反比例函数教案篇（1）

2已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大

.

17.4

反比例函数（3课时）

（设计人:）

【课程目标】

能力知识思维框架

探究

灵活运用

使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

.，

助线的方法．

方法．

常用添加辅助线的方法．

解决有关计算问题及论证问题。

【教学过程】

时间

过程目标

教师活动及方法

学生活动及方法

形成性评价

板书

5ˊ

5ˊ

15ˊ

10ˊ

创设情境

【目标1】

使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

.【目标2】

.

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

【目标3】

深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

反比例函数有下列性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注

1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称

例1分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件

从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，

例1．已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

例2

已知函数为反比例函数．

(1)求m的值；

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？

(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．

例3．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AOC和BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（

）

（A）S1＞S2

（B）S1＝S2

（C）S1＜S2

（D）大小关系不能确定

练习1若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

补充练习

1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

2．反比例函数，当x＝－2时，y＝

；当x＜－2时；y的取值范围是

；

当x＞－2时；y的取值范围是

3．

已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，求函数关系式

4已知反比例函数y=

的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1

A.m

B.m>0

C.m>3

D.m

5下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)

A.y=2x

B.y=x+3

C.y=-

D.y=

6.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：

(1)m和n的值；

(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜

x2，试比较y1和

y2的大小．

5ˊ

知识框架

知识梳理

例题

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例

函数的性质．

1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．

2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个

象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

反比例函数教案篇（2）

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0375-02

反比例函数在数学学习中占据了十分重要的地位，其中的知识内容也是比较复杂的。随着课程改革的不断深入，反比例函数的教学方法也在发生转变，转变的方向也是朝着科学化和细致化的方向发展。现在很多中校甚至是高校都越来越重视反比例教学。根据初中教学的实际情况来看，学生对于反比例函数的相关知识掌握的还不到位，在学习的过程中还有很多的问题，有的是不重视，有的是忽略，造成了学生对反比例函数的理解不到位；并且，在老师进行教学的时候，也存在一定的困难，有的直接跳过，有的是迷惑，这样就大大的降低了教学的效率。因此，我通过对现在的初中数学教学进行深入的分析，针对反比例函数教学中的有关问题进行研究，希望能够找到有效的解决办法。

1.在反比例函数概念教学的过程中注重实例的加入

在反比例函数中加入实例能够进一步增加学生对于反比例函数的概念认识。在课堂教学中，很多学生的记忆力很好，能够把老师的内容记忆下来，但是内有掌握相关的学习方法，不愿意动脑，对数学学习没有热情。要善于激活学生的思维能力，调动学生的学习兴趣，把难懂的反比例函数融合到实例中，以便更好的进行分析和研究，减轻知识的学习难度。重要的是用实际事例来引导学生注重实际生活中的"反比例函数"，品尝反比例函数的乐趣。借助平时的实际事例来帮助学生掌握数学思想，通过不断的学习和认识，老师进行适当的引导，帮助学生更加健康的成长。注重学生综合素养的培养，是数学教育的主要目的，并不是单纯的对数学概念、理论、公式进行简单的记忆，要把数学作为一种乐趣去享受。

例1 某地去年电价为0.8元，年用电量为l亿度，今年计划将电价调至0.55-0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与（x一0.4）元成反比例.当x=0.65元时，y=0.8。

（1）求y与x之阍的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？

上述问题就是学生的实际生活事例，是强化学生认识反比例函数的重要素材，也能够把抽象的反比例函数转化成为具体可感的实际案例。数学课堂融合了语言、图像和文字等多个内容，是一个师生互动的过程。正例和反例相互融合，加强了学生对反比例函数本质知识的掌握。这种教学方法不但能够加强学生的学习能力和思考能力，还可以帮助学生初步的掌握反比例函数的有关内容，为后面的学习奠定坚实的基础。

2.加强学生反比例函数的主体观念，提升学生学习的自觉性

很多的数学理念，不是依靠一节课、两节课，或者是一个月甚至是一个学期，学生就能够领悟的，这还需要一个阶段和时间的累积，不断的提升认识。因此，反比例函数作为中学阶段的关键内容，不能一蹴而就，需要不断的学习和积累，根据实际的教学情境，融合相关的反比例函数知识，让学生深刻的认识到反比例函数的实际意义和价值，进一步加强学生的学习主动性。

教学过程需要老师和学生的相互配合。给学生一个独立、自由的学习空间，让学生独立的进行学习，老师和方法都是学习过程中的引导者，是学习发展的关键力量。根据相关的反比例函数的实际案例来体会其中的实际价值，了解反比例函数知识在实际生活中的广泛使用，提升学生的学习兴趣，让学生主动思考问题，在知识运用的过程中更好的掌握反比例函数的实际意义。

