分数乘除法的规律篇（1）

事实上很多计算题的错误是由于学生对算理的不理解造成的。在教学活动中，很多教师非常注重计算技能的训练，认为只要让学生掌握计算方法，反复练习就能达到熟能生巧，那么计算能力肯定能提高。但是他们不知道，离开了算理的支撑，离开了计算过程的理解，算法便成了无本之木，无源之水。学生对知识的掌握往往会出现"只知其然不知其所以然"的情况。

1.重结果，更要重过程

分数乘法的运算法则是："分数的分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的要先约分。"方法很简单，学生做题的正确率也很高，然而当学生在一次测验中做到这样一题时，正确率却很低："请在下面的长方形中解释23×15 的意思"孩子一看傻眼了，老师反复强调的就是分子与分子相乘，分母与分母相乘啊，怎么在长方形中解释呀？

把眼光转向我们的课堂，《分数乘法》是六上第一单元的内容，它是在整数乘法、分数的意义和性质的基础上进行教学的。教材的例1是在学生已有的分数加法及分数基本意义的基础上，结合生活实例，通过对分数连加算式的研究，使学生理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法。教材同时采用了数形结合的方法帮助学生理解。例2是结合具体情境理解一个数乘分数的意义，通过对12×3的意义的理解，迁移到对12×12 的理解以及对12×14 的理解，明确分数乘法的意义就是"求一个数的几分之几是多少"。例3是分数和分数相乘，结合分数的意义以及分数乘法的意义，利用数形结合进行教学。拿一张纸表示1公顷，找出它的一半，表示12公顷，再理解12公顷的15 ，就是把12公顷平均分成5份，取其中的1份。也就是把1公顷平均分成（2×5）份，取其中的一份。在三个例题之后还有大量的相关联系，其中就有一题看图计算，继续对分数乘法的意义及计算过程进行理解。

三个例题的共同点也是最大的特点就是充分利用数形结合的方法进行教学，同时十分重视对算理的理解。如果教师在课堂上能够把算理讲透彻，学生能够对分数的意义以及分数乘法的意义真正理解，那么在面对像"请在下面的长方形中解释 23×15 的意思"这样的题目时，也就不用感到手足无措了。

2.记公式，更要重理解

学生学习了乘法分配律后，熟练地背出了乘法分配律的概念，也能用字母公式表示，学生自认为掌握的很好了，教师也认为学生掌握得不错，但是当学生在做一些检测题时，却出现了这样的错误：（35+8）×125=35+8×125；24×98+2=24×（98+2）；125×8×4=125×8+125×4；6÷（2+3）=6÷2+6÷3出现这样的错误原因很多，有数字的诱惑，学生看到98和2就想到了凑整，但是没有去深究是不是符合乘法分配律的条件，也有把乘法分配律和乘法结合律相混淆，更有学生自创了除法分配律……

不论是什么原因，学生出现这么些错误说明学生对乘法分配律的意义建构和形式建构还不充分，

学生对公式只知其然，不知其所以然。因此在教学时要加强学生对乘法分配律内在意义的理解。不仅仅要对乘法分配律的模型掌握，更要理解算理。教学时，可以采用多重形式理解乘法分配律。例如运用数形结合的思想理解乘法分配律，用长方形周长来形象化乘法分配律（a+b）×2=a×2+b×2，也可利用长方形的面积来理解乘法分配律，两个长方形的面积分别是a×c和b×c，面积之和就是（a+b ）×c。还可以利用身边的生活实例来理解乘法分配律，如"学校新进了50套桌椅，桌子65元每张，椅子35元每张，问这50套桌椅总共要多少钱？""小方和小平两人从甲乙两地骑自行车相向而行，小方每小时行5千米，小平每小时行6千米，3小时相遇，甲乙两地相距多少千米？"……向这样的生活中的例子很多，在教学中运用这些例子，既可以让学生感觉数学就在我们身边，觉得数学是为生活服务的，也能更彻底地理解乘法分配律的意义。

3.学规律，更要重运用

分数乘除法的规律篇（2）

二、行动研究方案与教学设计

本研究采用合作的行动研究方法，由小学数学教师和研究者组成合作团队，在确定研究主题、设计教学、实施教学和学生测试等过程中相互协作、共同探讨。

1.实验班的教学过程

实验班教师以“变异理论”为指导设计教学环节，具体有三步。

（1）内容分析

“商不变规律”这一内容包括两个层面的教学。一是规则学习。“商不变规律”，即“被除数和除数同乘或除相同的数（0除外），商不变”。该规则揭示了除法运算中，商、被除数和除数之间大小变化关系的特殊规律。二是技能学习。“商不变规律”简化除法运算有两个方法：一是缩倍法（被除数和除数的末尾都有零时，当它们同除以10或10的整倍数，可简化为划掉被除数和除数末尾相同个数的零），二是扩倍法（除数为5、25或125时，被除数和除数同时乘以2、4或8，以使除数凑成整10、100或1 000）。

