反比例函数的应用篇（1）

教师不是简单地将概念“抛”给学生，而要引导学生在积极思维讨论、主动合作探究的基础上通过归纳形成概念，并通过简单的习题训练不断拓展，引导学生抓住概念的本质。笔者在反比函数教学中引入定义时，向学生介绍其基本形式为：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但学生对反比例函数概念的认识尚处于表象，教师适时将定义变式，设计几个变式题目来强化概念。

变式1：若函数y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m的值为（ ）

A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3

本题变式旨在让学生由反比例函数定义，一个函数满足是反比例函数的必备要件分别是k≠0、x的指数为-1。

变式2：如果函数y=kxk■-10是一个反比例函数，求k的值和反比例函数的表达式。

二、 数形结合，化繁为简

反函数教学要改变数、形彼此“两边飞”的现状，要将数与形完美结合，从而兼具“数”的关系和“形”的直观，在面积计算、比例大小等内容教学中要利用其图象特点，将复杂的问题简单化。

题源：若函数y=■的图象经过点（-2，6），则下列各点中不在y=■图象上的是（ ）。

A、（3，4） B、（2，-6）

C、（3，-4） D、（-3，4）

变式1：如右图所示，点A是反比例函数图象上一点，过A作ABx轴于B，若SAOB=5，则解析式为 。

通过观察图象可知，双曲线上任一点引x轴（或y轴垂线），该点与垂足、原点所构成的三角形面积是定值，

即SAOB=■k。

变式2：已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=■的图象交于点A与B。（1）请利用给定的条件，求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象写出ax+b>■时x的取值范围。

本题旨在要求学生利用反比例函数与一次函数的交点来求不等式的解集。通过观察不难发现，一次函数图象在反比例函数上方时，一次函数值大于反比例函数值，即x

三、挖掘性质，探索规律

函数作为初中代数教学的重点内容，学生往往被其若干个性质搞得头昏脑胀。教师要通过变式练习，引领学生深入挖掘函数的性质，探索其内在的规律，才能使学生在解决问题时应对自如。

题源：若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数图象上，且x1

学生根据k>0确定反比例函数图象分布在一、三象限，在同一象限内，y随x的增大而减少，容易得出结论y1

变式：若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1

四、关注社会，联系生活

数学源于生活，服务于生活。数学教学应根植于社会生活实际，从生活中搜索数学素材，精心编制习题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。

题源：已知点M（-1，4）在反比例函数y=kx-1（k≠0）图象上，则k的值是 。

变式1：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例。当p=50时，V=600，则当p=40时，V= 。

变式2：某学校为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长24m、宽12m的矩形大礼堂内修建一个60m2的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁有两侧沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为60元/平方米，新建（含装修）的费用为240元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元。

（1）求y与x的函数关系式；

反比例函数的应用篇（2）

例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）

A.-6. B.-3.C.3.D.6.

解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.

反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.

二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积

例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（）

A.1B.3

C.6D.12

分析：过点A作AEOB于点E，容易证明ABE≌DCO.

所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.

根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．

例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为()

A．2 B．3

C．4 D．5

分析：分别过点B、A作BECD于E，AFCD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.

评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.

三、以点的坐标为载体设计规律探究问题

例4.给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；

……

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.

反比例函数的应用篇（3）

当 k1k2＞0 时直线与双曲线一定相交.

证明(略)

性质2 直线与双曲线只有一个交点时,两线相切,并且切点是直线被两坐标轴所截线段的中点；反之,如果双曲线经过直线被两坐标轴所截线段的中点,则两线一定相切.

因为Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以两线只有一个交点,两线相切.

性质3 直线与双曲线相交时,直线被双曲线和两坐标轴截得的线段相等.

证明 如图1(2),过点C作CEy轴,过点D作DFx轴,

连接E、F.由CE∥y轴,DF∥x轴,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.

又因为两三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,则四边形AEFD、ECBF都是平行四边形,

所以EC=BF,AE=DF.可判断RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.

通过上述证明过程又可得到以下性质：

性质4 当直线与双曲线有两个交点时,过其中一个点向x轴引垂线,y轴引垂线,两垂足连线一定与该直线平行.

由图2,图2(1)都可证明性质3与性质4(证明过程同上).并且由图2还可以得到

性质5 过原点的直线与双曲线相交时,两交点关于原点对称.

证明 如图2,由性质4知EF∥AB,因此四边形AEFO、BOEF都是平行四边形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分别在二、四象限,因此A、B两点关于原点对称.