例2 例2 若函数y-k1x（k1≠0）与y=k2x（k2≠0）的图象无交点，则k1，k2应满足什么条件？

从方程的角度可以解决，能否用图象解决呢？ 未知，如何画出准确的函数图象呢？k1，k2学生通过讨论发现，得出如图1 ，反比例函数和正比例函数图象具有相同的象限特点，即过第一、第三象限或过第二、第四象限，而且若一个经过第一、第三象限，而另一个经过第二、第四象限，则必无交点。有的学生则更进一步，先画出k>0的反比例函数大致图象，再画出正比例函数图象并绕原点旋转，在旋转过程中，观察交点情况。而后探究k

图 1

反比例函数在教学的时候，老师可以利用课题研究的模式，调动学生学习的积极性。让学生在思考的过程中进行反比例函数问题的探讨，表达自己的想法，吸收别人的相关意见。例如：让学生通过小组的方式收集身边有关的反比例函数的例子，并且归类，安排问题，让小组内部和小组之间进行沟通，展示出一种团队的力量和竞争的意识。最后，把各个小组的劳动成果进行展示，先让学生进行自我点评，然后老师进行引导，这样不但维护了学生的主体地位，还表现出了老师的引导效用。

3.构建反比例函数的问题情境，解决理解难题

老师把知识转化为实际问题，能够调动学生的学习热情，在研究问题的基础上进一步巩固相关的知识，让学生对已经掌握的知识进行及时的反思，构建问题情境能够给学生充足的思考空间，有效的转换思路，使得知识变得更具体。

课堂是社会的体现，出现在课堂中情境不亚于发生在实际生活中的情境。课堂的很多问题和环境都是创建出来的。例如学生进行物品的买卖，构建核反应堆进行研究，虽然课堂中没有真正的进行食品的买卖，没有一个人是核工程师。但是在我们的实际生活中，这些对象或许我们之前并没有看到过，也没有实际观察过，甚至没有感觉。所以，调动学生的抽象思维能力是数学教学的主要任务。

反比例函数知识，并不是依赖于单纯的灌输式教学。不论图片多生动形象，反比例函数的知识还是比较复杂的。反比例函数是一种关系的连接，其中的关系并不是像铅笔、桌子和写字本是可以操控的东西，需要相应的思维能力和理解水平。

反比例函数知识主要是为了更好的运用到实际生活中。老师在综合使用反比例函数的内容、特点的时候，要把实际的案例融合到学生的学习过程中，通过合作研究、相互交流、独立思考等方式，减轻学习的难度性。当学生处于一种特定的问题情境中，要及时引导学生找到解决问题的方法，并且在这个过程中进行适当的帮助，充分的调动学生的实践能力和创新能力。要循序渐进的进行教学，给学生充分的学习机会，锻炼学生克服困难的意志，构建学习的信心。在有价值的、具有真实情境的教学中，更好的融合数学中的相关概念和关系于实际情境中，在这种环境的熏陶之下，让学生更好的投入到学习中，以便学生能够更好的找到解决数学问题的方法。所以，加强学生在实际情境中处理数学问题的能力也是十分必要的。

参考文献：

反比例函数教案篇（3）

反比例函数图像的性质这一节课上完后，学生都能够按照列表、描点、连线画出正确的反比例函数图像，也能够根据图像说出反比例函数的性质：反比例函数y =k/x 的图象是由两支曲线组成的。(1)当 k>0 时，两支曲线分别位于一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；(2)当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限. 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

辅导课上，学生们拿出一道关于反比例函数性质的一道题来问我，题是这样的“若A（x1，y1）,B(x2，y2)都是反比例函数的图象上的点，且x1＜x2＜0，，则y1，y2由小到大的顺序是          ；”我就用早上学的反比例函数的性质k<0时,y随x的增大而增大，而根据已知x1、到 x2是增大，所以是y1到y2增大，即y2大于y1。

接着又有一位同学拿来一类似的题，让我来讲解，我借此机会走上讲台，让全体同学共同来看下这道题的解法，题是这样的：“已知点A（-2，y1)、B（-1，y2)、C（3，y3）都在反比例函数                            y =k/x（k<0）的图象上，比较y1、y2、y3大小”。我也用上面的方法对学生讲解，因为-2<-1<3, 根据反比例函数的性质k<0时,y随x的增大而增大，而得出y3 >y2>y1,就在我准备走下讲台时，有一位同学说，和答案不一样，什么！和答案不一样，我下意识的又问了一句。怎么办呢！一定要给学生一个说法，于是我用图画像的方法，在黑板上又做了一遍，