（2）学情分析

一是大部分学生对除法运算法则已灵活掌握，并能由商的限定条件推断被除数和除数。二是解释算式之间的规律时，一部分学生回答错误或未回答，另一部分学生能说出局部规律。三是在观察规律时，学生写的算式多是循着逐渐扩大的顺序，较少考虑到逐渐缩小的情况。

（3）教学过程

其一，认识“商不变规律”。

一是导入“商不变算式”。

猴王准备把6个桃子平均分给2只小猴，小猴嫌太少；猴王又准备把12个桃平均分给4只小猴，小猴还嫌太少；猴王准备把60个桃子平均分给20只小猴，小猴觉得占了大便宜，开心地笑了，猴王也笑了。请问，猴王为什么笑？

学生：猴王很聪明。

教师：你怎么知道？

学生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20还等于3。

（教师板书：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）

教师：观察这几个算式，它们有什么共同之处？

学生：它们的商一样。

（教师板书：商不变）

二是归纳“商不变规律”。

教师：我们试着分析，在这些算式中被除数和除数怎样变化，商才不变呢？

（学生四人一组展开讨论，之后全班交流与总结。教师提示先分析前两个算式。）

学生：被除数比前一个算式扩大2倍，除数也比前一个算式扩大2倍，商不变。

教师：扩大2倍，采用运算的形式如何表示？

学生：乘以2。

教师：就是说，被除数乘以2，除数也乘以2，商不变。那么，我们可以把乘除的情况综合起来简洁表述吗？

学生：被除数和除数乘以（或除以）2、5或10，商不变。（此时学生未提及“同时”）

教师：乘以或除以其他数也可以吗？

学生：换成其他数，商也不变。（此时学生未意识到零的特殊性）

教师：我们能不能把它们再归纳为更简洁的一句话呢？

学生：被除数和除数乘以（或除以）相同的数，商不变。

这样，学生用“一个数”“共同的数”或“相同的数”来替代那些具体数值，归纳出“商不变规律”的主要内容，但没有审辨出“同时”和“0除外”这两个要素。

三是完善“商不变规律”。

教师通过正反例对比的变异图式，既巩固已归纳的要点，又引导学生看到前面的归纳还不完善，即需要补充两点（“同时”和“0除外），并强调这两个关键属性。

（12×3）÷（3×3）正例

（12×2）÷（3×4）反例

（12+9）÷（3+9）反例

（12÷6）÷（3×6）反例

（12×0）÷（3×0）反例

其二，运用“商不变规律”简化除法运算。

在复习“商不变规律”这一内容后，教师呈现两个新的教学内容：一是缩倍法简算，二是扩倍法简算。教学重点在于引导学生审辨这两种方法的适用条件和操作方法。

一是缩倍法。

教师：这里有两道题，你可否运用“商不变规律”，口算出结果？

（教师板书：2400÷1200= 24000÷12000= ）

（有几个学生迅速说出答案）

教师：他们是怎么算的？为什么这么快？请大家分小组讨论一下这两题的简算方法。

（教师巡视，并对有困难的学生给予指导，然后全班交流。）

学生：做第一道题，我们的方法是，把被除数和除数都除以100，结果等于2。做第二道题，我们的方法是，把被除数和除数都划掉1000个0，商不变。

教师：这两题有什么共同点？什么情况下可以用去零法或缩倍法简化运算？

学生：被除数和除数都有0。

教师：0在什么位置呢？

学生：在数的末尾。

教师：很好，请大家完成这组练习。

（教师板书：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）

在这组练习题的第2、3、4题中，被除数和除数末尾零的个数不同。起初，不少学生未能审辨这一差别，只是一味地将末尾所有零划去。后来，学生发现了问题（划去零的个数不同违背了“商不变规律”），进而意识到：必须分辨末尾零的个数，以确保被除数和除数划去的末尾零的个数相同。

二是扩倍法。

由于学生自己探究扩倍法简算的难度较大，所以采用课本上的例子作为导入示范。

教师：请大家看课本第76页的“观察与思考”，注意“400÷25”的运算过程，从中你发现了什么？

学生：运用了“商不变规律”，被除数和除数同时乘以4，商不变。

教师：为什么要乘以4？

学生：使除数变成100，再算除法就简单了。

教师：你能用这样的方法简便计算下面各题吗？

（教师板书：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）

在这组练习题中，第1题可采用“乘以4”的方法简算；第2题的除数是5，可把被除数和除数都乘以2，这样，除数变为10，从而简化运算；第3题的除数是125，可把被除数和除数都乘以8，这样，除数变为1 000，从而简化运算。这组练习题的关键在于除数。当除数是5、25和125时，为了简算，应把除数分别乘以2、4和8，以使除数变为10、100和1 000。当然，被除数也要乘以相同的数。

2.对照班的教学过程

对照班的教学过程也紧紧围绕“商不变规律”这一内容展开，与实验班的教学过程相比，它有四个不同之处：一是强调了“商不变规律”的关键要素，但未通过“变”与“不变”的教学情景逐一突出其属性；二是设计的教学情景与“商不变规律”这一内容的联系不够紧密；三是强调“相同的数”可以是任何数（包括除不尽的情况），引发学生的不解；四是技能教学只列举了几个例子，变异图式不够完整。

