探索平行线的条件篇（1）

探索是数学的生命线，显然试题中有探索性的要求是非常必要的，这类命题是较典型的“开放式”题型，对于培养学生创造性思维能力、类比归纳能力、直觉思维能力，全面提高学生素质是十分有益的；同时探索性问题也是区分度较高的试题，它能有效地检测学生运用知识、推理运算的能力，以及分析问题、解决问题的能力。本文就探索题题型与学生数学能力的发展作一些探讨。

一、结论探索型

这类探索性问题一般是由给定的已知条件求相应的结论，它要求学生充分利用已知条件进行猜想，透彻分析，发现规律，获取结论，这对学生分析问题归纳结论的能力有一定帮助。

下面用数学归纳法证明(略)。

解决这类问题的思路一般是：归纳――猜想――证明，它可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的思路，培养学生善于思考探索的习惯。

二、存在探索型

“存在性”的探索性问题是探索性命题的热门形式，而且是一类综合性覆盖面大、已知条件更加隐蔽的题型，它着力要求学生根据题设条件把握特征，对“是否存在”作出准确的判定和正确的推断，以提高学生的判断能力和演绎推理能力。

例3：已知抛物线c：y =4x和定点R（0，-2），是否存在过定点R且与抛物线交于P、Q两点的直线l，使|PQ|是|RP|与|RQ|的等比中项？若存在，求其方程；若不存在，说明理由。

三、隐含探索型

隐含探索型问题，即命题中既没有猜想一般规律也没有“是否存在”等字样，但问题本身的结论隐含着不确性，这类问题有时必须通过由此及彼、由彼及比的类比联想，估计出结论，再进行证明；有时必须通过由具体到抽象、由特殊到一般的归纳得出结论，然后进行证明。也有时可以根据定义、定理直接进行演绎推理，最终会“水落石出”得出结论。这类问题可以提高学生的抽象思维能力和推理论证能力。

例6：平面θ上有n条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不共点，那么这样的n条直线把平面θ分成多少个部分？

四、变换探索型

这类题型的特点往往是对已有的条件进行演变，它着力要求学生善于用运动与变换的观点去加以观察探索，勇敢地发现、大胆地猜想、科学地分析、严谨的论证，从而解决问题，它对发展学生思维的发散性和灵活性大有益处。

例7：求证：外切已知椭圆的矩形的对角线的长度不变。

分析：取特殊位置――各切点为椭圆的各顶点，这时矩形的对角线 为定值。

探索平行线的条件篇（2）

条件开放探索型判断说理题是指结论已经给出，要求探索能够使所给结论成立的条件.有了正确的答案，说理一般都比较容易.

图1

例1 （2011福建漳州）如图1，∠B=∠D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使ABC≌ADE并证明.

分析 因为题目中已经具备条件∠B=∠D，又∠A为公共角，要使得ABC≌ADE，需要添加的肯定是一组相等线段，从而可以得到三种方案，随着添加的相等线段的不同，得到的说理方法也不同.

解 方案1：添加的条件是AB=AD.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，所以ABC≌ADE（ASA）.

方案2： 添加的条件是AC=AE.此时在ABC和ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

AC=AE，所以ABC≌ADE（AAS）.

方案3：添加的条件是BC=DE.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，

∠A=∠A，

BC=DE，所以ABC≌ADE（AAS）.

点评 本题考查了同学们对全等三角形判定方法的掌握情况，判定三角形全等有四种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，要根据具体情况灵活选用.想一想：如果把条件中的“∠B=∠D”换为“AB=AD”，其他不变，应该怎么解决呢？请同学们试一试.

二、 结论开放探索型判断说理题

结论开放探索型判断说理题是根据给出的条件来寻求结论，但结论通常在两个以上.解答这类问题思路必须开阔，思维必须敏捷，要善于抓住题目的关键语句，采用各种变通的方法，进行横向联系和纵向比较，探索出问题的多种答案来，再进行判断说理.

例2 （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题.小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座.

（1） 爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；

（2） 若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由.

分析 （1） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；（2） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，再讨论x的不同取值引起的概率大小关系的变化，根据概率大的就有利，即可求得答案.

解 （1） P（小明胜）＝35，P（妹妹胜）＝25， P（小明胜）≠P（妹妹胜）， 这个办法不公平； （2） 当x＞3时对小明有利，当x

理由如下： P（小明去）＝3x-35x-3，P（妹妹去）＝2x5x-3， 由3x-35x-3=2x5x-3，有3x-3=2x，解得x＝3. 当x＝3时摸球的结果对双方公平，即游戏公平；当3x-35x-3＞2x5x-3，即x＞3时摸球的结果对小明有利；当3x-35x-3

点评 此题考查了概率公式的应用和游戏公平性的判定.一个游戏规则是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率（或得分）是否相等，若相等则公平，否则不公平.另外，如果要设计公平的新规则，一般方案不唯一，只要使两者获胜的概率（得分）相等即可.

三、 存在型开放探索判断说理问题

存在型开放探索判断说理问题通常以“是否存在”的形式设问，答案有两种可能：或存在，需要找出来；或不存在，需要说明为什么不存在.解决这类问题的一般思路是先假设所探索的结论是存在的，并把它当作已知条件，结合题设进行探索、归纳、推理、计算，如果能求出合理的结果，则说明假设成立.如果不能得到合理的结果或得到与题设、实际生活相矛盾的结果，则表明假设不成立，探求的结论不存在，从而作出正确的判断.无论最终结论是否存在，解题时都要求考生对作出的判断进行正确的说理.

图2

例3 （2011甘肃兰州）如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D4，-23.

（1） 求抛物线的表达式.

（2） 如果点P由点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2（cm2）.① 试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；② 当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到点D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

分析 （1） 求出A、B两点的坐标后，将A、B、D三点坐标代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值；（2） ① 用含t的代数式表示BP、BQ后，再用勾股定理求出S的解析式；② 根据S=54即可解出t的值，进而得出P、B、Q的坐标.然后先假设R点存在，根据P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分类求出R点的坐标，再验证R点是否在抛物线上；（3） 利用对称将点A转化到与点D在对称轴的同一边，再利用三角形两边的差小于第三边判断出点M与点B、D在同一直线上时，差才最大，再利用一次函数求出点M的坐标.

解 （1） 由题意得A（0，-2），B（2，-2），又抛物线y=ax2+bx+c过点A， c=-2.再把B、D两点的坐标代入，由4a+2b-2=-2,

16a+4b-2=-23，解得a=16,

b=-13.

抛物线的解析式为y=16x2-13x-2.