由图像得出的答案是y2>y1> y3。为什么两个答案不一样呢！学生们也在相互讨论，就在这时我听到，有一个同学说：“在每一个象限内y的值随x值的而变化的。对！原因就在这，我前面解决的那道题x、y的值是在一个象限内，而这道题的x、y出现在两个象限内，所以不能简单的用性质来判断。于是我又和学生共同读了一遍反比例函数的性质，在每一象限内，这句话，到现在才真正领会了他出现的原因，学生也明白了这一点。由上面在课堂上出现的教学情景我得到如下启示：

1、在今后的教学中，一定要吃透定义、性质、定理等概念所内含的所有意义。

2、注重定义、性质、定理等的教学，把它作为重点来讲。因为很多题在没有吃透概念的情况下是解不出来的，即使解出来也是错误的，如上面的例子。

3、在函数的教学中，一定要让学生学会用图像来解决问题，也就是运用数形结合的思想来解决问题。

4、在课堂教学中，要时刻重视发挥每一个学生的才智。

反比例函数教案篇（4）

问题解决“导学式” 生态课堂教学模式的基本结构为：①提出目标；②导学探究；③巩固练习；④达标测试。实施教学的程序为：教师引导学生复习旧知识，明确新知目标；创设情境，提出问题，导读导议，为启迪创新思维创设有利条件；教师指导学生自主探究，导思导悟，在学生头脑中形成解决问题思路；教师设计练习，导练导用，做达标测试。以下将从教学模式基本结构方面进行具体的分析研究，并以初中数学教学内容《17.1.1反比例函数的意义》作为教学案例进行分析。

一、教学案例

知识和能力：使学生理解并掌握反比例函数的概念

过程和方法：能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

情感态度和价值观：能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

教学重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

教学难点： 理解反比例函数的概念

学习方法：自主学习与讨论相结合

导学案设计：

今天我们要学的内容―《17.1.1反比例函数的意义》

学习过程：

学习内容：教材P39-40

学习目标：

1.理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

（一）探索研讨

【活动1】

问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？

（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；

（3）已知北京市的总面积为1.684平方千米，人均占有的土地面积S（平方千米/人）随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。

上面的函数关系式，都具有 的形式，其中 是常数。

【活动2】

下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？

（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化。

（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化。

（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。

二、教学反思

1.导学式生态教学“学”的重点

一是学生有自学机会，让学生自主、独立的去自学知识，并记下学习过程中的疑问。二是学生有独立思考机会，这是知识内化的最有效途径。三是有疑问交流，实现“兵教兵”的有效手段。四是让学生及时巩固训练。课堂作业要典型，适度和适量，要低起点，多层次。

2.导学式生态教学“教”的重点

反比例函数教案篇（5）

关键词：概念；案例；反思

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。数学概念是数学知识的基础，是数学教材结构的最基本的因素，是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、公式、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题。因此。抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键。数学概念比较抽象，初中学生由于年龄、生活经验和智力发展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的。在教学过程中，一些教师不注意结合学生心理发展特点去分析事物的本质特征。只是照本宣科地提出概念的正确定义，缺乏生动的讲解和形象的比喻，对某些概念讲解不够透彻，使得一些学生对概念常常是一知半解、模糊不清，也就无法对概念正确理解、记忆和应用。下面是两个在教学中的概念教学案例。

案列1．函数概念。

从函数概念本身来看，函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。这是关于函数的最基本、最朴素的刻画。这就是函数概念的核心。

正比例函数是一种特殊的函数，是函数值与自变量成正比例的特殊函数，从正比例函数概念本身来讲，这就是它的核心。同时，“正比例函数”是学生学习具体函数的第一节课，这节课很典型，它给我们提供了一个研究特殊函数的一般方法，具有辐射作用。从结合生活中的实例“举三反一”地建立正比例函数概念（同时巩固函数概念），到画正比例函数的图象（从一般的描点法到特殊的两点法），再结合图象研究函数的性质（三步曲：观察图象反映的变化规律，用文字语言描述变化规律，到高中还可以用数学符号语言描述变化规律）。这种研究函数的一般方法，需要在这节课向学生渗透。并注意这节课中所包含的其他思想方法，包括函数模型思想，数形结合思想等等，也要注意向学生渗透。