分数乘除法的规律篇（3）

教师在学生学习的过程中，应注重对学生的引导，而教师的导，学生的学，都必须遵循学生的认识规律，引导学生积极、主动地获职知识。而四则混合运算的教学主要是梳理四则混合运算的运算顺序，并在整理混合运算的运算顺序时，解决实际问题，使学生在解决实际问题的过程中，进一步掌握分析问题、解决问题的策略与方法，同时让学生体会运算顺序的必要性，从而系统地掌握混合运算的顺序。

1 从规律出发，让学生理解四则运算

从儿童的年龄特点和规律出发，以旧拓新。课的开始，我经常出示一道口算题和一道整数四则运算题，让学生在复习旧知识的基础上巧妙过渡到新知识，激发求知欲望，并善于提出问题，善于引导学生发现问题。因而在关键处提出一些问题，且内容恰当，难易适度，并富于思考性，易调动学生思维的积极性。当出示尝试题后，说：“谁能不通过老师的讲解就能做题？”引导学生自己去探索知识，做的过程中提出：“先算什么？后算什么？”由于学生对这些知识并不陌生，很快会根据先算什么，后算什么。这一系列问题，对于学生的思维，有明确的导向作用。理解四则运算，是学习四则计算的基础。根据小学生的年龄特征和认识规律，在四则运算教学中，应主要从感性认识上说明加、减、乘、除法的含义，使学生对四则运算有个初步的理解，还不能从理论上给出它们的定义。而在经过大量的四则运算的基础上，教师对四则运算的意义和四则运算之间的关系，进行抽象、概括，不仅是必要的，而且是可行的。因此要使学生进一步理解四则运算的意义，掌握加法与减法、乘法与除法之间的关系，为学生进一步学习打好基础。在四则运算的过程中，教师要尽量使学生理解和掌握加法、乘法的运算定律，能够进行一些简便运算，发展学生思维，提高学生的计算能力。

2 理解运算定律是学习简便运算的前提

许多简便运算都是充分合理地应用运算定律、性质的结果。如果学生没有理解运算定律、性质，简便运算就是无本之木、无源之水，只能是照葫芦画瓢，在题目明确要求用简便方法时才简算，题目没有明确要求用简便方法计算时，即使算式有简算条件，也不会自觉地采用简便方法计算。因此，教材在每次教学简便运算前都有计划地安排运算定律、性质的教学。一种是把运算性质安排在习题中，让学生通过解答习题，了解运算性质。如练习题中填写下表，说一说：什么数没变？什么数变化了？怎么变化的？加数280 280 280 280 280 280 ，加数10 40 70 100 130 160和被减数 250 250 250 250 250 250 250 ，减数10 40 70 100 130 160 190，学生通过填一填、比一比、说一说，知道了一个加数不变，另一个加数增加几，和也增加几；被减数不变 ，减数增加几，差反而减少几。对和、差变化规律直观的、初步的认识，为以后学习一个数加上（减去）另一个接近整十、整百数的简便算法创造了条件。另外是把运算定律、性质安排在应用题复习中，让学生在重温应用题解答的过程中感知运算定律、性质。如用两种方法解答应用题：“三年级同学参加春季植树，把90人分成2队，每队分成3组，每组有多少人？”这道题的两种解法结果相同，所以90÷2÷3=90÷（3×2），这个等式表示：“一个数连续用两个数除，每次都能除尽的时候，可以先把两个除数相乘，再用它们的积去除被除数，结果不变。”教材对这条除法性质的直观描述，成为教学390÷5÷6、420÷35的简便算法的基础。还有一种是为运算定律的教学安排例题，在学生充分感知的基础上进行抽象概括，形成对运算定律的理性认识。简便运算是在特殊条件下应用运算定律、性质的快速计算。运算定律、性质本身是具有普遍意义的规律。如只要是三个数连乘都可以先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘；只要是连减，都可以先把各个减数相加，再从被减数中减去各个减数的和。但在应用运算定律、性质简便计算时，需要根据算式所具备的特殊条件灵活运用。思维的灵活性是简便运算的灵魂。简便运算在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。首先，要培养学生敏锐的观察力。在教学中加强有针对性的口算练习。第二，要使学生正向思维和逆向思维同步发展，能正向也能逆向应用运算定律。如39×25×4=39 ×100=3900是正向应用乘法结合律，25×24=25×4×6=600是逆向应用乘法结合律； 9×37+9×63=9×100=900是逆向应用乘法分配律。在应用的同时让学生正向、逆向表述运算定律、性质。如表述减法性质：“一个数连续减去几个数，可以从这个数里减去各个减数的和”，“一个数减去几个数的和，可以从这个数里连续减去各个加数。”第三，要使学生收敛思维和发散思维同步发展。有些简算虽然方法相同，但可以用不同的原理来解释，如637+102=637+100+2=737+2=739，可以看作是应用和的变化规律，也可以看作应用加法结合律。在教学中不宜把简算方法教得过死，也不要把一道题可能用的简算方法教得很全，要鼓励学生动脑筋，自己寻找简算方法。