探索平行线的条件篇（3）

基本特征：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．

【例1】 （浙江）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将平面AFD沿AF折起，使平面AFD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，求t的取值范围.

图1 图2

解析：如图2，破解此题可采用两个极端位置法.对于F位于DC的中点时，t=1，随着F点到C点时，因CBAB,CBDK,CB平面ADB，即有CBBD，对于CD=2，BC=1,BD=3.又AD=1,AB=2，因此有ADBD，则有t=12，因此t的取值范围是(12,1).

突破策略：执果索因，反溯探求

解决此类问题可以执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．

题型2 探索结论

基本特征：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题．

【例2】 （海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP|｜OM｜=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解析：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c，由已知得a-c=1，a+c=7，解得a=4,c=3，所以椭圆C的标准方程为x216+y27=1．

（2）设M(x,y)，其中x∈［-4,4］，则点P和点M横坐标相同，代入椭圆方程可得其纵坐标，即P(x,112-7x216)，由已知得|OP|2|OM|2=λ2，代入两点间距离公式，再由点P在椭圆C上，可得9x2+11216(x2+y2)=λ2．整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈［-4,4］．

①当λ=34时．化简得9y2=112，所以点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．

②当λ≠34时，方程变形为x2

11216λ2-9

+y2

11216λ2

=1，其中x∈［-4,4］．

当0＜λ＜34时，轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当34＜λ＜1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

突破策略：执因索果，直接探求

对于此类给定条件、寻求相应结论的探索性问题，我们可执因索果，直接探求结论，对于其中含参数的探索性命题，其突破策略是对参数进行分类讨论．

题型3 探索是否存在

基本特征：判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在．

【例3】 （全国）给定双曲线x2-y22=1．

过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解析：设所求直线m的方程为y=k(x-1)+1,并设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),

探索平行线的条件篇（4）

新课程标准指出：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境。”现代教育体制不容许搞题海战。学校建设走的是精品路线，实行的是小班化教学，有利于放大每个学生的特点，再加上中学生的年龄层次和思维能力达到了一定的水平，这些有利条件更能有效地保障自主学习的高效达成。

2012年笔者有幸参与江苏省十二五规划课题《基于“问题引领，自主学习”数学教学的研究》。在这种背景下，笔者积极探索研究高效的教学模式，经过一段时间的探索和实践，初步形成具体的教学思路：即课堂组织教学的“四问题搭桥法”及学生作业反馈的“四反思评价法”。在研究中发现高效的教学效果主要在于要明确“两个作用，一个关键”：两个作用即教师的作用为设置问题，学生的作用为自主学习；一个关键是问题的有效引领如何设置。而这些方法都应该建立在小组合作学习上。因此，我们将每个班级按四人一组编成学习小组，每个小组成员编为1、2、3、4号。为了促进学生之间的合作和竞争，每节课可以就一个问题让每个小组的同号回答或当堂利用小练习检测同号学生的完成情况，并让科代表记录在记录表上，以便教师和学生及时总结反思。下面就课堂组织教学的“四问题搭桥法”和学生作业布置的“四反思评价法”，谈谈笔者的思考。

一、凭问题搭桥――课堂组织教学的“四问题搭桥法”

“四问题搭桥法”，顾名思义即一节课设置四个问题或者说是四类问题，搭建学生自主学习和小组合作学习之桥，以四个问题贯彻课堂始末。

第一个问题在课堂教学第一环节创设情境，引入新知中创设，即创设“结论确定，条件开放类”问题。新课教学一般都是从复习旧知入手，然后引入新课。大多数教师在上课时都会直接问学生：上节课我们学了什么知识？或者直接问知识点，如有理数加法法则是什么？这样的导入，虽然达到了复习已学知识的目的，但容易将学生搞得紧张兮兮，不利于继续组织教学，也违背了教学规律。针对这种情况，我们创设结论确定、条件开放类问题，既让学生集中思维复习旧知，又创设情境，激发兴趣，导入新课。举个教学案例：《探索平行线的性质》一课是在《探索直线平行的条件》之后教学的。笔者在创设问题时没有直接问学生直线平行有哪些条件，而是出示一个问题：直线AB和直线CD被直线EF所截，你能添加一个条件，使直线AB和直线CD平行吗？你还有其他方法吗？这样的问题创设，给定了结论即直线AB和直线CD平行，条件开放即让学生自己添条件。这样既复习了上节课所学内容――直线平行的条件，又有效激发了学生的学习兴趣和小组合作动力，更为新知识的探索创造了良好的学习氛围。

第二个问题在课堂教学第二环节问题引领，探究新知中创设，即创设“条件确定，结论开放类”问题。仍以《探索平行线的性质》一课为例，在引导学生探索平行线性质时设置这样一个条件确定，结论开放的问题：请学生拿出练习本，在练习本上画一条线与两条格线相交，标出8个角（条件确定）。教师提出研究性问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，说出你的发现。再画出一条截线，看你的猜想结论是否仍然成立？教师提出研究性问题二：请说说两条平行线被第三条直线所截，你都有哪些发现？（结论开放）这样条件确定、结论开放类问题的创设，既能顺利引导学生积极主动地探讨教师所要传授的新知识，因为条件确定了，学生就不会跑偏；又能充分发挥集体的智慧和对学生发散思维的培养，因为结论是开放的。学生的发现很多都是教师课前预设不到的，也是教师用成人的眼光看不到的。而恰恰只有学生的发现超出课堂的预设，学生的思维才能得到最大限度的发展，课堂也会因此而出彩。

第三个问题在课堂教学第三、四环节典型例题，深化新知和分层练习，巩固新知中创设，即在“知识的关节点和发展点”上设置问题。此处典型例题的设置是基于第二个问题而言的，是在学生动口、动手、动脑的基础上进一步深化新知，着重于对新知识的延伸，以及学生运用新知能力的训练，贴近学生的“最近发展区”，有利于学生思维发展。以《探索平行线的性质》一节课为例：教师任意画了一个ABC，请同学们思考：∠A+∠B+∠C等于多少度？你能有几种方法得到结论？你能画图并说明理由吗？一个简单的三角形内角和问题，在这里经过精心的问题设置，引导学生联系平行线的性质，作出相应的辅助线，有效地对知识进行延伸，解决了实际问题，同时也体现了平行线性质与判定之间的互逆性，在潜移默化中渗透了转化思想，有利于引导学生构建完整的知识体系。

第四个问题在课堂教学第五环节归纳小结，细化新知中创设，即创设“当堂检测评价类”问题。自主学习不能只有“自”，没有“主”。我们在课堂上设置当堂检测评价类问题主要是展示性检测（让每一组的2号，依次说说本节课学了哪些知识，有哪些收获）和习作性检测（全班给定时间，以补充习题为主当堂完成），明确课堂的主线。

二、借评价反思――学生作业布置的“四反思评价法”

探索平行线的条件篇（5）

（2）现将抛物线C向左平移m（m>0）个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M， 与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值.

