数学中的反证法篇（1）

在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.

一、反证法的基本概念

1.反证法的定义

法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.

2.反证法的基本思想

反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.

3.反证法的逻辑依据

通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

二、反证法的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设.假设原命题的结论不成立；

2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

即：否定结论推导出矛盾结论成立.

三、反证法的种类

1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.

2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.

四、反证法的典型例题

例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.

证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.

因为OA=OB，M是AB中点，所以OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.

五、反证法的使用条件

任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.

虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.

例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.

分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.

因此，对于下列命题，较适用反证法解决.

（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.

例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.

参考文献：

[1]赵振威.中学数学教材教法[M].华东师范大学出版社，2000.

[2]刘世泽.反证法的逻辑依据[J].高等函授学报，1997（4）.

[3]耿素云.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]赵杰.反证法―――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.

数学中的反证法篇（2）

1.1 某些具有唯一性的命题

在中学数学中，唯一性的问题比较常见，也是很平凡的一类数学问题，而要对于这些唯一性的命题加以论证，用我们常用的直接推理方法是很难证明的，也是不能直观启示我们解决这种问题，通过图形的启发，有利于得到证题的途径，那么解决这类问题最好的方法就是采用反证法，能够简便的证明唯一性的命题。

由此来看，在应用直接证明法证明问题时，要尽可能画出准确图形，这样可以通过图形的直观启示，有利于找到证明的途径，而反证法却恰好不同，它往往为了清楚地说明问题，常常需要画出某些不准确的图形，甚至不存在的图形，从而进行归谬证明，这就是反证法的基本特征之一。

1.2 结论为“不是”“不等”“不平行”或“必是”“必过”等否定或肯定的命题

在结论给予的是否定或肯定的命题时，通常采用直接法是很难得出证明途径的，就算能够经过分析法、综合法多种方法的合用能够加以证明，但证明过程相当复杂，而且难度很大，此时，我们通常采用“反证法”。

1.3 某些结论以“至多”“至少”等形式出现的命题

像“至多”或“至少”这样的问题，通常可以从相反的意义“至少”或“最多”来考虑问题，那么这类问题就简单多了。

1.4 用反证法证明“无限”类的命题

有些命题要证明结论中涉及“无限”的形式，如：要证明具有某种性质的元素有无穷多个，一般来说不容易直接证明的，而“无限”的反面是“有限”，以“有限”为前提进行推理论证就要方便多了。