3 分清运算顺序

在混合运算初步教学阶段，教学由百以内加减法组成的两步式题、由表内乘除法组成的两步式题、很简单的乘加（减）与有小括号的两步式题。在这一环节中，四则混合运算教学有三个特点：一是，以 口算为主；二是，解题时只要求写出两步式题的结果；三是，辅助相关知识的教学，如乘加（减）两步式题能帮助学生了解相邻两句乘法口诀之间的联系。四则混合运算教学的第二个环节是各种运算顺序的教学，它有两个特点：一是，用四句话概括表述了常用的混合运算顺序，“在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，都要从左往右按顺序运算”，“在没有括号的算式里，有乘法和加、减法，都要先算乘法”，“在没有括号的算式里，有除法和加、减法 ，都要先算除法”，“算式里有括号，要先算括号里面的”。教材中暂时把“先乘除、后加减”分成两句话表述，适当降低了教学要求；第二个特点是，解题时要写出每步计算的结果，以表明运算顺序。四则混合运算教学的第三个环节是在学生初步掌握混合运算顺序的基础上，教学三步计算的式题。它也有两个特点：一是，由易到难，先教学比较容易的三步式题，如16×4+6×3，74+100÷5×3；二是，式题中有乘、除数是两、三位数的乘、除法，计算比较复杂，容易出现错误 。教师要在学生掌握连加、连减、加减混合式题和连乘、连除、乘除混合式题的基础上，把同级运算扩展到不同级运算，掌握混合运算式题的运算顺序。教师要使学生明确在混合运算式题计算中，要看它是含有同级运算还是含有不同级运算，同级运算的运算顺序是从左往右，依次演算；不同级运算的，要先算乘除，后算加减。

分数乘除法的规律篇（4）

1.看谁算得又对又快。

6÷3=

200÷40=

200÷20=

80÷8=

320÷8=

60÷30=

200÷2=

600÷300=

160÷8=

6000÷3000=

2.分类整理。

认真观察这些算式，你能把他们分类吗？你分类的标准是什么？小结：按除数不变、被除数不变、商不变进行分类。

第1组：80÷8=

160÷8=

320÷8=

第2组：200÷40=

200÷20=

200÷2=

第3组：6÷3=

60÷30=

600÷300=

6000÷3000=

引导：观察上面3组算式，你能提出哪些数学问题？

3.揭示课题。

在这3组除法算式中，被除数、除数和商的变化有什么规律？这节课我们就来发现其中商的规律。（板书课题：商的变化规律）

【设计意图：从口算入手，学生熟悉易答。便于分类，对教材进行适当的改编，将算式16÷8改编成80÷8。教师引导学生对除法算式进行分类，提出数学问题，滲透学习方法，让学生体会，感悟分类的数学思想方法，为进一步学习商的变化规律做好准备。】

片段二、基于问题，探究规律

1.探究除数不变时，商的变化规律。

出示

80

÷

8=

10

160

÷

8

=

20

320

÷

8

=

40

（1）观察第1组算式，思考下面的问题。

观察数字，你发现了什么数变了？什么数没有变？从上往下比较，被除数发生来什么变化？商随着发生来什么变化？

讨论发现：除数不变，被除数变大，商也变大。除数不变，被除数乘几，商也乘几。

（2）可以举例子来证明吗？

（3）继续思考问题。

从下往上观察，你又发现了什么？

讨论发现并进一步抽象概括：除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几。

2.探究被除数不变时，商的变化规律。

出示

（1）观察第2组算式，思考下面的问题。

你发现什么数变了？什么数没变？

从上往下观察，除数发生了什么变化？商随着发生了什么变化？

（2）小结。

能试着将你找到的规律总结一下吗？课件说给同桌听一听。

小结：被除数不变，除数乘几，商反而除以几。

（3）追问。

这是为什么？引导学生用自己的话尝试解释。

（4）从下往上，你又发现了什么？

小结：被除数不变，除数除以几，商反而乘几。

（5）举例验证规律。

【设计意图：引导学生观察比较感知规律，然后让学生思考如何验证这个规律，学生通过举例验证更加深入理解规律，并掌握验证规律的方法。在举例的基础上抽象概括得出结论，也就是除法算式中除数不变时，被除数和商的变化规律。学生在这个过程中经历来“计算-观察比较-发现规律-举例验证-得出结论”的过程。】