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

这是2011年江西中考试卷的第24题，是一道检测同学们数学综合能力的探索性问题. 探索性问题的条件或结论不确定，从而解题的思维与方法不易直接判断和掌握，同学们得分率比较低. 但每年中考都有这种探索性的考题，因此，同学们必须突破这个难点. 下面是我对这类问题解法的一些研究，供大家参考，希望对同学们有所帮助.

1. 判断型探索性问题

判断型探索性问题是指结论设有未知的问题，解决这类问题的基本方法是根据条件进行分析、推理、计算，最终得到结果.

（2011江苏南京）如图2，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm， 点P为BC的中点， 动点Q从点P出发， 沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以点P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为t s.

（1）当t=1.2 s时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由.

（2）已知O为ABC的外接圆，当t为何值时，P与O相切？

（1）直线AB与P相切. 过点P作PDAB，垂足为D. 在RtABC中，因为∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，所以AB ==10 cm. 因为点P为BC的中点，所以PB=4 cm. 因为∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，所以PBD∽ABC. 所以=，即=. 所以PD=2.4 cm. 而当t=1.2 s时，PQ=2t=2.4 cm. 所以PD=PQ，即圆心P到AB的距离等于P的半径. 所以直线AB与P相切.

（2）因为∠ACB=90°，所以AB为ABC的外接圆的直径. 所以OB=AB=5 cm. 连结OP，因为点P为BC的中点，所以OP为ABC的中位线. 所以OP=AC=3 cm. 因为点P在O的内部，所以P与O只能内切. 根据两圆内切时半径间的关系可知5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或t=4. 所以当t的值为1或4时，P与O相切.

2. 可能型探索性问题

可能型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在可能的结果的问题. 解决这种问题的基本方法是假设可能，然后根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明可能；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾，说明不可能. 最后再进行总结.

如图3，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，则在P，Q的运动过程中，四边形PQCD是否可能为平行四边形？ 如果可能，求出P，Q的运动时间；如果不可能，说明理由.

可能. 因为四边形ABCD是直角梯形，所以AD∥BC. 所以当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形. 设点P，Q运动x s时，四边形PQCD是平行四边形，则AP=x cm，CQ=3x cm. 因为AD=24 cm，所以PD=（24-x） cm，即24-x=3x，所以x=6. 所以当P，Q运动6 s时四边形PQCD是平行四边形.

3. 变化型探索性问题

变化型探索性问题是指题目的部分条件或全部条件变了，探究题目结论是否也发生变化. 解决这类问题的基本方法是根据题目变化了的条件，分析题目各种关系是否发生变化，如何变化，依此推理、计算，得到结论.

（2011广东河源）如图4，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（点P不与A，B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正三角形APC和正三角形PBD.

（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=__________（直接写结果）.

（2）连结AD，BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由.

（3）如图5，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

（1）AP＝a.

（2）α的大小不会随点P的转移而变化，理由如下：因为APC是等边三角形，所以PA=PC，∠APC=60°. 因为BDP是等边三角形，所以 PB=PD，∠BPD=60°. 所以∠APC=∠BPD. 所以∠APD=∠CPB. 所以APD≌CPB. 所以∠PAD=∠PCB. 因为∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°－120°=60°.

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.

4. 存在型探索性问题

存在型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在符合要求的结论. 这种问题与可能型探索性问题类似. 解决这种问题的基本方法是假设结论存在，根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明存在符合要求的结论；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾的情况，说明不存在符合要求的结论.

本文开头的题目就是一个存在型探索性问题，我们可以作以下解答.

探索平行线的条件篇（6）

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）05-031-001

面向全体学生，实施课堂教学民主化。保证数学思维活动这条主线的贯穿与畅通。没有学生的思考与实践，就没有真正的数学学习。教师的主导作用就是要想办法让每一个学生主动参与，只有让学生的思维活动得以充分暴露，教师再给予释疑、评价、点拨，去触及学生的“灵魂”，才能够真正唤起学生主动参与的意识。学生在自主探索、发现学习的过程中，是需要足够的思考和想象的时间的，教师不要急于公布“谜底”，如果学生确有困难，可略加暗示，或通过转换角度去降低问题的难度，如果学生对问题感到困惑，可“等一等”，再疏导；当意见发生分歧时，可“议一议”，再统一；当思维发生偏差时，可“导一导”，再纠正，只有这样，面向全体学生，学生的主体作用才能真正落在实处，学生的数学素养才能提高。因此，教师要注重定理及例题教学的发现教学，精心创设发现的情境，摸透教材，把握课堂教学的节奏，舍得花时间，引导学生去探索，去研究，去发现知识之间的联系，达到教学的目的。

一、定理的发现教学

思维是在实践活动中发现和发展起来的，在定理的发现教学活动中，学生由被激发起好奇心及探索的欲望。因此，他们就会积极地去探索、研究，根据已有的知识以及获取的感性材料，在自己的头脑中进行分析、综合，创造出新的“产品”，进而可提高学生的心理品质、发展思维能力。在这种教学过程中，学生能经常地根据要求努力地去探索、研究，久而久之就会自然地养成良好的学习习惯，也会逐步培养和发展探索问题的能力，这无疑是大有裨益的。

如：线段的垂直平分线定理的教学，我是这样设计的：

1.（1）线段垂直平分线的定义是什么？（2）任意画线段AB，再画它的垂直平分线CD。（3）点与点之间的距离是什么？（4）在CD上任取一点P，连结PA、PB，再任取一点Q，连结QA、QB。

2.指导学生实验：（1）分别量出点P、Q到点A、B的距离，并且比较它们的大小。（2）要求学生在CD上再任取几个点，按上述要求完成。

3.引导学生认真整理、分析数据、写出结论，在教师的指导下进行分析、综合。由学生得出相应的结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