反思教学：可归纳出概念教学的几个基本环节：概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）——概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）——概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）——概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）——概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程，概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程。同类事物的本质属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成；也可以利用学生认知结构中的已有概念，以定义的方式直接揭示概念的本质属性，这种概念获得的方式叫概念同化。由于学生（特别是低年级学生）的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，采用概念同化的方式掌握概念的难度很大。因此，中学生掌握概念的方式，应更多的采用概念形成，即从典型、丰富的具体例子出发，学生经过自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念．作为函数内容的起始课，“变量与函数”也是能够体现概念的形成过程的一个很好的载体。为了帮助学生形成函数概念，教学中要注意“举三反一”。通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的、图象的、表格的），让学生经历“发生发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，归纳出函数概念“单值对应”的内涵。在此基础上，再“举一反三”，用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题，是不是符合函数概念的“单值对应”。在这一过程中，要注意恰当地使用反例，巩固学生对于函数概念的理解。这节课，对于概念的教学，特别是概念形成的教学，能够起到很好的示范作用。

案列2．关于平行四边形的性质。

尽管在小学阶段学习了平行四边形的概念和有关性质，但更多是从平行四边形的整体上获得的感性的认识．这节课要从平行四边形与一般四边形的关系入手，通过对平行四边形的特殊属性—一两组对边分别平行的分析，揭示它与一般四边形之间的属种关系，进而向学生渗透给概念下定义的一种重要方式：属加种差．这种定义概念的方式将在本章中反复出现，因此，在第一课时中明晰这种定义方式有助于学生形成数学思维方法．

（一）创设情境，引入概念。

反比例函数教案篇（6）

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）26-0035-01

小组合作的学习方式让初中数学课堂逐渐走向民主，走向开放。它倡导师生、生生在多边互动的过程中，真正形成学习的“共同体”，实现师生的共同成长。要实现这种效果，就需要小组合作具备实效性。这与教师的引导、参与是分不开的。因此，教师精心设计和合作时机的选择至关重要，选择恰当的合作时机有助于投入少量的时间、精力和物力，提升教学效果，培养学生良好的合作精神和学习习惯，打造高效课堂。

一、在学生个人操作无法完成处，选择小组合作的时机

“以学生为本”教学模式，让学生亲身参与课堂教学，通过实际操作感知新知识产生的必然性，在体验中感知新知识的形成过程，使数学成为学生真正意义上的内在需求和追求。然而，部分新知的探索过程需要耗费一定的时间，课堂的四十五分钟难以完成新知的探索、形成、应用的全过程。采用小组合作的形式，合理分工，既节省了时间，又培养了学生的合作意识，并能很好地完成学习目标。在学习“勾股定理的逆定理”时，我是这样设计合作内容的：已知三角形最大内角度数，可以确定三角形的形状，那已知三角形三边的长度，如何判定三角形的形状呢？让我们一起走进数学实验室。数学实验室：（1）画一画：已知三边a、b、c（a

（4）猜想：当三边a、b、c满足什么关系时，三角形是直角三角形？

组内成员接到任务后，都积极地投入，相互配合，处于一种非常默契的状态，有的拿起圆规作图、有的进行角度度量、还有的忙着计算完成表格……规定时间内每个组都顺利完成 了学习任务。教师精心设计的合作学习的内容，激发每个学生的学习兴趣，学生在探究活动中切实感受到与人合作给自身学习带来的益处，增强了合作学习的意识，提高了课堂学习效率。

二、在解决开放性问题处，选择小组合作的时机

开放性的问题有利于拓展学生的思维，激发他们的求知欲。这类问题的答案不唯一，多元化的答案的背后隐藏着不同逻辑推理，体现了学生多角度考虑问题的能力。小组合作探究展示出的各种策略和结论，让每个同学都能从他人的思维成果中获得不同的解决问题的方案。案例“反比例函数”的开放性问题：师：数学来源于生活，在生活中一些量之间也存在着一定的函数关系。例如，路程s（km）、速度v（km/h）、时间t（h）。（1）如果 s=200 ，那么函数关系式v= 或t= ；我们就说____是____的反比例函数。变式：如果s为常量，那么函数关系式v= 或t= ；我们就说 ____是____ 的反比例函数。（2）如果v为常量，那么 是 的正比例函数。（3）如果t为常量，那么 是 的正比例函数。师：生活中还有这样的例子吗？与同伴交流。组1：例如，质量m，密度ρ，体积V，m=ρV，当m为常量时，ρ是V的反比例函数；或V是ρ的反比例函数。当ρ为常量时，m是V的正比例函数。当V为常量时，m是ρ的正比例函数。组2：例如，总价、单价、数量，总价=单价×数量。当总价为常量时，单价是数量的反比例函数；或数量是单价的反比例函数。当单价为常量时，总价是数量的正比例函数。当数量为常量时，总价是单价的正比例函数……组3：例如，长方形的面积S，长a，宽b， S=ab。当S为常量时，a是b的反比例函数；或b是a的反比例函数。当a为常量时，S是b的正比例函数。当b为常量时，S是a的正比例函数。教师先给出一个范例引导学生怎样思考，如何口头表达，然后让学生说一说生活中类似的例子，这种开放性的问题既活跃了学生的思维，又培养全面考虑问题和从他人身上取长补短的习惯。在小组展示过程中，学生进一步明晰了正比例函数和反比例函数的区别，深化对该知识点的再认识，获得学习数学的方法，体验成功的快乐。