综述，以上四种类型的问题，是中学数学中应用反证法最基本、最典型的几类问题。

2 反证法中怎样推出矛盾

2.1 与“反设”矛盾

例如：如图2-1所示，已知在ABC中，BEAC于点E，CFAB于点F，求证：AB=AC

证明：假设AB≠AC，若AB>AC，

SABC= AB・CF，

SABC=AC・BE，BE=CF，

AB・CF>AC・BE

即：SABC>SABC，这是个矛盾，

若AB

假设不成立，即：AB=AC

2.2 与“已知条件”矛盾

例如：如图2-2所示，在四边形ABCD中，AB+DB≤AC+CD，

求证：AB

证明：假设AB=AC，则在ABC中，

∠ACB=∠CBA，

但∠BCD>∠ACB，

∠BCD>∠CBD，

BD>CD，

BD+AB>CD+AC

这与已知条件AB+DB≤AC+CD相矛盾，

若AB>AC，在ABC中∠ACB>∠CBA，

又∠BCD>∠ACB

∠BCD>∠CBA 而∠CBA>∠CBD，

∠BCD>∠CBD BD>CD

AB+BD>AC+CD

与已知条件AB+DB≤AC+CD相矛盾

综述，AB≠AC，AB≯AC，AB

2.3 导致自相矛盾

例如：求证：方程8x+15y=50没有正整数解

证明：假设方程8x+15y=50有正整数解，x=x0，y=y0

则：8x0+15y0=50

8x0=50-15y0=5（10-3y0）5是8x0的约数，

因此，5是x0的约数，x0≥5

又8x0=50-15y0，y0是正整数，y0≥1，

8x0≤50-15=35

x0≤35/8 这与前面推出的x0≥5相矛盾，

故，方程8x+15y=50没有正整数解

2.4 推出与已知的定义、定理、公理、性质矛盾

例如：已知点A、B、C、D是平面内4个点，其中任意两个点不在同一条直线上，求证：总能在其中选出三个点，使其三点组成的三角形至少有一个不大于45°。

证明：假设在点A、B、C、D中任三点所构成的三角形的所有内角都大于45°，可分两种情况：

⑴ 若点A、B、C、D成凸四边形（如图右）则假设∠ABD、∠CBD、∠BAC、∠DAC、∠ADB、∠CDB、∠ACB、∠ACD都大于45°，

则：∠ABD+∠CBD+∠BAC+∠DAC+∠ADB+∠CDB+∠ACB+∠ACD>8×45°=360°，

即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC>360°，

这与四边形的内角和为360°矛盾。

⑵ 若点A、B、C、D成凹四边形（如图2-4-2），连结AC、BD，假设∠ABD、∠ABC、∠ACB、∠ACD、∠ADC、∠ADB都大于45°，

则∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC+∠ADB>6×45°=270°，

即：∠DBC+∠BCD+∠CDB=270°

这与三角形的内角和为180°矛盾，

由⑴、⑵可知，命题得证。

在中学数学中，反证法中的矛盾大致由以上四种矛盾灵活组成，只要推出矛盾存在，则假设不成立。推出矛盾是反证法中的关键步骤，也是反证法中的必要步骤，通过矛盾来肯定结论。

3 总结中心论点及其反证法的错误使用和结果

数学中的反证法篇（3）

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

反证法的证题模式可以简要的概括为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能会迎刃而解.

例1直线 ∥b，b∥c，那么直线 与c平行吗？为什么？

学生通过自学之后再小组讨论，很容易应用反证法想到：若直线 与c不平行，则与平行公理矛盾，从而得到结论.

例2 证明2为无理数.

假设2为有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，使得：2=pq，于是p=2q.

两边平方得p2=2q2.

由2q2是偶数，可得p2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此，可设p=2s，代入上式，得：4s2=2q2.即：q2=2s2.

所以q也是偶数.这样，p、q都是偶数，不互质，这与假设p、q互质矛盾.

这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即2不是有理数.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

图1例3 如图1，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.

分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.

证明：假设AC平面SOB，因为 直线SO在平面SOB内， 所以 ACSO，因为 SO底面圆O， 所以 SOAB，所以 SO平面SAB， 所以平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.

注：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.

例4已知三个方程x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0，

x2+2ax-2a=0.

至少有一个方程有实根，使求实数a的取值范围.

分析： 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.

解： 设三个方程均无实根，则有：

Δ1=16a2-4（-4a+3）

Δ2=（a-1）2-4a2

Δ2=4a2-4（-2a）

解得-32

a13

-2

即-32

所以，当a≥-1或a≤-32时，三个方程至少有一个方程有实根.

注：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（≥0） 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.

例5 给定实数a， a≠0且a≠1，设函数y=x-1ax-1 （其中x∈R且x≠1a），证明：①.经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图象.

分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.

证明： ① 设M （x ，y ）、M （x ，y ）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，

即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

因为x1≠x2，所以a=1， 这与已知“a≠1”矛盾，

因此，假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.

② 由y=x-1ax-1得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，所以x=y-1ay-1，

即原函数y=x-1ax-1的反函数为y=x-1ax-1，图象一致.