4.指导学生论证，要求学生能根据已学过的知识进行严格推理论证，然后再指出这是线段的垂直平分线的定理。

再比如：学生在学习相似三角形的性质以后开始学习相似多边形的性质定理时，可采取：

（1）与相似三角形的性质对比，让学生自己去猜想相似多边形的有关性质。

（2）学生相互讨论，教师进行适当点拨，让学生叙述出来。

（3）根据学生的叙述进行推理论证。

二、例题的发现教学

作为每一位数学老师都知道，在传授新知识以后，总要配上一些巩固新知识的例题。而教师在讲解例题时，应教给学生如何去发现一道题的解法，讲的关键是展示思路的发现过程，把一些生动的思维过程展现在学生面前，不能只展示“成品”。因此，例题的教学，教师应把主要精力放在题意分析和思路发现上，达到训练学生思维，培养学生能力的目的。

1.平面几何的例题教学中，例题的条件由少到全，图形由简到繁，步步深入。

[原例] 已知：ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，DEAB，垂足为E。求证：四边形CDEF为菱形。

方法：（1）复杂图形简单化。（2）由条件联想结论。

教学设计：

（1）如图a，ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，图中有哪些线段相等？说明理由。

（2）在第一问题的基础上增加一个条件DEAB，垂足为E，又可得哪些结论？说明理由（如图b）。

（3）由第1、2问让学生猜想四边形CDEF是什么四边形（如图c）。

（4）指导学生进行推理论证。

a b c

2.注重图形的变式，训练学生多角度思考问题，且能注意考虑问题思考的全面性。比如，学习了相似三角形的判定定理后，我选择这样一组变式图形，旨在让学生发现证明三角形相似的方法的多样性，熟悉基本图形，培养学生的观察能力。

教学设计：

A.图（1）要证明ADB∽AEC，已经具备了的条件是______，还需添加的条件是______，也可直接由什么条件，得ADE∽ABC。

B.图（2）要证ADE∽ACB，已经具备的条件是______，还需添加的条件是______。

探索平行线的条件篇（7）

分类号：B842.3

1、问题提出

视觉选择性注意主要包括两个注意控制过程，一是当前的行为目标会调节个体对感觉输入的加工过程（自上而下注意控制），另一是刺激特点会影响和限制注意目标的完成（自下而上注意控制）（Yantis，2000）。当个体知觉某个场景时。无论是目标相关的视觉加工还是目标无关的视觉加工，两个注意控制过程都会出现。一些研究表明，几乎所有的注意加工过程，都有自上而下的注意控制的参与（Olivers，Meijer，&Theeuwes，2006）。

偏向竞争模型为注意选择过程中的注意控制提供了一个理论框架。该理论认为。不同的感觉输入之间相互竞争，竞争中获胜一方将会成为注意焦点。虽然较强的感觉输入在竞争中处于有利位置，但工作记忆通常会影响这个竞争过程，使那些与工作记忆表征相匹配的较弱感觉输入与较强感觉输入处于平等位置，甚至处于更为有利的位置（Desi—mone，Duncan，1995）。一些研究支持了这一观点。如。Woodman和Luck（2007）的研究表明，视空工作记忆在视觉搜索中有着重要的作用，高视空工作记忆负荷条件下，视觉搜索效率受到很大影响：而在低视空工作记忆负荷条件下，视觉搜索效率则没有受到影响。Han和Kim（2004）的研究也表明，视觉工作记忆在视觉搜索中起着重要的作用，当需要对视觉工作记忆中的信息执行操作时，视觉搜索的效率急剧降低；而无需执行操作时，视觉搜索效率没有受到影响。

一些研究从年龄对比角度探讨了注意控制的特点。Kramer，Hahn，Irwin和Theeuwe8（2000）的研究以老年人和青年人为被试，结果发现，即使是在告知被试新异刺激是无关信息的条件下，老年人在抑制无关信息方面的成绩仍显著差于青年人。罗婷和焦书兰（2004）的研究发现。青年人和老年人在注意分配能力上没有显著差异，而在注意选择能力上却存在显著差异。老年人的注意选择能力显著衰退，这种衰退主要是由于老年人的注意控制能力衰退导致。

还有一些研究探讨了注意控制随年龄增长的发展特点。张学民，林崇德和申继亮（2006）的研究发现，儿童的注意能力随着年龄的增长而不断提高。王彦，苏彦捷和王甦（2003）探讨了线索有效性对儿童返回抑制的影响。结果发现，在外源性线索条件下，7岁、9岁、11岁儿童均自动出现返回抑制，且具有反射性质，但7-9岁儿童受线索有效性制约，而11岁儿童不受影响。说明11岁儿童已经具有较好的自上而下注意控制能力。杨海波和白学军（2010）的研究采用刺激辨别范式探讨了中学生自上而下注意控制的发展特点，结果发现，高一学生的成绩显著优于初一学生。Irwin-Chase和Burns（2000）的研究以儿童和成人为被试，发现随着年龄的增长，儿童遵从指导语的能力逐渐增强。也就是说，自上而下注意控制能力随着年龄的发展而逐渐增强。

虽然以往研究已基本揭示出儿童注意控制能力的特点，但是由于这些研究的范式、材料和被试选择等方面都存在差异，所以结果的一致性较低。另外，以往的研究基本没有涉及到工作记忆这一重要因素，这就使得没有较好地揭示儿童注意控制的特点。基于此，本研究以小学生三、四、五年级学生为被试，从发展角度探讨视觉工作记忆负荷和信息性质对自上而下注意控制的影响。研究假设。被试在低视觉工作记忆负荷条件下的成绩优于高视觉工作记忆负荷条件：五年级学生的成绩显著优于三年级学生：被试在有效信息条件下的成绩显著优于无效信息条件。

2、方法

2.1 被试

被试为小学三年级、四年级和五年级学生，共有90人。三年级被试共有30人，平均年龄为9.3±0.65：四年级被试共有30人，平均年龄为10.2±0.72：五年级被试共有30人，平均年龄为11.3±0.67。所有被试均为智力正常学生，视力或矫正视力均正常，没有色盲、色弱等眼疾患者。

2.2 仪器与设备

实验在方正台式计算机上完成。处理器为In-tel Pentium 2.0G，内存为512M，集成显卡，显示器为17英寸CRT显示器，分辨率为1024×768，刷新率为60Hz。实验材料通过DMDX刺激呈现软件来实现，被试的反应时和反应正误均由该软件自动记录。

2.3 实验材料

实验材料共有3种。

第一种为记忆项目，为8种不同形状的几何图形，分别是圆形（20×20）（单位为视角，以下同）、正方形（2°×2°）、正三角形（2.2°×2.2°）、菱形（2.3°×2.3°）、椭圆形（1.9°×2.4°）、正五边形（2.2°×2.2°）、正六边形（2.2°×2.2°）和梯形（2.2°×2°）。每种图形由4种不同类型的线条组成，分别是实线、点线、断线和点划线。

