此之上为其设计一些一般难度的问题，这样可以拓宽其理解和思维能力；对于偏差生，教师应通过多提问、多鼓励、多辅导的方式，增强这部分学生的基础，并激发他们学习数学知识的兴趣，在为其设计问题时，应以简单的问题为主，并适当参入一些稍有难度的问题，这样可以调动起他们的求知欲望。通过对不同层次的学生制定不同的教学目标，能够有效地提高教学效果。

3.教学内容分层

教学内容的分层应以上述两种分层为前提，这样有利于教学内容细化。教师可通过由浅入深、由易到难、分层设疑、分层提问的方式进行教学内容分层。这就要求教师在课堂教学中，既要考虑到全体同学的要求，又要顾及到不同层次学生的个体差异。只有全方位地进行考虑才能真正使教学内容分层发挥出应有的作用，进而达到提高教学效果的目的。

4.评价分层

以往对学生的评价，几乎都是凭借一张考试卷来完成的，这种评价方式过于单一，弊端也是显而易见的。而分层评价不但重视对学生学习成绩的评价，而且更注重的是发展和发掘学生各方面的潜在能力，帮助其建立自信心，这也是对学生学习过程的一种肯定。评价分层的最大特点就在于评价的多元化，如果只重视结果评价，不重视过程评价则会使学生努力的过程被忽视，这有可能打消学生的学习积极性，从而起到反效果。通过多元化评价，可以更好地鼓励学生在各自的起点上不断前进，这样每个学生都会获得成功的喜悦，必然会使学习形成一个良性循环，学生学习成绩的提高就是对教学效果最大的肯定。

总而言之，通过大量的实践证明，分层教学法在初中数学教学中的应用效果是显而易见的，分层教学在对学生的智力因素和非智力因素予以充分利用的基础上，有效地激发了学生学习数学的兴趣，学生的学习积极性也被这种教学方法充分地调动，其在为学生创造愉悦学习环境的同时，减轻了学生繁重的学习压力，进而大幅度提高了学生的学习效率。

参考文献：

[1]苏英.浅谈新课程标准下初中数学分层教学[J].时代教育（教育教学版）.2008(3).

数学中的分析法篇（10）

1.数学思想与数学方法

在数学这一学科浩瀚的知识海洋中，有很多数学家都提出了广为人知的数学思想方法，例如伽罗・瓦的群论、牛顿-莱布尼兹的微积分、笛卡尔的解析几何和欧几里得的公理化思想.因为不同人的看待视角不同，因此关于数学思想方法，没有一个标准定义.大家公认的是恩格斯关于数学的定义：“数学是关于客观世界数量关系和空间形式的科学”.《现代汉语词典》定义思想是客观存在的，反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果.

因此根据前辈们的定义和个人的理解，笔者认为，数学思想就是对数学规律的总结，是根据具体的数学知识而提炼出的观点，是解决数学问题和建立数学模型理论的指导思想.而数学方法就是解决问题的途径.

2.数学思想与数学方法的联系与区别

数学思想与数学方法这二者的联系主要体现在，数学方法是数学思想的表现形式，每一种数学方法必然来源于某一种数学思想.这二者的区别主要在于，数学思想是理论，具有概括性和普遍性的特点，而数学方法则是解决问题的途径，具有明确性、具体性和可模仿性的特点.

3.数形结合思想

高中数学中有很多基本的且重要的数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、特殊化与一般化思想、类比思想、函数与方程思想和化归思想等.刚刚提到的这些数学思想几乎概括了高中数学的所有内容，下面主要介绍一下本文的重点数形结合思想.

数形结合思想方法就是，在研究数学问题过程中，用图形来表达数的内容，用数来研究形的思想方法.其实质就是既要分析数量关系，也要分析几何图形，将数与形结合起来，寻找解题方法的一种思想.

二、数形结合思想的应用形式

形式一：从数到形，以形论数.对于一些表面上看起来属于代数类的问题，可以先画出图形，将其中的数量关系的结合特征形象地表示出来，图形经常会简化解题的步骤.比如一般在答关于双曲线的和的最小值的填空题时，将图形画出来，很容易看出解题的关键就是双曲线的定义，而不是用常规的思想解[JP3]析法解题，这对于考生来说在高考考场中可以大大地节省时间.[JP]

形式二：从形到数，以数论形.答题时根据图形特征找出相应的表达式，将图形题变成代数题，来解决代数问题.比如随便给你一个函数图象，问你在给定的区间内有几个极小值，此时解题的关键就是要联想到函数的增减变化性质.

形式三：数形结合，互相转化，互相补充.就是在解决一些比较复杂的数学题时，要将二者结合起来相互转化、相互利用.比如在证明，若0

三、 应用数形结合思想方法解题时遵循的一般原则

原则一：等价性原则.在数形的相互转换过程中，代数性质和几何性质的转换必须是等价的.比如，有时由于图形的局限性，图形的性质只是一种直观的说明，会造成解题失误.

原则二：简单性原则.当我们找到解题方法后，代数方法、几何方法和二者兼用，这三种方法中哪种方法简单就采用哪种方法.

原则三：双向性原则.即在进行代数抽象的运算时，还要进行几何图形直观的分析，二者结合，优势互补，简化解题步骤.

四、数形结合思想在高中教学中的应用

1.在教材中深入挖掘数学思想方法

新版高中数学教材相对于旧教材，增加了算法、统计与概率新内容，减少了数学计算方面的要求.这些变化实际体现了新的教学理念，另一方面这些变化的关键点就是加强了数学思想方法的教学，尤其是数形结合思想.比如，人教版必修一在讲述函数单调性这一章节内容时，都借助了函数图象.必修五不等式这一章节，在解绝对值不等式这类题型中，有两种教学方法，常规方法就是先去绝对值再求解；另一种则是利用绝对值的几何意义进行解题.教材中有很多这种类型的题，只有挖掘到足够的深度，才能掌握数形结合思想方法.

2.在教学活动中渗透数形结合思想方法

《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.”教师在备课过程中，应精心设计每一个教学环节，让每一个学生参与进来，让数形结合思想方法渗透在教学活动中.例如在讲解空间几何时，应通过展示实例来加深同学们对空间几何体的理解，进而在形的角度完成知识的学习过程，达到真正的数形结合.

3.在讲授知识的过程中适时地渗透数形结合思想方法

第一、概念教学.数形结合思想方法蕴含于数学知识之中，知识是蕴含于数学概念的形成过程.教师在概念教学时，运用数形结合的思想方法，有利于学生对概念的理解和记忆.例如在讲数列的通项公式时，若将等差和等比数列的通项公式和前n项和公式用函数图象表示，学生就很容易记住对应的通项公式和理解相应的最值问题.

第二、例题教学.教师在讲解例题时渗透数形结合的思想方法，学生很快会记住并使用数形结合思想方法.因为在高中阶段，学生在很大的程度上将教师作为模仿对象，因此，教师在教学中，一定要挖掘出例题中所隐含的数形结合的思想方法.