另外由图3,还可以发现,设点P(x,y)是线段AB上一个动点,

当点P与C、D重合时,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,

当点P在CD段时,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,

当点P在AC段或BD段时,易得矩形面积都小于k2,因此又得到

性质6 如图3,当点P在线段AB上运动时,过点P与x轴、

y轴围成的矩形面积S有如下三种情况：设点p、C、D的横坐标分别为x、x1 、x2,

则 当x1＜x＜x2时,S矩形＞k2,

当0＜x＜x1或当x2＜x＜-b[]k1时,S矩形＜k2,

当x=x1、x2时,S矩形=k2.

2 性质应用

例1 (2010湖北咸宁)如图4,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=k[]x的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE．

有下列四个结论：

①CEF与DEF的面积相等；②AOB∽FOE；

③DCE≌CDF；④AC=BD．

其中正确的结论是_________(把你认为正确结论的序号都填上)

解 由上述性质3、4得到①②④正确

例2 (2010宁夏)如图5,已知：一次函数：y=-x+4的图像与反比例函数：

y=2[]x(x>0)的图像分别交于A、B两点,点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点,过M分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M1、M2,设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点,过N分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为N1、N2,设矩形NN1ON2的面积为S2；

(1)若设点M的坐标为(x,y),请写出S1关于x的函数表达式,并求x取何值时,S1的最大值；

(2)观察图形,通过确定x的取值,试比较S1、S2的大小．

解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4

当x=2时,S1最大值=4 .

(2)因为S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,

x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性质6可得：

当x=2±2时,S1=S2,

当0

当2-2

例3 (2010泰安)如图6,一次函数y=ax(a为常数)与

反比例函数y=k[]x(k为常数)的图象相交于A、B两点,若A点的坐标为

(－2,3),则B点的坐标_________.

解 由性质3知B点与A点关于原点对称,因此B点的坐标为(2,-3).

例4 (2009温州)如图7,在平面直角坐标系中,

直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B,

与反比例函数y=m[]x在第一象限的图象交于点C(1,6)、点D(3,n)．

过点C作CEy轴于E,过点D作DFx轴于F．

(1)求m,n的值；

(2)求直线AB的函数解析式；

(3)求证：AEC≌DFB．

解 如图7.(1)m=6,n=2

反比例函数的应用篇（4）

反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。我认为在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。我在教学时重点从以下三个方面来谈。

一、对数形结合的解读

第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再推导出“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的相互转化过程，这是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。

第二，在“列表取值时，变量为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会有相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就要求“回归”解析式，再认识，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，我在教学中，同样关注了对反比例函数解析式的分析。

第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了相关习题，帮助学生理解并灵活运用反比例函数的性质，初步把握数形结合思想和转化意识，目的是为学生提供一个体会“数形结合”、以及应用“数形结合”来分析问题，解决问题的平台，使学生经历利用“函数图形”形象直观的来认识、解决与函数有关问题的过程。

二、对教学效果的反馈

在实际授课过程中，教学环节的展开是顺畅、自然的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，也可以通过观察所画出的反比例函数的图象，得出其图象的“特征”和函数的“性质”。

由于学生刚刚接触反比例函数的图象，图象的外在形式(双曲线)与一次函数的图象(直线)之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数(增或减)的性质，比较反比例函数的两个函数值的大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。不可忽视本节课学习的一个重要的方法，就是采用“类比”。在教学过程中，我积极引导学生采用“类比一次函数学习的方法”，积极调动学生“ 推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应。事实上，这样也会带来另一些负影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的反比例函数“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰。?

三、对教学设计的改进

1、必须强调“回归”反比例函数解析式。在这节课的教学中，我通过描点画出反比例函数的图像，使反比例函数解析式表示的函数关系直观化，便于学生通过观察，得出函数图象的“特征”及函数的“性质”，但由于这样得出的结论，对“图像”的依赖性过强，甚至形成了“解析式--图象--性质”的思维定势，而忽视了数学形式化的意义，也有悖于“图形直观”在研究函数问题中的辅助性作用，也就是说，我们不能将对函数的认识，完全等价于对其图形的认识，应该把“图像”与“解析式”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间变化的规律性。

反比例函数的应用篇（5）

在八年级上册已经学过了一次函数的有关知识，学生对函数的概念也有过认识. 但由于函数的概念与数学上常见的一些概念和定义有比较大的区别，函数的概念还是不太容易被学生接受. 函数所体现的是量与量之间的关系，是一个比较抽象的概念. 因此在理解上会有些困难. 如果学生没有很好地理解函数的概念，那么函数的学习将会受到很大的阻碍. 在这个单元中，函数的概念的学习是一个重点. 函数的概念部分应该怎么样去教学才能让学生更容易理解呢？创设一定的情境是让学生理解和体会这个概念的有效方法. 如：

情境1：

（1）当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s = vt）

（2）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

[说明]这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy = m（m为一个定值），则x与y成反比例.