数学中的反证法篇（4）

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02

法国数学家达玛说：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。在数学教学中，作为一名教师不仅要重视知识的传授，更应该重视对学生进行智力开发和能力培养。反证法是突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，无疑是一种开拓思路的方法，可以增强学生的学习兴趣和思维转换能力，对提高学生的分析问题和解决问题的能力将大有益处。

一、反证法的概念

反证法就是从否定命题的结论出发，经过推理，得出和已知条件或和其他命题相矛盾的结论，或在推理过程中得出自相矛盾的结论，从而达到命题结论正确的数学方法.欲证命题“A是B”，从反面推导“A不是B”不能成立，从而证明“A是B”。它从否定结论出发，经过正确，严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，查处产生矛盾的原因，不是由于推理的错误，而是开始时否定结论所致，因而原命题的结论是正确的。以上内容可以简单概括为：反设、归谬、结论三个步骤。

二、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；

2.归谬 由“反设”出发，根据已知公理，定义，定理等进行层层严密正确的推理；

3.结论 在推理过程中出现矛盾，说明反设不成立，从而肯定原结论成立。

下面举几个例子来说明数学中是如何应用反证法的。

例1 证明：在ABC中，若sinA

证明 假设∠A不是锐角，则∠A必是直角或者钝角。

I.如果∠A是直角，则sinA=1

II.如果∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢

由于∠B是锐角，所以a

综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。

三、反证法中常见的矛盾形式

1.与题设矛盾

例2 若0°

证明 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.

所以 即x=45，这与0°

从而sinx≠cosx.

2.假设矛盾

例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢

证明 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.

因此2？琢，？琢+？茁都是锐角.

所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.

由此可得：cos？琢>1与假设矛盾.

从而？琢

3.与已知的定义，定理，公理矛盾，即得出一个恒假命题

例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且相交与点P，求证： AB，CD不能互相平分.

证明 假设AB与CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.

又因AB，CD，都不是直径

所以P点与圆心不重合

故存在线段OP，连接OP

又因PA=PB

所以OPAB（平分弦的直径垂直与弦）

又因PC=PD

从而OPCD（平分弦的直径垂直与弦）

这样，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理想矛盾，故AB与CD不能互相平分.

注：有些题看似简单，但要从正面入手几乎是不可能的。

4.自相矛盾

例5 如果一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.

已知在ABC中，角平分线CW，CV相等.求证：AB=AC

证明 如右图，过V与W分别引直线平行于BA与BV，设交点为G，连接CG，分别用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分别表示∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.

设AB≠AC，则？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，所以VC

但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG

四、应用反证法证题中应该注意的问题

1.有些几何问题用反证法证明时，常常把图形故意作错，在否定了假设之后，这些图形就被否定了。

2.反证法中要对结论做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”这一类结论，而要否定时，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全体”含义的词后面，犯了否定不全的错误。

3.否定结论后要求推理正确无误，步步有据，并且要真正推出矛盾。由推理本身的错误而产生的矛盾，不能作为反证法的依据。

4.在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错。

5.反证法一般无需特意去证某一特定结论，只要由否定结论而导致矛盾即可。

通过以上对于反证法的种种表述，我们知道了反证法在数学解题中有着举足轻重的作用，它不仅是一种重要的证题方法，而且对于传统的定向解题的思维模式是一种创新，这更有利于提高数学中提倡的逻辑思维，因此掌握好反证法是非常重要的。

参考文献

[1]沈文选.初等数学解题研究[M].湖南：科学技术出版社，1996.

数学中的反证法篇（5）

通过一周实施，六步实证教研法的特点得以体现。整个教研团队的研修实力得到了印证。各教研组成员对六步实证教研法有了基本的认识。每个教研组成员的教研意识得以强化，教研水平得以突显。两堂作课的老师通过这种教研模式对各自所上的课有了更深的理解。对课堂的驾驭能力有了更高的提升。这从前后两次的作课效果可以窥见一斑。在六步实证教研法实施的过程中，做得较好的地方是精观课堂之后的集体交流，每个人都畅所欲言，指出课堂观察中出现的问题并提出个人的建议。这个环节中，部分教师的独特看法很有参考价值，为作课老师修订教案提供了很好的素材。也为教研组发现人才提供了依据。精观课堂整个过程紧紧围绕教学目标的达成度展开，真正实现了教学方法的优化，教学的有效性得以明显的提高。