第二种为搜索序列。4条短线分别位于4种不同形状、不同线型的几何图形中。在这4条短线中，3条是垂直线。1条是斜线。斜线向左或向右倾斜45°。图形分别为圆形、正方形、正三角形和菱形。每种图形分别有实线、点线、断线和点划线四种线型。图形分布在一个以屏幕中心为圆点、以50为半径的假想圆周上，共有8个呈现位置，分别为0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°和315°，每次随机呈现4个项目。且相邻两个项目在圆周上的距离相等，间隔为90°。

第三种材料是记忆探测项目，与记忆项目相同。所有实验材料的颜色为黑色。

2.4 实验设计

研究为3（视觉工作记忆负荷：高、低）×3（年级：三年级、四年级、五年级）×3（信息性质：有效、无效、中性）三因素混合实验设计，其中年级为被试间设计，视觉工作记忆负荷和信息性质为被试内设计。

根据Soto，Humohrevs和Heinke（2006）等人的观点，高视觉工作记忆负荷是指通过指导语明确要求被试必须记住整个记忆项目，并且搜索任务完成后还要进行记忆效果测试：低视觉工作记忆负荷是指只是给被试呈现记忆项目，并没有明确要求记住记忆项目，搜索任务完成后也没有记忆效果测试。这两种条件都是通过指导语来实现。

有效信息条件是指记忆项目出现在搜索序列中，并且目标刺激（斜线）嵌入在记忆项目之中：无效信息条件是指记忆项目出现在搜索序列中，但是目标刺激（斜线）却嵌入在非记忆项目之中，此时记忆项目中嵌入的短线是干扰刺激：中性信息条件是指记忆项目不出现在搜索序列之中，目标刺激嵌于非记忆项目之中。

2.5 实验程序

实验流程图见图1。

整个实验在一个安静的屋里进行。被试坐在计算机正前方，眼睛正对屏幕中心，眼睛距离屏幕的距离约为70cm。在每个试验的开始，白色背景的屏幕中心呈现一个注视点“+”，大小为0.6°×0.6°，时间为500ms。然后是记忆项目，时间为1000ms。记忆项目消失后，紧接着是200ms的空白屏，然后是搜索序列，被试的任务是搜索那条斜线，并判断它的倾斜方向。如果向左倾斜，就按左箭头键；如果向右倾斜，就按右箭头键。被试按键反应后，搜索序列消失。在低视觉工作记忆负荷条件下，然后是空白屏500ms，接着是下一个试验。在高视觉工作记忆负荷条件下，接着呈现记忆探测刺激，要求被试判断所给图形是不是刚才要求记住的那个图形。如果是，就按左箭头键；如果不是。就按右箭头键。被试按键后探测图形消失，然后是空白屏500ms，接着是下一个试验。左右手按键在被试间进行了平衡。要求被试在确保正确率的前提下尽可能快地反应，

被试先进行20个练习。熟悉了实验过程后，开始进行正式实验。整个正式实验共198个试验。分为2个组块，组块间隔期间被试休息2分钟。整个实验过程大约需要30分钟。左右手按键在被试间进行了平衡。要求被试在确保正确的前提下尽可能快地反应。

2.6 数据处理

因变量为反应时。由于被试按键失误等原因，剔除8个被试的无效数据，有效被试为82名（三年级27人，四年级28人，五年级27人）。采用SPSS16，0对数据进行管理和分析。为了避免每次休息后按键反应的偏差，剔除了所有被试在每个组块中前2个试验上的数据。参照相关研究的处理方法，剔除了反应时低于200ms和高于2000ms的数据。

3、结果分析

对数据进行速度一准确率权衡，发现本研究的数据不存在速度一准确率权衡问题。

3.1 反应时

各年级学生在不同视觉工作记忆负荷条件、不同信息性质条件下的平均反应时和标准差见表1。

经重复测量方差分析发现：

（1）年级主效应显著，F（2，79）=9.319，p

（2）视觉工作记忆负荷主效应显著，F（1，79）=156.931，p

（3）信息性质主效应显著，F（2，79）=41.124，p

（4）视觉工作记忆负荷与年级的交互作用不显著，F（2，79）=0.675，p>0.05。

（5）视觉工作记忆负荷与信息性质的交互作用显著，F（2，79）=5.399，p

在有效信息条件下，视觉工作记忆负荷主效应显著。F（1，79）=16.259，p

（6）年级与信息性质的交互作用不显著，F（2，79）=1.235，p>0.05，说明不同年级学生在不同信息性质条件下的反应时不存在显著差异。

（7）视觉工作记忆负荷、信息性质与年级的交互作用不显著，F（2，79）=0.315，p>0.05。

3.2 记忆探测任务的正确率

高视觉工作记忆负荷条件下记忆探测任务的正确率结果见表2。

经重复测量方差分析发现：（1）年级主效应不显著，F（2，79）=0.089，p>0.05，说明不同年级被试的记忆探测成绩不存在显著差异。（2）信息性质主效应不显著，F（2，79）=3.010，p>0.05，说明被试在不同性质信息条件下的记忆探测成绩不存在显著差异。（3）年级与信息性质的交互作用不显著，F（2，79）=0.547，p>0.05，说明不同年级被试在不同性质信息条件下的记忆探测成绩不存在显著差异。

4、讨论

4.1 自上而下注意控制的发展特点

Hartley（2001）的研究表明。注意控制具有年龄差异的特点。随着年龄增长，儿童自上而下注意控制能力逐渐增强，儿童中晚期是视觉搜索能力和注意控制能力发展的重要时期（Donnelly，Cave，Greenway，Hadwin，Stevenson，&Sonuga-Barke，2007）。本研究的结果表明，三年级学生的反应时显著长于四年级和五年级学生，四年级学生的反应时显著长于五年级学生。实验结果支持了研究假设，表明自上而下注意控制能力在小学阶段存在年级发展特点，三年级至五年级阶段可能是自上而下注意控制能力的快速发展期。这与已有的研究结果相一致（Madden，Whiting，Cabeza，&Huettel，2004）。

对于这种年级间的差异，Alvarez和Cavanagh（2004）认为是由两方面原因导致。一方面，不同年龄个体的工作记忆容量存在差异，而自上而下注意控制与工作记忆直接相关，因此，工作记忆容量的年龄差异可能会导致自上而下注意控制能力出现年龄差异。另一方面，个体的抑制能力存在年龄发展差异。研究表明，抑制能力是选择性注意的一个关键能力（沈德立，2006）。因此，本研究中自上而下注意控制的年级差异也可能是由于不同年级学生的抑制能力发展水平不同导致的。