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫.

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300 km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.

问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？

[说明]（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s = vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.

（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.

（3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400 m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；

（4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.

通过以上几个情境的创设，对反比例函数的概念，学生们肯定也有了较深刻的理解. 掌握了反比例函数的概念之后，接下来学习的是用待定系数法求反比例函数的解析式，对于这部分内容，我认为求解析式偏重于方法，只要学生把方法掌握了，求解析式就变成了解方程的问题，在理解上并没有什么难处，求解析式这一块还算是反比例函数这章中相对容易掌握的一部分了.

二、反比例函数的图像及图像的性质

反比例函数的图像及图像的性质这一块的内容可以联系一次函数并将两种函数进行比较学习. 从复习一次函数的图像开始，通过回忆和比较有助于学生理解反比例函数的性质. 反比例函数的性质的理解和掌握可以通过探索的方式来让学生进行学习. 这阶段我主要是设计了如下的探索活动.

经过一系列的探索活动，学生对反比例函数的图像也能够理解和掌握. 反比例函数的图像性质如单调性这些内容在掌握了函数的图像之后就变得不难了，学会观察图像、并能把函数与图像联系起来，就能够很快理解函数的单调性. 在反比例函数的应用中，就是要学会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题. 这一部分是对综合运用能力的考查，归根到底还是要对函数的图像以及性质有深刻的理解和掌握，才能从图形中挖掘出潜在的信息，或者是把文字描述转换到图像的表达上，对函数图像有深刻的理解才能很好地把知识运用到解决实际问题当中. 在学习反比例函数的过程中，一定要注意加强反比例函数与正比例函数的对比，把函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索，加强学生对这种函数思想的理解和领悟.

【参考文献】

反比例函数的应用篇（6）

《教师专业标准》中强调，教师应重视学生自主学习、独立思考、自强自立、自由精神的培养. 在数学学习方面，这种自主学习、自主思考的能力，某种程度上表现为“举一反三”“触类旁通”的能力. 而这种能力的形成，要求教师在进行相似知识模块的学习时，不能简单地停留在知识点的传授层面，要适时渗透类比、归纳等推理方法，帮助学生既掌握方法，又整体建构. 本文结合“反比例函数（1）”的学习谈谈这方面的认识.

反比例函数与已学的正比例函数一样，也是一种特殊的函数. 它们在研究内容上是一致的. 这种研究内容的一致性，决定了它们在研究方法上也存在一致性. 因此，我们可以将反比例函数的学习看做是正比例函数学习的进一步延伸和拓展. 我们在进行反比例函数的第一课时学习时，改变了传统的重点研究反比例函数的概念及基本运算的做法，而是借鉴正比例函数学习的经验，运用类比的方法进行单元教学，让学生在类比正比例函数的基础上，整体认识反比例函数的概念、图象、性质、应用，形成一种整体意识，为后续的深入研究做好充分的准备.

为了能顺利地实现正迁移，将正比例函数的学习经验迁移到反比例函数的学习中，我在教学时设置了以下问题. 对于此问题，一方面，通过正比例函数的认识，明确函数一般的研究对象和方法，为用类比的方法研究反比例函数做好必要的铺垫工作；另一方面，通过整体回顾，培养学生的整体意识.

同正比例函数的学习相似，在研究概念的基础上，进一步转入到函数图象的研究中来. 但是如果要学生通过描点法作图一步到位地作出反比例函数的图象，难度比较大. 为此，我在正比例函数图象的基础上，设置问题串引领学生思考，让学生初步感知反比例函数图象分布的区域、基本走势.