毕竟是第一次进行教研方法的研究学习。在实施过程中，仍然有很多地方存在问题。比如团队预设一步，教研组的成员没有将自己对课标的解读及教案的编写形成文字，只是将存在头脑里的想法进行了简单的交流。这样做无法检验老师们对课标的熟悉程度，老师们对具体的教学流程考虑也不够全面细致。虽然，在团队预设的过程中有着讨论的形式存在，但目标指向不够明确，有些说到哪里哪里停的弊病。还有老师们明显地对课标重视程度不够，只认为把教学流程说清楚就行，目标大家都心里有数，应该是没交流的必要。诸不知课标是教学的核心，只有以教学目标为前提，教学环节围绕教学目标的达成来设计才是正确的路子。老师们在这点上认识不够，多从自己的经验上对教学过程进行设计，而对哪种设计是为了达到什么目的，体现了什么样的教学理念，有着什么样的数学思想则考虑不足。其次，精细观课这一步存在问题也比较明显。观察学生学习这一视角，是从数学课的四大教学目标去分的类。即知识与技能，数学思考，解决问题，情感体验。教师教学这一视角的四个看点则是选择了几个看点教学环节，教师导学，问题解决，教学评价。从老师们的记录情况来看，教师导学这一项，老师记录起来有难度，老师是怎样引导学生自主学习？怎样指导学生合作学习？等这些观察点都给老师设置了难度，使得老师无法将自己的观察与记录合上节拍。老师们对观课看点不够理解，比如学生学习中的情感体验，要求教师观察学生学习习惯哪些得到了培养，观课老师就不知道哪些是学生学习中应该培养的习惯。因此观课存在记录不到位的现象，分析看点问题则成了记录教学过程。这就使得讨论交流意见时老师们更多的说到教学某个环节处理不到位，而与相关看点的理论结合不上。也有少数老师因为分工观察这样的观看方式是第一次，一时不能适应，所以没能对观察点进行详实的记录与分析。其三，一度测评与再度测评重视程度不够。虽有所体现，但是将测评结果与教师教学相结合哪些还存在问题没有具体的分析，导致测评有些流于形式。其四，部分老师第二次观课的记录与第一次观课的记录无法对比，看不出作课老师有哪些地方有了明显的改进，明明是改进了，但是没有反映出来。这说明老师观课仍然没有引起重视，没能按点进行观察。这样势必影响作课老师的再次反思。

综上观点，我以为要让六步实证教研法落实到位，最大限度地发挥它的教研作用，推动我们教研组的基本建设能力。还需要通过这些方面加以努力。

第一，课标学习集中培训，力求每一个老师对课标理念，课程内容中的核心概念，课程内容的解析及变化分析等理论知识在头脑中建立一个比较明晰的知识体系。对每一课的教学目标进行认真地设定。关注学生对知识的形成过程的探究而非结论的掌握。

数学中的反证法篇（6）

近世代数是一门较抽象的课程.它的主要研究对象是代数系统，即带有运算的集合.由于内容抽象，初学者往往会感到困难重重，尤其对于证明，不知如何从哪方面下手.其实，在掌握好它的基本概念、性质和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是数学证明里常用的，如，类比、归化、转化、反证等.反证法在近世代数的证明中用途极其广泛.它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用，如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.

反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法.反证法又叫归谬法、背理法，是数学中常用的一种命题证明方法.反证法是对数学命题的一种间接证法，其理论依据是形式逻辑中的“排中律”和“矛盾律”.这种方法是从反面进行证明，即肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.有关“存在性”、“否定性”、“无限性”的命题，应用反证法的情况较多.在近世代数中，有些问题直接利用定理结论证明或用定义直接验证较困难时，可考虑使用反证法.本文就子群的阶、同构、主理想、素理想四个近世代数中几个重点难点内容展开讨论，希望学生在学习过程中由此能得到点滴启发.