三、在学生意见分歧处， 选择小组合作的时机

在学生意见产生分歧时，如果教师硬生生地把“正确答案”告诉学生，学生有可能仍然一头“雾水”，甚至会产生抵触情绪。这时候运用小组合作学习可能会收到意想不到的效果。在学习“合并同类项（2）”时，专门设计了“小组讨论”的环节：（1）求代数式2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2的值，其中x=。（2）完成后，在组内交流你的方法，说一说怎样求代数式的值更简捷？问题提出后，有的同学提笔就做，直接将x=代入代数式，由于运算复杂，算了很长时间，甚至在运算过程中不停地涂改；而有的同学却不急于动笔，略微思索后方才动笔，不一会儿就完成了，完成后就迫不及待地帮助未完成的其他组内成员。在“小组讨论”的环节中，组内的成员们都积极阐述着自己的解决方案，渴望自己的观点被肯定，在讨论中碰撞出思维的火花……通过做题时间、速度、准确率的比较，许多小组都得出“应先代入再求值”的方法更简捷。通过“兵教兵”的小组合作学习方式有效地突破了本节课的难点，在探索活动中比较求代数式值的方法，使学生体会合并同类项的作用。

总之，借助小组合作的学习方式能够不断挖掘每个学生的潜能，选择恰当的合作时机，合理地赋值，提高小组合作实效性，让课堂焕发出生命的活力。

反比例函数教案篇（7）

在初中阶段教学过程中，函数部分学习属于重点教学内容。因而，对教师教学提出了更高要求。在实际教学过程当中，教师应当采用正确的教学方法，进而提高课堂教学效率，为学生日后的数学学习打下坚实基础。

一、初中阶段函数部分教学方法

（1）强调培养学生反思能力。初中阶段函数教学过程当中，首先需要培养学生反思能力，因为函数部分学习具有一定特殊性，具有抽象性这一特点，学生无法快速理解。因而，教师在日常作业讲评环节或者是课堂练习过程中，需要让学生主动融入到函数框架中，对错误之处进行自我反思，教师在这个环节中起到的只是引导者的作用。例如，练习讲解阶段中，教师不提供给学生正确答案，在简单讲解之后，让学生对问题进行思考、反思。通过这种教学方法的采用，促使学生在思维能力方面有所提高。

（2）为学生创设良好的学习环境。教师在课后可以设置“数学讨论组”，在教学中采用合作式学习方法。出现不同意见时，教师应当借助自身力量引导学生走出误区，学生在独立思考之后、教师分析讲解之后，对问题及时予以解决。通过这种教学方式的采用，促使教学质量有所提高，同时，增强学生独立思考能力，最终达到双赢的目的。

（3）形成正确教学观念。教学观念正确与否对教学质量高低产生了重要影响。例如，学生在题目练习过程中，有时懒于动脑思考，往往直接去询问同学或者是参考标准答案。这种学习方式对学生日后学习产生了不利影响，一段时间之后，在数学学习上就会失去兴趣、信心，对自身学习能力、逻辑思维能力就会有所怀疑。

二、初中阶段函数部分教学建议

（1）强调概念化教学方式。函数部分学习内容在初中阶段数学学习过程中属于一项重点内容，因而，教师在实际教学过程中，需要做到从基础知识点出发，促使学生更好地掌握函数相关知识，为学生创设开放式的函数学习氛围。对概念进行讲解分析过程中，教师需要结合实际案例予以说明，通过采用这种教学方法，促使学生在概念理解方面变得更为容易，进而能够总结出解题规律。例如，学生刚接触一次函数时，对相关概念不甚理解，因而，教师在课堂教学中可以适当举一些例子：列出x增大，y就增大的关系式，给学生充分思考时间，学生得出了答案，列出的关系式为y=x。学生给出答案后，教师进而向学生介绍一次函数有关概念，在黑板上板书y=kx+b。通过这种教学方法的使用，使得学生对一次函数概念有更深认识，为日后函数部分学习打下坚实基础。