3.探究商不变的规律。

刚刚我们研究了第1组算式和第2组算式的变化规律，现在我们来研究第3组算式的变化规律，你能用同样的方法来研究一下吗？请小组根据合作要求，探索规律。

课件出示合作要求：

（1）观察第3组算式，思考下面的问题。

你发现什么数变了？什么数没有变化？

比较算式，从上往下看，被除数和除数发生了什么变化？商呢？

（2）讨论发现。

在除法里，被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变。

（3）可以举例子来证明吗？

（4）从下往上观察，你又发现了什么？

被除数、除数分别都除以一个相同的数，商不变。

（5）通过观察，谁能再给我们总结一下，你发现了什么？

在除法里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。这也是商的变化规律一种。

（6）引导学生讨论交流。

被除数、除数同时乘以（或除以）相同的数，这个相同的数可以是0吗？为什么？

分数乘除法的规律篇（5）

2．归纳整理整数小数和分数计算法则的异同点，进一步总结计算时应遵循的一般规律．

3．总结四则运算中的一些特殊情况．

4．总结验算方法．

教学重点

整理四则运算的意义及法则．

教学难点

对四则运算算理本质规律的认识和理解．

教学步骤

一、复习旧知识，归纳知识结构．

（一）四则运算的意义．【演示课件“四则运算的意义和法则”】

1．举例说明四则运算的意义．

根据下面算式，说一说它们表示的四则运算的意义．

2＋30.6－0.42×36÷2

100－152×0.30.6÷0.2

0.2＋0.32×1.3

2．观察图片．

教师提问：看一看，整数、小数、分数的哪些意义相同？哪些意义有扩展？

（加法、减法和除法意义相同，乘法意义在小数和分数中有所扩展．）

3．你能用图示的形式表示出四则运算的意义之间的关系吗？

（二）四则运算的法则．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】

1．加法和减法的法则．

（1）出示三道题，请分析错误原因并改正．

错误分别是：数位没有对齐，小数点没有对齐，没有通分．

（2）三条法则分别是怎样要求的？

整数：相同数位对齐

小数：小数点对齐

分数：分母相同时才能直接相加减

思考：三条法则的要求反映了一条什么样的共同的规律？

（相同计数单位上的数才能相加或相减）

2．乘法和除法的法则．

（1）出示两道题：

口述整数乘法和除法的计算法则．

改编成小数乘除法计算：1.42×2.34.182÷1.23

（要求：学生在整数计算的结果上确定小数点的位置）

（2）教师提问．

通过上面的计算，你发现小数乘法和除法与整数乘法和除法有什么相似的地方？

（小数乘除法都先按整数乘除法法则计算）

有什么不同？

（小数乘、除法还要在计算结果上确定小数点的位置．）

（3）根据，说一说分数乘法和除法的法则．

分数乘法和除法比较又有什么相似和不同？

相似：分数除法要转化成分数乘法计算．

不同：分数除法转化后乘的是除数的倒数．

（三）练习．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】

计算后说一说各题计算时需要注意什么？

73.06－3.96（差的百分位是0，可以不写）

37.5×1.03（积是三位小数）

8.7÷0.03（商是整数）

3.13÷15（得数保留三位小数）

（要除到小数点后第四位）

（要先通分）

（四）法则中的特殊情况．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】

请同学们根据a与0，a与1和a与a的运算分类．（a作除数时不等于0）

分类如下：

第一组：a＋0＝aa－0＝aa×0＝00÷a＝0

第二组：a×1＝aa÷1＝a

第三组：a－a＝0a÷a＝1

（五）验算．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】

1．根据四则运算的关系，完成下面等式．

2．思考：怎样应用这些关系对加、减法或乘、除法的计算进行验算？

（加法可用减法验算；减法可以用加法或减法验算；乘法可以用除法验算；除法可以用乘法或除法验算．）

3．练习：先说出下面各算式的意义，再计算，并进行验算．

4325＋37947.5－7.6518.4×75

84×587.1÷0.57÷

二、全课小结．

这节课我们对四则运算的意义和法则进行了整理和复习，总结了在四则运算中的一些特殊情况及注意的问题，希望同学们在计算时一定要细心、认真，养成自觉验算的好习惯．

三、随堂练习．

1．根据43×78＝3354，直接写出下面各题的得数．（复习积的变化规律和商不变的性质）

43×0.78＝0.43×7.8＝

33.54÷0.78＝3354÷0.43＝

2．在里填上“＞”“＜”或“＝”．

12×12÷3×2

÷12÷12÷2×3

3．思考：7.6÷0.25的商与7.6×4的积相等吗？为什么？

四、布置作业．

计算下面各题，并且验算．

分数乘除法的规律篇（6）

小数乘法1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。1.5×1.8就是求1.5的1.8倍是多少。计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。4、求近似数的方法一般有三种：⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。7、运算定律和性质：加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 【(a-b)×c=a×c-b×c】除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)

分数乘除法的规律篇（7）

例1 在下列实数中，

是分数.

-8，5.23，■，0，■，+3，0.3

【错误解答】5.23，■，■.

【错解成因】对分数概念的本质认识不够，看到小数和分数形式的数就认为是有理数.

【正确解答】5.23，■，0.3.