反证法证题的步骤是：1.反设：反设是应用反证法证题的第一步，也是关键一步，反设的结论作为下一步“归谬”的一个已知条件.反设的意义在于假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立；2.归谬：“归谬”是一个用反证法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”及原命题的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的结果；3.结论：指出“反设”是错误的，原命题结论必正确.

1.反证法在子群阶中的应用

例1.设p，q是两个素数，且p

分析：这个结论易通过Sylow定理得到，但[1]中没有涉及Sylow定理，通过反证法可轻松证得.题目要证明至多存在一个子群，我们可以假设存在两个不同的子群.

证明：设H，K是群G的两个不同的q阶子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素数，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，则由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，与H≠K矛盾.

注：从这一例题中可以看到，直接说明pq阶群G最多有一个q阶群难度相当大，但如果假设有两个不同q阶子群，通过推理出现矛盾，则说明最多有一个q阶子群.

2.反证法在同构中的应用

同构在近世代数中是一个非常重要的基本概念.如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的.简单来说，同构是一个保持结构的双射.在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射.

换言之，G的乘法表是唯一确定的.因此阶为6的非交换群存在且互相同构.

注：这一证明题不是一开始就给予结论否定，而是在证明中部分地方利用了反证法.如|b|≠3.若|b|=3，则在后面的推论中出现矛盾.

3.反证法在环中的应用

例3.证明卡普兰斯基（Kaplansky）定理：设R是一个有单位元用1表示的环，如果R的元素a有一个以上的右逆元，则a就有无限多个右逆元.

4.反证法在理想中的应用

注：说明极大理想都是素理想，可以假设有一个极大理想不是素理想，根据这一假设推出矛盾.

数学思维方法的训练是实现“授之以渔”教学举措的有效手段，我们应该在教学中有意识、有计划、有目的地利用不同类型的问题，从不同视角、不同途径分析、思考和探索，帮助学生拓展证题思路，形成良好的数学思维品质.善于反思，巧妙利用反证是解决数学问题的重要方法和策略，不仅能揭示数学知识的内在联系、规律和相互关系，更能从复杂问题中找到突破口，从而避免繁琐的证题过程，有效提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索和创新精神.

参考文献：

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反证法的应用[J].工科数学，1997，2：163-166.

数学中的反证法篇（7）

基础知识是课堂教学的主要内容，要求学生要深入理解，掌握扎实，它是学生学习数学的奠基石，各种练习题都以其为基础进行设计。为使学生更好地理解这些知识，我们可采用反向思维的方式对其进行分析。例如：在定义域的学习中学生容易理解和掌握定义，但往往在求解上出现畏难情绪，不会解，或少解、或多解。为解决这个问题可在一定的正面练习的基础上为定义域的结果设计一个函数解析式，使其满足定义域，可结合知识基础假设对数型、偶次根式型，等等。定义域的设计可采取由单向无穷至封闭区间或两个区间并集各种形式，能极大程度地调动学生积极性，并帮助他们从深层次掌握各种定义域的限制条件，促使学生完成初步的由解题到出题的转变。在此处知识的教学中还有一个难点――二次不等式的解，也在上一训练中得以升华。

在学习某些数学定理以后， 指导学生思考并用清晰的语言来叙述它的逆出题目， 再去判断或论证逆出题目的正确性，是逆向思维训练的有效方法。能力较差的学生一般只会简单地把定理的题设以及结论对换，难免出现语言不准确的错误，但由正定理反过来设计逆定理是对正定理理解的完美补充。如立体几何中的平行、垂直等的判定与性质定理等。