（2）对函数教学方法进行图形化处理。函数部分学习通常都可以借助图形来表示，函数性质、相互之间的关系都可以在图像上予以反映，图形表示使得函数在理解方面更加简单，因为图形和相应函数之间存在着密切联系。因而，在实际教学过程当中，教师需要引导学生养成在图形中解决函数问题的习惯，使得学生在图形中将复杂函数问题简单化。例如，学习反比例函数、正比例函数时，教师可以借助图像说明二者之间的关系，图像上能够清晰反映出二者函数性质。通过这种教学方法的采用，提高学生数学学习兴趣，从而更加积极主动地参与到数学活动中来。

（3）函数模型与学生实际经验进行有机结合。函数模型与学生实际经验进行有机结合能够较好激发学生函数学习兴趣，使得学生在数学学习过程当中深刻体会到数学知识实用性、重要性的特点。站在教师角度来说，采用这种教学方法，一方面能够使得学生更好掌握函数相关概念，另一方面也能端正学生函数学习态度。例如，在实际教学过程当中，教师可以结合生活经验为学生出题。如果班级中某同学和他的父母一起去旅游，在出发之前，油表示数是四十五升，走了一百五十千米之后，油表示数变成了三十升，那么油剩余量同行驶路程之间的关系如何表达？学生在经过了认真思考之后，得到了油剩余量与行驶路程之间的关系式。通过这种教学方式的采用，学生所学知识点得到了进一步巩固，同时，学生也深刻体会到了数学知识的重要性。同时，可以适当分析一些函数典型例题。在此基础上，教师需要引导学生做好归纳总结工作，通过这种教学方法的采用，促使学生进一步巩固函数相关知识点。

（4）培养学生扩散性思维。教师在实际教学过程当中，应当对扩散性思维培养引起高度重视。函数部分学习要求学生能够从多层面思考问题，在思维运用方面应当做到广阔、灵活。学生在问题特征方面、差异方面、隐含数学关系方面应当善于分析辨别，从而形成扩散性思维。例如，在课堂练习训练中，有一道题目是：有两点A（2，2）、B（1，4），让学生写出经过A、B两点的函数解析式，解析式写出后，需要在旁注明解题步骤。在解题过程中，教师要求学生采用不同方法完成练习，学生分别用了一次函数、反比例函数、二次函数相关知识点予以解答。在进行函数部分教学时，函数相关问题并不是独立存在的，数学知识点通常有着相互依存这一关系，如果在解题过程中只关注某一方面知识点就会致使最终解题步骤太过烦琐，甚至出现解题错误现象。函数解题能够同几何知识点进行有机结合，使得学生形成数形结合意识，这样，数学知识学习就变得更加容易。通过这种教学方法的采用，培养学生扩散性思维，从而促使学生在数学学习上迈向更高台阶。

结束语：在初中阶段函数部分教学过程当中，教师应当强调基础教学，并且将教学知识点与实际问题进行有机结合。这种教学方法的采用，为学生创设良好的学习氛围，同时对典型例题耐心、细致地讲解，从而提高课堂教学质量，为学生日后函数部分学习打下坚实基础。

参考文献：

[1]郑松.初中数学函数教学存在的困难及教学对策[J].语数外学

习，2014（5）.

[2]殷菊.对中学数学函数教学方法的几点思考[J].语数外学习，

反比例函数教案篇（8）

的《从感官到思维的体验》和2015年第1期课堂观察版刊登的《通过“实验型学习”建立数学概念》，都呈现了上海市金汇高级中学的蒋云鹏老师关于“实验型学习”的思考与探索。文章登出后受到很多读者的欢迎，很多读者觉得“实验型学习”这一提法内涵丰富、启发性强，不仅仅是简单的CAI。因此，从本期开始，我们会在“专题研究”栏目中陆续呈现一些这方面的研究成果，以蒋云鹏老师的典型案例研究为主