【方法规律】小数有有限小数、无限循环小数和无限不循环小数三类.对于任意有限小数和无限循环小数都可以化成分数，如0.3=■，它是分数；而无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数就不是有理数，如■，表面上是分数的形式，但实际上，■也是无限不循环小数，不是分数.

例2 如果-a=-a，下列成立的是 （ ）.

A.a0 D.a≥0

【错误解答】A.

【错解成因】忽视了a=0这一结论.

【正确解答】B.

【方法规律】由a=a或a=-a成立，确定a的取值范围时，往往只考虑到a>0或a

例3 以下计算中：①（-3）4=-81；②■5=■=■；③-（-2）4=-16；④-■=-■.其中正确的有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错误解答】D.

【错解成因】①、②两个计算的底数判断不清，造成运算错误.

【正确解答】B.

【方法规律】正确理解乘方的意义和识别底数是计算乘方的关键.同学们学习时要注意（-3）4与-34，■5与■意义的不同.

二、运算法则掌握不到位，造成计算错误

例4 计算：-12×■-■-1.

【错误解答】解：原式=-12×■-12×■-1=-9-2-1=-12.

【错解成因】运用乘法分配律运算时，常常会漏乘其中的某一个加数或者弄错符号.

【正确解答】解：原式=-12×■+（-12）×-■+（-12）×（-1）=-9+2+12=5.

【方法规律】运用乘法分配律计算时，可以把括号里的内容理解为省略加号和括号的和，然后把-12与括号的各个加数分别相乘，再把所得的积相加.

例5 计算-■÷■-■.

【错误解答】解：原式-■÷■--■÷■=-1+■=■.

【错解成因】错误地运用运算律.

【正确解答】解：原式-■÷■-■=-■÷■=-■×■=-3.

【方法规律】乘法分配律可以推广到除法中.当被除数是“和”的形式时，可以把除数分配给“和”中的每一个数；当除数是“和”的形式时，则不能把被除数分配给“和”中的每一个数.本题的正确的解法是先算括号内的运算.

三、其他错误

例6 若abc

【错误解答】解：因为abc

【错解成因】思考问题不全面，片面地认为abc

【正确解答】因为abc

（1）两正一负时，设a>0，b>0，c

（2）三负时，即a

分数乘除法的规律篇（8）

一、 要加强学生的口算意识

在数学教学中渗透和强化口算意识，能够进一步增强学生的学习兴趣，激活学生的思维，开阔学生的思路，培养学生思维的敏捷性、灵活性、独创性，提高学生综合运用多种方法处理解决实际问题的能力。培养学生的口算意识主要从两个方面入手。一方面，教师要在教学中有意识的渗透口算思想，用口算法对数学规律进行计算，用口算法检验解题思路，用口算法检验解题结果等，将口算教学贯穿教学始终，使学生在潜移默化中强化口算意识。另一方面，让学生尽可能的运用口算解决生活中的一些实际问题，感受口算知识的实际应用价值，从而增强主动探索口算方法的意识。口算时应注意两点：其一，不动笔，动笔计算不利于口算能力的提高，也不利于提高学生口算能力的敏捷性；其二：计算时要有速度要求，使学生有紧迫感。

二、 掌握口算的一般策略

虽然口算的方法灵活多样，但口算也不是无规律可循，口算的基础是“凑整法”和找规律。第一是数据简化。简化的目的是使数据计算变的较为容易，比如，可以将52+38简化为50+30加2+8后再进行计算。在具体的口算过程中又有以下几种口算方法：

（1） 凑整法

这个方法在日常生活中是运用最广泛的，也是数学学习中基本的口算方法，也就是个位“看大数，分小数，凑满整，加剩数” 的方法。这种简便的口算方法在一年级就已经渗透到数学学习过程中了。在教学“20以内的加法”时，我自编顺口溜，激发学生共同参与的创造激情，调动他们学习积极性，在大多数学生喜欢用凑整法来计算时，我引导他们找出规律编成顺口溜“9加几真容易，从里面拿出1，和9凑十在一起，8加几真不难，从里面拿出2，和8凑十要记牢…”例如。52+9（51+1+9），36+3（30+3+6），75-4（70+5-4），62-9（50+12-9），不用笔算，很快说出算式的得数。再如计算2.8元/斤×1.8斤，把1.8当作2，2.8×2=5.6元，2.8×0.2=0.56元，5.6-0.56=5.04元这个计算过程速度快，道理清楚，结果准确让人信服，这也是利用“凑整”思想来口算的。

（2） 先估后调

口算要重视估算的作用。在小学低年级，由于学生所学知识结构简单，只要口算的数值在可允许的浮动区间就可以了，但到了高年级，对学生的要求就要提高到能计算得快又准确，这就要根据实际情况先估后调。比如，由学生238人，老师158人，去看电影，有399个座位够不够。先把238看作240，158看作160；240+160=400，座位不够。但调整后就可以发现每个加数的数据都多了2，再减去两个2就是396人。所以399个座位够了。这就是通过估算先确定一个数值的区间再进行口算，以保证口算结果的准确性。