二、运用反例及补集思想分析题

在解诸如填空、判断、选择题时，运用事例及补集思想分析题更是一种简单易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助学生找出由于种种原因而出现的错题，以避免浪费精力和时间；在求概率问题时运用补集思想分析是较好的方法，如确定对立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思维的作用。数学被誉为“思维体操”，思维的多样性、灵活性更是其显著特点。客观题的解答只需合理不需过程，反向检验更容易快速地得出结论。比如从选项看取值范围的差异用特殊值检验。又如讲解对数函数的性质，由于对数函数与指数函数互为反函数，在指导学生观察对数函数的图像特征时，指导学生将两种函数的图像以及性质进行对比，学生能相应地得出对数函数的四条性质。再列出指数函数以及对数函数的一般形式，定义域以及值域，数值变化以及单调性方面的对照表，学生就能更清楚两者之间的对称（互逆）关系了。

数学中的反证法篇（8）

在当前数学教学中常采用的反证法和公式、定理的逆用等都是运用了逆向思维，以下本文将简单介绍如何在初中数学教学中开发和应用逆向思维。

一、逆向思维在初中数学教学中的应用

逆向思维的重要意义就是要打破学生的思维定式，解除学生固有的思维框架，逆向思维就是在思考问题时思维发生突变和跳跃，从而获得全新的解题思路和方法，逆向思维是建设新理论、发展新科学的重要途径。在数学教学中常应用的假设需求解变量为x，即逆向思维在数学中最常见的应用，其原理就是把原本需求解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，利用关系式反推而最终求出x的值。早在19世纪逆向思维就被应用到数学教学中，从而得出了“非欧几何”，20世纪的“模糊数学”也是逆向思维在数学教学中应用的典型事例。

二、数学教学中逆向思维的开发和锻炼

关于如何在初中数学教学中开发和锻炼学生的逆向思维，笔者有以下两点建议。

1.将逆向教学渗入基础知识的教学中

数学是初中教育的基础学科之一，在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时，将逆向思维、逆向教学引入，不但可以加深学生对基础知识的了解，还能够开拓学生的思维能力和思考方式。在概念等基础知识的教学上应着重加强逆向思维的教育。例如在概念中存在很多的“互为”关系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题，培养学生逆向思维的能力，帮助学生建立双向的思维模式。如果教师能够在数学教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题，那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐被开发出来。

2.强化逆向思维在解题方法上的渗透

①分析法。分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条

件，倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中，分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的，有助于学生逆向思

维能力的培养。②反证法。反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立，从而证明命题成立，反证法属于间接求证的方法，数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的，这时一般都会采用反证法，加强学生对反证法应用的锻炼，有助于开发学生的逆向思维、拓展学生思维的深度和广度。③举反例法。在解决数学问题时，若要证明某个命题是错的，除直接证明外，还可以采用举反例的方式来证明。即找出一个符合命题的条件，但是在该条件下命题结论并不成立的例子，这样就证明这个命题是错误的，举反例法需要学生从逆向来看待问题、解决问题。因此，加强学生举反例的锻炼，也可极大地开发学生的逆向思维能力。

数学作为一门重要的学科之一，学生十分有必要学好数学，

这样学生才能更好地发展自身的学业。在新课程标准的推动下，逆向思维的应用对于初中数学教学来讲尤为重要。学生只有掌握好逆向思维的应用，才能更好地掌握数学基础知识，拓展想象力，进而有效拓展新的解题思路。

参考文献：

数学中的反证法篇（9）

数学是一门注重培养学生思维的学科。《高中数学课程标准》中明确指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握。”长期的实践表明，如果按部就班的对学生进行引导，会导致学生形成思维定式。而有意识的对学生进行逆向思维的训练，有利于帮助学生转变错误的观念，形成正确认知，而且有利于帮助学生发展创新思维。本文结合笔者多年的教学实践经验，就“高中数学教学逆向思维能力的培养”这一课题浅谈如下自己的看法。

一、什么是逆向思维

所谓逆向思维，是一种创造性思维，它是指与原先思维相反方向上的思维。相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因（或条件）来推知结果（或结论），而是从相反方向展开思路去分析问题、得出结论。