4.2 视觉工作记忆信息性质对自上而下注意控制的影响

关于视觉工作记忆对注意控制的影响一直处于争论之中（Woodman，Vogel，&Luck，2001）。本研究操作了视觉工作记忆中信息的性质，信息性质的操作定义是指记忆项目与搜索序列中某个项目之间的匹配程度。如果记忆项目与搜索序列中目标所在位置的项目相一致，那么这就是有效信息条件；如果二者不一致，那么就是无效信息条件：如果记忆项目没有出现在搜索序列中，那么这就是中性信息条件。本实验结果表明，被试在不同信息性质条件下的反应时存在显著差异，有效信息条件下的反应时显著短于无效信息条件，说明视觉工作记忆中信息的性质影响自上而下注意控制。这个结果支持了Soto，Humohrevs和Heinke（2006）的观点。

有效信息条件下，视觉工作记忆中保持的记忆项目出现在搜索序列中，并且与目标刺激所在位置的项目相匹配。张学民，舒华和高薇（2003）研究发现，有效线索条件下目标具有注意加工的优先权。本实验中，在进行搜索任务时，被试会在搜索序列中寻找与工作记忆中保持信息相匹配的项目，此时目标刺激嵌入在记忆匹配项目中，被试找到记忆匹配项目后也就找到了目标刺激。因此这种条件下工作记忆中储存的记忆项目信息促进了对目标刺激的搜索。表现在行为上就是反应时变短。也就是说，这种条件下视觉工作记忆中信息内容对目标的搜索起到促进作用。无效信息条件下，虽然与视觉工作记忆中保持信息相匹配的项目出现在搜索序列中，但此时这个项目中嵌入的是干扰刺激，而目标刺激却嵌入在另一个非记忆匹配项目之中。这种条件下，被试先会在搜索序列中寻找记忆匹配项目。找到记忆匹配项目后，发现这个项目中的刺激并非目标刺激，因此便将注意转移到其它位置继续搜索目标，直到发现目标为止，表现在行为上就是反应时变长。也就是说，这种条件下视觉工作记忆中的内容对目标的搜索起到干扰作用。中性信息条件下，由于记忆匹配项目没有出现在搜索序列中，因此，记忆项目对目标的搜索既没有起到促进作用。也没有起到干扰作用。

4.3 视觉工作记忆负荷对自上而下注意控制的影响

工作记忆的资源是有限的，增加当前工作记忆的负荷，就会导致完成其它任务的可用资源减少。从而使其它任务受到影响，这个观点得到一系列研究的证实。本实验操作了视觉工作记忆负荷的高低。根据Soto，Heinke，Humphrevs和Blanco（2005）的观点，低视觉工作记忆负荷条件下被试只对记忆项目进行较浅水平的加工，而高视觉工作记忆负荷条件下被试必须记住整个记忆项目，对记忆项目进行了较深水平的加工。根据记忆探测任务的结果来看，被试在所有实验条件下的辨认正确率都在98%以上。说明在整个搜索过程中，记忆项目一直储存在视觉工作记忆系统之中。表明实验对工作记忆负荷的操作是成功的。

实验发现，被试不同视觉工作记忆负荷条件下的反应时存在显著差异，具体表现为被试在低视觉工作记忆负荷条件下的反应时短，而在高视觉工作记忆负荷条件下的反应时则长一些，这说明视觉工作记忆负荷影响自上而下注意控制。高视觉工作记忆负荷条件下，大部分工作记忆资源被用来储存记忆项目，只有少部分资源用在视觉搜索任务上面，因此导致搜索效率的降低：而在低工作记忆负荷条件下。记忆项目只占用了少部分工作记忆资源，其余的大部分资源都可以用在视觉搜索任务上，因此视觉搜索效率就比较高。

de Fockert。Rees，Frith和Lavie（2005）的研究探讨了工作记忆负荷与选择性注意的影响。结果发现，工作记忆负荷影响注意任务，高工作记忆负荷条件下的任务成绩显著差于低工作记忆负荷条件。但是。Woodman，Vogel和Luck（2001）的研究发现，视觉搜索只需要很小的工作记忆资源。即使是在工作记忆负荷很高的条件下，搜索效率仍然比较高。这说明工作记忆负荷基本上不影响视觉搜索效率。Horowitz和Wolfe（1998）通过研究指出，视觉搜索是一个无记忆的过程。因此，当前争论的焦点就是工作记忆负荷是否影响注意控制。

探索平行线的条件篇（8）

一、教学背景分析

1．教材结构分析。“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用。从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究，将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习，贯穿于高中教学的始终，具有承上启下的作用。

2．学情分析。两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长学习程度较浅，特别是处理抽象问题的能力还有待提高，在学习过程中可能会出现困难。因此，教师要在今后的教学滚动中逐步深化，使之和学生的知识结构同步发展完善。

3．教学目标。(1)知识和技能目标。①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(2)过程与方法目标。①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程，培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力，渗透算法的思想。②通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。(3)情感态度和价值目标。徐利治先生曾指出：“数学教育与数学教学的目标之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，又有助于增长他们的创造发明能力。”因此，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。

4．教学重点与难点．

根据学生现状、教学目标及教材内容分析，确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理，以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件，引导学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。

教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的戈键足在设计j-采Hj了南特殊到一般、从具体到捕象的敦学策略，利片J类比归纳的思想，由浅人深，让学生自主探究，分析发现两百线平、币直的规律

二、教法学法分析

1．教法分析。基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法，我采肘合作探究式教学法及类比发现式教学模式，对数学知识结构进行创造性的“教学加lI”，将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思号我用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，促进学生和谐、F{主、个性化发展。

2．学法分析。我让学生通过观察直线万程的特点．将初巾学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言，用斜率重新刻有关条件；并启发学生用平面几何巾平行线与同位角关系的判定定理和性质定理．以及倾斜角与斜率的对应关系．由学生自己得两条直线平行和垂直的充要条件．使学生在思维训练的过程巾，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．．

三、教学过程与设计

教学于段：几何J面板、汁算机课件辅助教学。

1．复习旧知，以旧悟新。(1)复习初巾的平面几何知识。(2)自问自答：为什么我们现在义要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现存学习平面解析几何，所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说存前而引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后，我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题，所以，怎样通过两直线方稗的特点来判断两直线平彳了与垂冉的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务日的：我通过对已有知识的同顾和深入分析，以问题制造悬念、带着问题走进课堂，让学生主动去探究问题，体验知识发生发展的过程。