。当然，也希望广大读者踊跃来稿，积极参与研究、讨论。

蒋云鹏

（上海市金汇高级中学，201103）

一、函数教学中的主要困难及其成因

函数作为整个数学学科的核心内容，在教学设计和实施中，

主要存在以下几个

难以把握或解决的问题：第一，函数概念的建立和形成比较困难，学生所学习的函数知识往往比较肤浅、零散，没有达到和抓住本质；第二，

缺乏对函数各种表达方式的价值分析及优势比较，特别是忽视函数对应值列表的过程；第三，函数图像的产生过程缺失或冗长。

上述困难从表面上看，都是由于教学时间不够所导致的；

但实际上，

都是因为忽视了“实验型学习”的基本思路，或没掌握“实验型学习”的主要策略。

传统的函数教学，一般都是先给出某类

函数的

具体定义（解析式），再绘制其大致图像，然后根据图像说明其性质，

此后大部分时间则用于解题。在这样的教学中，可感实例的呈现多数比较匮乏，对应值列表常常作为绘制图像的一个步骤被一带而过，绘制图像的过程往往比较粗糙。

有些教师认为，这些内容并不重要，只要讲解一下，无需太多的体验与感悟，

也没有必要花时间理解与巩固；多数教师则是出于无奈，只能把函数的意义、列表、绘图这些核心内容

讲解得“半生不熟”。

“实验型学习”的突出特点是：呈现大量的事实材料和现象，使学习主体

通过视觉感受对应数值的计算、变化、联系以及数值转化成点的动态变化，体会那些解释不清或难以言表的“演绎”，从而经历学习的全部过程，并产生真实的深度体验；

同时，将大量的精确计算、描点这类没有思维含量的操作交由计算机在几秒钟内完成，从而留出时间用于对大量现象进行观察、思考和分析。

因而“实验型学习”能有效地解决上述困难。

二、函数教学的典型案例

【案例1】函数概念起始课

课始，教师提问：“谁知道自己家汽车的耗油量？这个数量是怎样测试出来的？”学生议论并大致回答后，教师出示表1，并说明：“表中是某辆车在从上海驶往南京的过程中记录下来的数据，你能知道该车的用油量吗？你能填写表中的空格吗？”学生尝试填写后，教师写出关系式y=12/100x，并让学生写出汽车行驶120千米、270千米时的用油量。学生尝试计算后，教师总结道：“用油量y随着汽车行驶路程x的变化而变化，对于每一个x的值，都能找到一个确定的y的值与之对应，这种一个变量x的变化确定另一个变量y的变化的关系，

称为函数关系。”

接着，教师举例道：“再比如，一条线段的长度r的变化确定了以此线段为半径的圆的面积S的变化。”然后，教师打开几何画板，作出一个圆；随着教师拖动圆的半径，计算机自动呈现了不同的半径值，并计算出不同的半径值对应的圆的面积值，同时生成了对应值表（如图1）。由此，教师总结道：“同样，S与r的关系也称为函数关系，我们称r为自变量，S是r的函数。”

此后，教师又举例道：“再比如，某天某地的气温T随时间t的变化而变化，正方体的体积随棱长的变化而变化……”然后，教师再请学生举例说明自己所知道的函数关系……

【案例2】二次函数概念起始课

……在介绍了二次函数的定义后，教师提问：“如何画出函数y=x2的图像？”学生回答：“列表、描点、连线。”然后，教师要求学生在事先准备好的学习单（其中列有表2）上进行填表、描点、连线。

填表、描点都进行得很顺利，但是，在连线时部分学生将所描的点按顺序用直尺连成了折线。教师看到后纠正说：“我们在学习反比例函数时曾强调过，要用光滑的曲线连线，画成几条线段的都是错误的，请同学们更正并牢记。”接着，教师打开几何画板，利用“绘制新函数”功能，直接绘制出y=x2的图像，让学生对照。

三、解决函数教学中主要困难的思路和策略

（一）通过大量的实验渐进地建构函数的意义

函数概念形成的关键是将研究的对象由静止、不变的现象转移到运动、变化的现象上，将注意力由单个常量的大小转移到两个变量的关系上。由于学生在之前的学习中长期面对的是独立不变的量（常数），缺乏观察变化情况、思考联系情况的经历和体验，因此，要实现这种转变是比较困难的。

案例1的设计者正是基于这种考虑，在引入函数概念时，运用了“实验型学习”的基本思路和策略：不急于下准确定义，而是通过学生已熟知的、经历过的（耗油量）问题，或当场看得到的、能经历的（圆的半径与面积）现象，让学生通过想象或感官去体验两个变量的关系；而且不惜举出大量的例子（包括学生自己举例）来说明这种关系，目的就是让学生增加一些经历，加深一些体验，产生“变量成对”的印象，为概念的形成奠定基础。

此外，案例1的设计者在这节函数概念起始课中，自始至终都没有给函数下精确的定义，而力求使学生在经过对大量的实例的观察、思考后，在所归纳出的“描述性定义”的辅助下，大致形成对函数意义的初步认识，即意识到：（1）两个变量之间会有确定的关系，一个变量会随另一个变量的变化而变化；（2）由于变量表示的事物有特定的意义，所以变量有一定的限制范围；(3)两个变量的对应值可以利用表格列出；(4)其中的规律可以利用代数式表达，从而简化和精准。

这种通过大量的实验（丰富直接的感官体验引发的思维活动）渐进地构建新概念的意义的做法，因符合学生本身的经验基础和认知习惯而显得自然，因在大量的可感事实的基础上获得认识而显得合理，是解决函数概念教学困难的有效思路和策略。