（3） 根据运算性质口算

就是改变运算顺序，变型不变值。根据法则定义，改变运算符号和数据，促使学生对知识融会贯通。一是掌握运算性质的特殊性，二是抓运算性质的逆运算，加深对解题思路的深刻理解，从而培养学生思维的灵活性，提高学生巧算能力。

例如，456-164-136=156，根据一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。456-（164+136）=456-300=156；再如，3600÷125÷8=3.6根据一个数连续除以几个数等于这个数除以这几个数的积等运算性质，让学生充分理解计算算理。

（4） 根据运算定律

熟记加法、乘法的相关运算定律，并根据加法交换律、加法结合律、乘法交换律、结合律、分配律等运算定律进行口算，25×14×40=25×40×14=14000，（根据乘法的交换律和结合律）125×64+16×125=80×125=10000（根据乘法对加法分配律的逆运算进行口算）

（5） 表内乘除法口算

将表内乘除法分为表内乘法与表内除法两块进行教学，并以表内乘法的教学为重点。即把乘法口诀集中起来教学，将乘法与除法划分开来教学，突出重点，以“乘”促“除”。由于表内除法是从表内乘法运算的可逆联想着手进行的，它利用一句乘法口诀逆算的正迁移来口算同一被除数的一组除法。例如，36÷4=？，想：四（ ）三十六，商是几；27 ÷9=？，想（ ）九二十七，商是几。在掌握同一被除数的一组除法后，同样的方法又有利于迁移到另一组除法运算中去。以提高学生乘除法的口算能力。

三、 抓好口算教学的针对性

（1）熟悉运算定律。

要让学生熟记和理解如加法交换律、加法结合律、乘法交换律、结合律、分配律等运算定律。并能根据所给的数据及时想起相对应的运算定律，加大运算定律在口算教学中的应用，以提高学生的计算能力。

（2）要进行专项的强化训练。

因为口算是一种打破学生原有计算习惯的计算方法，是学生对所学知识的重组、完善、再重组的过程。因此教师要通过一定量的练习，使学生在熟练计算的同时，加深对多种口算方法的理解和运用。

（3）加强算法指导。

小学数学是具有方法论意义的一门科学，数学教学必将影响和改变学生思维方式，而学生良好的思维方式和思维素养，集中表现在善于运用现代思维去思考和解决数学问题，这就给数学教学增添了一项新任务――使学生具备健全、发达灵巧的“数学头脑”。而这样的数学头脑的形成与发展和口算训练是密不可分的。有些教师在口算练习中，用抢答式、开火车式、口算板书式进行口算练习，忽视了学生思维的发展过程，这种做法的不足之处是单纯的注重结果，教师不能充分了解学生对计算法则规律等的掌握程度，运用的计算方法是否简便，从而不能很好的了解学生对算法的掌握情况。所以提高学生计算能力，重视口算教学就要首先注重口算教学的算法指导。

分数乘除法的规律篇（9）

2．掌握积、商的变化规律。

3．能运用这些定律、性质和规律进行简便计算，提高计算能力。

教学重点

运用定律、性质和规律进行简算。

教学难点

如何“灵活”运用。

教具与学具准备

投影仪、投影片、判断牌、选择牌。

教学过程设计

(一)揭示课题

提问：“请同学们回忆一下，我们在学习整数四则运算时，已经学过了哪些运算定律？哪些运算性质？”(指名回答)

(板书)

加法交换律减法的性质

结合律

乘法交换律除法的性质

结合律

分配律

很好，今天我们就来复习这些定律和性质及其应用。(板书：四则运算的定律和性质复习)

(二)复习五大定律

1．提问：这些定律用字母怎样表示？用语言怎么叙述？(学生边回答教师边板书字母公式。)

2．判断下面应用运算定律的过程有没有错误，没错举“√”，有错举“×”，并指出错误所在，改正过来。

投影出示：

(1)(43＋25)×4=43×4×25×4

(2)(700＋1)×68=700×68＋68

(3)153×(220＋57)=153×220＋57

(4)45＋(54＋55)=54＋(45＋55)

(5)63×8＋37×8＝(63＋37)×(8＋8)

3．小结：我们运用这些定律时要注意正确。

(三)复习两大性质

1．提问：我们还学习了哪些运算性质？你能把它们用字母表示出来吗？说说它们表示的意思。(学生边说老师边板书。)

减法运算性质：a－(b＋c)=a－b－c

除法运算性质：(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c(c≠0)

强调除法性质中的a，b都要能被c整除，且除数c不能是0。

2．做一做：在等号后面的横线上填数，里填运算符号。

(1)157－(27＋68)=157－27_________

(2)3214－537－463=3214－(537463)

(3)(945＋63)÷9=945÷________63÷

(4)156×102=156×(100_______)

指名一人做胶片，其他同学做印好的练习片子，然后投影说结果，并说明根据什么性质。

(四)积、商的变化规律

1．提问：我们在学习多位数乘、除法时，还学过积、商的哪些变化规律？谁还记得？

(1)投影：在乘法里，如果一个因数扩大10倍，另一个因数不变，那么积就________倍；如果一个因数缩小100倍，另一个因数不变，那么积就________倍；或者，一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积________。