2．提出问题，寻找规律。第…部分为新知的发现奠定基础后，我分别给出两组平行的直线．让学生自己做．然后在自主合作的探究氛同中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系，引导叶1溉说明了平行条件的证明，又回避了教材巾单独的、枯燥的证明．然后巧妙地加以引导、点拨．放大到两条直线垂直关系的探究上。目的：由特殊到一般，由具体到抽象，南低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件，学生比较容易接受，同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。

3．深入探究．获得新知。(1)创设问题：平行的时候，学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定．同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?(2)分别给出两组垂直的直线，让学生自己作图、发现规律。在讨论巾提醒学生：若两直线的斜率存在，他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下面出的图形的夹角有什么特点?(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律，我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证，将教学信息及时反馈给教师(4)教师教学讲究深入浅出，对于本课的教学难点，待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明．让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。

探索平行线的条件篇（9）

由于数学开放性题是一种新题型，并且具有不完备性、不确定性、发散性、创造性。因此，它较以前的封闭题，综合性更强，知识的覆盖面更广，要求学生通过观察、比较、分析、联想、推理、判断等一系列的探究活动，才能得到结论，因此对学生的综合素质要求更高。刚接触数学开放性题，学生总是无从下手，特别是基础较差的学生，解答这类题目的时候更是无所适从。目前的教科书的习题主要是传统的封闭题，而新兴的数学开放性题对老师亦是一项新的挑战。

那么，在数学教学中，如何让学生掌握解答数学开放性题的有效方法呢？本人就此谈一点肤浅的体会与做法。

一、多阅读、多收集、多积累数学开放性题的资料、信息

数学开放性题是近几年才出现在中考数学试题的，是一种新题型，而我们所用的教材、辅导资料都是传统的封闭题，极少有这种类型题的练习，更不要说有系统的教学措施。因此，在平时广泛阅读关于数学方面的报刊、杂志，并借助网络，把有关数学开放性题的信息、习题进行摘录，再进行分类收集，还与有联系的封闭题进行比较，最后把这些题目进行变形，派生出新的开放性题。

二、充分利用课本的习题，改编成为数学开放性题

数学开放性题虽然是一种新题型，与传统的封闭题有很大的区别，但是可以通过对传统的封闭题改编成为数学开放性题，本人就是对课本的习题进行改编，来充实开放性题的教学。改编的方法有：

①给出结论，寻求结论成立的充分条件。例如，把“已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：ABD≌ACE”（人教版第二册《几何》第29页的例4）改为：已知，如图1，AB=AC，∠1=∠2，要使ABD≌ACE。请添加一个条件，并说明理由。

②弱化习题条件，使其结论多样化。例如，把“已知直线y=kx+b经过点（9，10）和点（24，20），求k与b”（人教版第三册《代数》第110页的例2）改为：在直角坐标系内，有一点A（9，10）请写出经过点A的一次函数的解析式_______________。

在解答这类条件开放性题时，应由给定的结论出发，探索应具备怎样的条件才能使结论成立。它要求学生善于从所给的题目的结论、条件出发，逆向追索，逐步探寻。

③隐去习题的结论，使其指向多样化。例如，把“AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°求证：DC是O的切线”（人教版第三册《几何》第107页的第2题）改为：如图2，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°由此可推出哪些正确的结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中）

④既定的条件下，探究结论的存在性。例如：如果竹篱笆的长是80米，能不能围成一个面积为500平方米的矩形养鸡场？并说明理由。（把第三册《代数》第43页B组第1题进行改编）

在解答这类结论开放性题时，一般由给定的已知条件探求相应的结论，首先应充分利用已知条件或图形的特征进行猜想，透彻分析在给定的条件下确定命题对象的结论是否存在，然后进行论证。

⑤既定的条件下，采用一题多解法。例如，已知：如图3，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。（人教版第二册《几何》第145页的第9题）

方法一：先证∠EAF=∠ECF，再证∠EAF=∠CFB，得AE∥FC，且AF∥EC可证得结论。

方法二：先证ADE≌CBF，再证CE=AF，且CE∥AF可证得结论。

方法三：先证ADE≌CBF，再证∠AEC=∠AFC，且∠EAF=∠ECF可证得结论。

方法四：先证ADE≌CBF，可得AE=CF，再证EC=AF可证得结论。

用一题多解法解题时，应从各条途径，多角度地思考问题，探索尽可能多的可行的方法。

⑥在给定的条件或关系，进行综合的探索。例如，把“求证：等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等。”（人教版第二册《几何》第79页的例4）改为：已知：如图4，ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于O，给出下列四组条件：（1）AB=AC（2）∠ABD=∠ACE（3）AE=AD（4）∠BEO=∠CDO，在这些条件中哪两个条件可以证得BO=CO（用序号写出所有的情形），并选其中一种情形写出证明过程。

在解答这种类型题时，要根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜想，寻求尽可能多的答案，然后对所得的答案进行认真筛选、推理、计算，最后确定满足题目要求的答案。

三、在平时教学中渗透数学开放性题的教学

因为解答数学开放性题要求学生要有较高的综合能力，而对一般的学生来讲，有很大的困难，所以在平时的教学中渗透开放性题的教学。使难点分散，学生容易接受，并把课本的习题改编成开放性题，然后穿插到平时的教学中去。在教学过程中通常采用下列方法：

①举例教学。例如，在讲解勾股数时，除了3、4、5，你们还可以举一些勾股数的例子吗？再如，在讲无理数时，请你写出五个无理数__________。

②一题多解教学。例如上面讲到的第二点中的第5小点的一题多解。

③变式教学。即在平时的教学中，讲完书本的例题或习题后，把条件进行删减、变形或隐去结论，让同学进行讨论。

例如，已知ABC，P是边AB上的一点，连结CP。（1）∠ACP满足什么条件时，ACP∽ABC；（2）AC∶AP满足什么条件时，ACP∽ABC。（第二册《几何》第233页的例5）改为：已知（如图5）ABC，点P是边AB上的一点，连结CP，满足__________条件时，ACP∽ABC。或者把此题变形为：已知ABC，点P是AB边上一点，过点P（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线最多有（ ）

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条

通过在平时的教学中渗透开放性题的教学，消除了同学们对这种题的恐惧心理，并且在平时的解题过程中，教会学生观察、分析、综合、类比、推理、归纳等思维方法，有利于培养学生的发散思维和创新能力。