逆向思维就是突破习惯思维的束缚，做出与习惯思维方向相反的探索。如果学生有逆向思维的能力，采用这种思维去解决问题，就很容易找到解题的突破口，寻找到解题的方法和恰当的路径，使解题过程简洁而新颖，逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以从中发现一些新的规律，或许会创造出更新更好的方法。在数学教学中有目的地设汁一些互逆型问题，能从另一个角度去开阔学生的思路，就会促使学生养成从正向和逆向两个方面去认识、理解、应用新知识的习惯，从而提高学生分析问题和解决问魉的能力。

二、高中数学教学逆向思维能力的培养途径

1.在数学概念教学中训培养逆向思维。高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。

2.在解题教学中的培养逆向思维。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。

（1）顺推不行则逆推。有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。

（2）直接不行换间接。还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。

3.利用反证问题培养逆向思维。反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题，是从题断的反面出发，以有关的定义、定理、公式、公理为前提，结合题设，通过推理而得出逻辑矛盾。从而得知题断的反面不能成立。应用反证法证明的主要三步是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

4.强化学生的逆向思维训练。一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性。

5.灵活运用基本数学方法，促进逆向思维发展。

（1）分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价），用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，能自觉地、主动地去思考，学生的解决问题的信心便大大增强了。“由因导果”的方法通常称为综合法。分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足。在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明。

（2）逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法。

参考文献：

数学中的反证法篇（10）

一、逆向思维在数学中的应用

逆向思维反映的是思维过程的间断性和突变性，意即强调使学生突破思维定势和固有的思考框架，产生新的思考方法，找到新的解题途径．这是创立新科学理论的重要思维方法．数学教学中最基本的“设定未知数‘x’”即是逆向思维的一种最为普遍的应用．即，将原本未知待解的数“x”设定为已知数代入到公式中，通过“x”在公式中的关系反向推导出结果．逆向思维在数学中的实际应用早在19世纪就催生出了非欧几何，包括后来在20世纪60年代建立发展起来的模糊数学，均是逆向思维在数学领域成功运用的典型案例．

二、实际教学中逆向思维的培养和训练

对于逆向思维在初中教学中的培养和应用，应主要从两个方面入手．

1　加强基础知识的逆向教学．初中阶段，数学仍然是一门基础学科．在教学过程中强调对基础知识牢固掌握的同时，顺势导人逆向思维，不仅更加巩固了学生对基础知识的熟练掌握程度，也锻炼了学生的思维，拓展了思考模式．在基础知识中，应在对概念的理解和运用上加强逆向教学．在数学中存在诸多“互为”关系的概念：比如，“互为相反数”、“互为倒数”等等，通过这些简单的概念，教师可以引导学生从正反两方面去思考，培养其逆向思维的能力进而建立起双向的思维模式．比如，对于原命题、逆命题这一概念，学生往往只重点记住了逆命题是原命题的逆命题，却忽视了原命题也是逆命题的逆命题．在教学过程中，教师若能适时地引导学生从命题的反面进行思考，则会在早期的基础阶段就打下良好的逆向思维根基．

2　注意解题方法上的逆向思维训练．(1)分析法解题。分析法就是从命题的结论出发，顺藤摸瓜追溯充分条件，直到推导出已知条件的方法，可以充分培养学生的逆向思维能力．“执果溯因”是分析法的本质特征，关键是整个解题过程必须是可逆的．(2)反证法．反证法是一种间接证法，是从特征结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证明结论的反面，肯定特征结论(即双重否定等于肯定)，是许多数学问题在直接证法相当困难时常用到的方法之一．加强反证法的训练，有利于学生思维广度的拓宽和深度的加深，对逆向思维的培养有着非常重要的作用．(3)举反例．在数学命题中，给出一个命题要判断它的错误，只要给出一个满足命题的条件但结论不成立的例子，即可否定这个命题．这就是通常意义说的反例．加强举反例的训练，可以有机地做到训练和培养学生的逆向思维能力．

三、逆向思维在数学解题中的实际应用