想一想：这是什么道理？(是乘法交换律和结合律的具体体现。)

投影说明：

(a×10)×b＝a×10×b＝a×b×10＝(a×b)×10

(a÷100)×b＝a÷100×b＝a×b÷100＝(a×b)÷100

(a×10)×(b÷10)=a×10×b÷10

＝a×b×10×10＝(a×b)×1＝a×b

(2)投影回答：在除法里，被除数和除数___________扩大(或缩小)___________的倍数，_______________。

问：你能联系乘、除法的关系和乘法运算定律来说明其中的道理吗？(根据除法是乘法的逆运算关系，这也是乘法运算定律的具体体现。)

说明：整数四则运算的定律和性质，对小数四则运算同样适用。(只有除法的性质略有变化，a，b都要能被c除尽。)

2．练习。

口答：

(1)一个因数扩大100倍，另一个因数扩大10倍，原来的积就____________倍。

(2)把除数扩大100倍，要使商不变，被除数应该____________倍。

(3)在下面的横线上填上适当的数，里填运算符号。

①3.6＋0.85＋6.4＋0.15=(_____________)(_____________)

②4.53－1.64－0.36=_____(______0.36)

③7.8×5.3＋7.8×4.7=______(__________)

④4.2÷0.7＋2.8÷0.7=(____________)______

(五)课堂总结

我们掌握四则运算的五大定律和两个性质主要是为了应用，使计算简便，而且要灵活运用。

(六)课堂练习

1．选择题：(投影出示，学生举选择牌。)

(1)被减数不变，减数增加5，得到的差[]。

①增加5

②减少5

③不变

(2)对于25×48，小明想了以下几种计算方法，分别应用了()知识。

25×48=25×(40＋8)=25×40＋25×8=1000＋200=1200

应用了()知识。

25×48=25×(6×8)=6×(25×8)=6×200=1200

应用了()知识。

25×48=25×(50－2)=25×50－25×2=1250－50=1200

应用了()知识。

25×48=(25×4)×(48÷4)=100×12=1200

应用了()知识。

①积的变化规律②乘法交换律和结合律

③乘法结合律④乘法分配律

⑤乘法交换律

追问：哪种最简便？

2．简算，在片子上完成，指名两个同学用胶片做。

①1.25×2.5×64×5

=1.25×2.5×(8×8)×5

=(1.25×8)×(2.5×8×5)

=10×100=1000

②5.8÷0.7＋0.42÷0.07＋40÷7

＝58÷7＋42÷7＋40÷7

=(58＋42＋40)÷7=140÷7=20

集体在投影上订正。

(七)课堂总结

分数乘除法的规律篇（10）

1.通过实例分析，概括出数学规律

小学阶段，学生对定律、公式、法则的掌握一般还不能单凭推理得出，必须让学生在众多感性的、能揭示关系的材料中进行探索，思维获得抽象的知识。所以教学规律性知识时，一般都举出实例，在引导学生计算试题或解答有关应用题的过程中，通过观察、比较、分析，找出共同特征，概括出数学规律，认识和掌握它们的实际意义。

2.利用逻辑推理，推导出某些数学规律

学生进入高年级，抽象思维能力有了一定的发展，对某些数学规律了解可用逻辑推理的方法（如演绎推理）来推导。例如分数基本性质的教学，除根据分数的意义配合图形说理帮助学生分析、归纳得出结论外，也可用分数与除法的关系，利用整数商不变的性质进行逻辑推理导出。

二、帮助学生巩固和应用数学规律，形成运算的技能技巧

1.通过练习，巩固和应用数学规律

练习应有目的、有计划地进行，练习的设计和题目的选材要有针对性，难度要由浅入深有层次性和思考性，练习要适度，既不加重学生负担，又利于信息反馈。围绕教学内容的重难点、关键设计专项练习，是加深理解和巩固规律性知识的有效方法。

2.针对学生实际，加深理解数学规律

人们认识事物总是逐步深入的，同时，由于儿童在学习数学中也会有所反复，难免出现错误的认识，所以在巩固和应用规律性知识的阶段，仍应注意帮助学生加深理解、掌握数学规律。教师应通过学习过程，反馈各个环节，如提问、板书和书面作业等，了解学生理解和掌握数学规律的情况，以便针对学生实际采取措施加深理解。

三、使学生认识数学规律间的相互关系

1.掌握数学规律间的内在联系，突出主要数学规律的教学

例如，分数乘法的教学，教材是在教学了分数乘以整数、整数乘以分数和分数乘以分数计算法则的基础上，再统一得出分数乘法法则的。其中分数乘法、分数计算法则的教学是主要的一环，教学中应在突出分数乘以分数计算法则的基础上，注意抓住“整数可看作分母是1的分数”这一联系，讲清分数乘以分数的法则也适用于分数与整数相乘，是分数乘法的一般法则。