探索平行线的条件篇（10）

数学学习不仅仅要学好知识和技能，学会探索知识的过程及方法比获取知识本身更为重要。新的课程标准要求，在数学学习中要学会自主探索，自主创新，即在一定的情境中去发现问题，探索问题，设计解决问题的方案，从而养成自主探索、创新的意识和习惯。数学开放性问题，对实现以上目标，激发学习兴趣，培养发展思维，起着十分重要的作用，因而也是目前命题的热点。

开放性问题所提供的研究内容既不拘泥于教材，又不局限于原有的知识内容，但它接近广大学生的认知水平，为学生们的创造提供了宽广的空间。学生通过解开放型题，能够巩固知识，形成能力，开发智力。开放性问题对于培养和观察学生的思维能力与创新能力具有重要的作用。现采撷部分习题，对其归类简析。

一、条件开放题：探索条件型

这类开放题的结论明确，需要求的是使结论成立的条件。解题时要展开联想，逆向思考，学会多角度分析，多方位理解。方法一般是从结论入手，逆推其条件，其解题过程类似于分析法。

例1.如图1，ABC和ADE中，∠1=∠2，若再有条件?摇?摇?摇 ?摇时，ABC∽ADE。（写出一个符合条件的结论即可）

分析：由∠1=∠2，可推得∠BAC=∠DAE，已有一对角对应相等，由两三角形相似的识别方法，只要有①?摇?摇?摇?摇或②?摇?摇 ?摇?摇即可；根据相似的判定方法2，只要有?摇?摇?摇?摇即可。

例2.如图2，四边形ABCD中，P、Q、M、N分别为BC、AB、DA、DC的中点。

①当对角线AC、BD满足什么条件时，四边形PQMN是矩形？

②当对角线AC、BD满足什么条件时，四边形PQMN是菱形？

③当对角线AC、BD满足什么条件时，四边形PQMN是正方形？

分析：由三角形的中位线定理可知，四边形PQMN为平行四边形。

①若使四边形PQMN是矩形，AC、BD相等；

②若使四边形PQMN是菱形，AC、BD垂直；

③若使四边形PQMN是正方形，AC、BD垂直且相等。

你能分别说明理由吗？

二、结论开放题：探索结论型

这类习题，条件确定，但结论不唯一。解题时要根据条件联想不同的结论。这类题有利于对知识的综合运用，加强对知识的探求和思维的发展。根据所要求的结论的情况，又可分为以下几种类型。

1.寻求变化规律。

例3.判定下列各式是否成立。

（1）=2 （?摇?摇?摇） ?摇?摇?摇（2） =3?摇（?摇?摇?摇）

（3）=4（?摇?摇?摇）?摇?摇?摇?摇（4）=5?摇?摇（?摇?摇?摇）

并根据以上判断，将所发现的规律用式子表示出来。

分析：易知以上四式都成立。经过观察容易发现规律：这两数之差的算术平方根等于这个分数的算术平方根的正整数倍。其规律用式子表示出来就是：

=x（x>0）

2.寻求可能的结论（探索结论是否存在，并说明相应的理由）。

例4.①已知点P在第二象限，且它的横纵坐标之和为1，则满足条件的点P的一个坐标为?摇?摇?摇?摇。

②如图3，已知点C在线段AB上，以AC、CB为边向同侧作等边三角形AMC、CNB，设AMCD的边长为a，CNB的边长为b，连接AN、BM相交于点P，记AN、CM的交点为E，BM、CN的交点为F，由上述条件，你能推出哪些正确结论？（至少写6条）

分析：本题需要对问题行观察、思考、推理，可得到如下结论：

（1）AM∥CN；（2）BN∥CM；（3）EF∥AB；（4）ACN≌MCB；（5）AN=BM；（6）AEC≌FCB；（7）EC=FC；（8）ECN≌FCB；（9）ECF是等边三角形；（10）=+，等等。

这类问题最为常见，做这类题时，通常假设结论存在，倒着推过去，看能否和已知的条件或熟知的问题“接轨”。

例5.如图4，已知抛物线y=x2+bx+c，经过点A（4，2），B（5，7）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴交于点C（x，0），点D（x，0），

其中x＜x，且抛物线的顶点为M，求MCD的面积。

（3）问：在抛物线的对称轴上是否存在点C，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：易知，（1）y=x2-4x+2；（2）S=2；（3）本题是结论开放题，过点A作垂直与抛物线的对称轴，并交抛物线的左侧于F点，则点A与点F关于抛物线的对称轴对称。连接FB交对称轴于P，则点P即为所求。因为，在对称轴上任取一点，连接P′F、P′A、PA，易证得P′A+P′B＞PA+PB，即PA+PB+AB最小，所以PAB的周长最小，易求得：P点坐标为（2，4）。

3.某些条件改变时，结论（包括圆形位置、代数式、线段的长度等）是否改变，并说明理由。

例6.如图5，ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发，作匀速直线运动，且它们的速度相等。已知点P沿直线AB运动，点Q沿直线BC的延长线运动。设PQ与直线AC交于点D，作PEAC，垂足是E，当P、Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论。

分析：题中“等边三角形”、“匀速直线运动”似乎暗示我们：“DE是一个定值。”不妨沿着这个思路走下去。

简答：作PT∥BC，交AC于点T，

显然，PTD≌QCD，故TD=CD。

（1）当点P在线段AB上时

AT=AP=X，TC=2-X，TD=CD=（2-X）

又在RtPET中，∠EPT=30°，则ET=PT=X

ED=ET+TD=X+（2-X）=1

（2）当点P在线段AB的延长线上时，仿上依然得ED=1。

DE长度不变。

4.判断某些量之间的关系。

例7：在ABC的外部取一点P，（直线BC上的点除外）分别连接PB、PC，那么∠BPC与∠BAC的大小关系怎样？

分析：如图6，作ABC的外接圆，取点A关于BC的对称点D，作DBC的外接圆。

（1）当点P取在弓形BAC内（ABC外）或弓形BDC内时，∠BPC＞∠BAC；

（2）当点P取在弧BAC上（点A、B、C除外）或弧BDC上时，∠BPC=∠BAC；

（3）当点P取在弓形BAC与弓形BDC围成的图形外（除直线BC上的点）时∠BPC＜∠BAC。

三、解题策略开放题

这类开放题，方法各异，可使不同的认知结构和水平的人得到不同程度的发展。解题时可以从不同的角度去推理，以寻求解题的最佳方案。

例8.如图7，试用三种以上的方法将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分。（要求用文字简述你所设计的两种方法，并在所给平行四边形中正确地作出图形）

例9.如图8，用一条直线将它分割成面积相等的两部分。

例10.“星宇小区”搞绿化，要在一块矩形地上建造花坛，现征集方案，要求设计图案由圆和正方形组成。