1. 提出问题

反比例函数的应用篇（7）

类别是中学数学最重要的思想方法之一。反比例函数图像的性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应加强反比例函数与一次例函数的对比：应该有意识地加强反比例函数与一次例函数之间的对比，如两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。

二、作反比例函数图像时应注意几点

函数图象是学习函数性质的基础知识和基本技能，图象是沟通函数解析式与性质的桥梁，因此学好函数图象对深刻和掌握函数的性质，学会解题方法，提高解题技能具有十分重要的意义， 那么，作反比例函数图像时应注意什么呢？

（1）关于列表：引导学生画反比例函数的图像时如何列表取值？一要根据自变量的取值范围（自变量的取值不能为零）；二自变量要多取一些绝对值靠近零且互为相反数的数，这样计算较简单，且能让学生体会反比例函数的图像的对称性（2）描点要准确无误。（3）关于连线：注意点要按自变量从小到大顺次连接；连线是平滑的曲线且没有端点（实际问题除外）；注意图像的延伸性，曲线不能与两坐标轴相交。通过学生讨论交流、尝试画图，掌握反比例函数的图像的画法。最后，让学生多角度与正比例函数、一次函数的图像进行比较，巩固所学知识。

反比例函数的应用篇（8）

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

反比例函数的应用篇（9）

在学习反比例函数上，一方面要注意具体题目的分析和求解过程，另一方面要注重一些重要的数学思想方法（如变化与对应的数学思想和数形结合的思想）的渗透；对于反比例函数的检测，通常以选择、填空和解答题的形式出现.下面结合2007年中考题，谈反比例函数的检测方式.

考点1：反比例函数的图像和性质

经检验，所给4点中，只有点（2，-1）在双曲线上，故选A.

【评注】1.反比例函数的图像是轴对称图形，它有两条对称轴，即一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线；它也是中心对称图形，对称中心是坐标原点.因此，若点（a，b）在双曲线上，则点（b， a）, （-a，-b）, （-b， -a）也一定在双曲线上.

2.双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的积都相等，且等于反比例系数.

练习1：（2007年甘肃省兰州市）如图1，P1，P2，P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则（）

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2

D.S1=S2=S3

考点2：反比例函数的解析式

1.求反比例函数和一次函数的解析式；

2.根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围.

思路点拨：1.由点A的坐标可求出反比例函数中的系数m，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式中即可求n，最后将A,B两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出k,b的值.

2.求一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，即是找直线部分在双曲线部分上方时所对应的自变量x的值.

2.分别过点A，B作横轴的垂线，垂足为C，D，则C，D的坐标分标为(-2，0)，(1，0)，如图2，在直线AC的左侧以及在纵轴和直线BD之间时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，故当x

2.两个图像的交点坐标一定适合两个函数的解析式，两个函数的解析式所组成的方程组的解即是图像的交点坐标.

考点3：反比例与一次函数在同一坐标系中的图像

思路点拨：这里两个函数图像的位置由2k和k-1的符号确定，而2k与k的符号相同，所以k和k-1的符号共有3种可能性，即都为负，为正且为负，都为正.

解：1.当k

2.当k

3.当k

例4：（2007年江苏省盐城市）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.

1.当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/时）与时间t（小时）之间的函数关系式；

2.如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度.

思路点拨：由已知条件可求出汽车从甲地到乙地的路程，而返回路程不变，因此汽车的速度与时间成反比例.

解：汽车行驶的路程为80×6＝480（千米）

练习4：（2007年广西壮族自治区）如图6，一块砖的A、B、C三个面的面积之比是4∶2∶1，如果把砖的B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖A面和C面分别向下放在地上，地面所受压强分别为帕、帕.

反比例函数的应用篇（10）

不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学，可称为“类比教学”。在函数教学中，我们期望的是通过对前面知识学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的。有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用，是一种既经济又实效的教学方法。下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。

首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。匆匆给出概念，然后应用。等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数时又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。造成这种困扰的原因是因为忽视了正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。

例如：《正比例函数》教学流程。

环节一：概念的建立。通过对问题的处理用函数y=200x来反映汽车的行程与时间的对应规律引入新课。学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。

环节二：函数图象。这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表――描点――连线”的过程画函数y=2x和y=-2x的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。

环节三：探究函数性质。让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。

环节四：概念的归纳。将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。

环节五：概念的应用。这个环节主要加深学生对知识点的理解，突出待定系数法的解题方法。

从这五个环节的设定上，大家不难看出，我们在研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程也是经历这样的五个环节，所以用类比的教学方式是在降低学生的学习难度，却能提高学习质量，而且程度比较好的学生可以尝试自主学习一次函数、反比例函数、二次函数。

归纳：函数探究的内容与方法：研究的对象――函数的图象与性质；研究的方法――画图象、分析图象、探究坐标变化规律、归纳函数性质；关注的问题――图象的位置、发展趋势、与坐标轴的交点、函数的增减性……

2 注重“数形结合”的教学