（二）突出对应值列表的过程，认清各种表示方式的价值和优势

对应情况（值）列表是一般人实际生活、工作和研究中最常用、最习惯的方法，也是最直接、最容易理解的函数表达形式。学生在学习函数时出现的概念模糊、思路狭隘、方法呆板等问题，往往都与忽视对应值列表的过程有关。很多学生在学习函数很长时间后，

仍然不知道各种函数的图像从何而来，而仅仅记住了它们的样子，导致了因果关系混乱。而且，很多学生在后面学习数列时，也不会列出项数与其对应值的表格以从中找到规律，甚至连“数列也是函数”“用函数方法研究数列问题”都需要专门花时间来教学。这些显然都是忽视函数对应值列表的过程而造成的恶果。

案例1的设计者正是基于这种考虑，每举一个例子后，都进行了对应值列表（实验）——其中有些数据是间接知道的，有些数据是借助计算机直接测量、计算出来的。这给学生的感觉是，他们看到的都是事实，没有强加的成分。最关键的是，对应值列表清晰地反映出变量变化的规律——如增还是减（单调性）、有无对称特点（奇偶性）、有无重复特点（周期性）等，都一目了然。对列表中数据的观察、分析充分了，图像的轮廓也就自然地在头脑中形成了；而经过分析、归纳发现的图像，无须强记，就会牢牢地固着在记忆中。这种主动的发现，比记住图像后反过来“利用图像说明性质”，学习效果要好得多。同时，

从思想方法的角度看，各种函数的部分特殊（自变量取正整数）对应值列表过程，实际上就是各种数列的研究过程。此过程处理得好，数列的学习就会容易得多，方法就会通透得多。

实际上，“实验型学习”能使函数对应值列表自然、高效地实现，并让学生自主地进行观察、分析，因而，特别有利于学生认清函数各种表达方式（列表、图像、解析式）之间的关系，并感受到对应值列表在实际研究中的必要性和优势。

（三）优化绘制图像的过程

如何描绘图像，一组对应变量由数转化为点体现了什么思想，图像为什么是“光滑的曲线”而非折线等，都是函数教学中极为重要的问题，事关整个函数思想和方法的形成。而这些问题在二次函数的教学中尤为突出，因为二次函数是初等数学的基础与核心内容，也是初中生第一次比较系统地借助函数图像研究函数性质的内容。

案例2的设计者似乎也注意到了这些问题，但其具体的做法有以下几点不妥：（1）在绘制图像前，没有让学生明白图像的意义，把握操作的过程。事先列表并规定了5个特殊的自变量值，忽视了学生的思考动因，限制了学生的思考空间。如果让学生自己取值，他们未必会只取这5个值，也未必会取得这么均匀、对称；而只有出现多种取值情况，才能比较、反衬出以上取值方法的合理性。（2）纠正学生错误的方法不妥，问题

的关键出在讲解反比例函数时，只“强调”了要用光滑的曲线连线，而没有解释为什么。“讲了多次，仍记不住”是许多教师共同的烦恼；而学生之所以总是记不住，就是因为他们总是不知道“为什么”，却要勉强地“记住”。（3）利用几何画板直接绘制出y=x2的图像，与在黑板上手绘图像、利用挂图或PPT等展示图像都一样，没有呈现实验的过程，只是告知预设的结果，使学生没有思考的机会，更没有质疑的余地，被动接受，当然难学难记。

结合上述分析，可以对案例2作如下改进和优化：首先，利用几何画板设置自变量x，计算出y=x2，然后，顺次选取

x、x2，列出动态表格。这里，教师可以通过键盘任意输入不同的x的值，x2的对应值将自动生成在动态表格中（如果硬件条件许可，学生可以在自己的移动终端上进行这些及以下操作）。当感觉表格中的数据够了时，就可以利用“绘制表格数据”功能将表格中的所有点（x，x2）绘制在坐标系中。此时可让学生观察点的分布情况，并尝试说出（或画出）函数的图像。如果出现折线图，教师则只需让

反比例函数教案篇（9）

有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自试验或通过现代教育技术手段演示去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作，通过观察发现得出概念探索发思中掌握数学概念。

案例1：椭圆概念的教学

1.学生动手实验，获得感性认识。要求学生事先准备两个小图钉和一条细线，先用图钉将细线的两端固定，让细线松弛，再用铅笔将细线拉紧，使铅笔在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆。

2. 提出问题，思考讨论。先固定图钉再系细线是否一定能画出椭圆？试试看，椭圆上的点有何特征？当细线长大于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长等于图钉距离时，其轨迹是什么？当细线长小于图钉距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？

3. 揭示本质，给出定义。学生经历了试验、讨论后，对椭圆的定义的实质会较易掌握，不易犯忽略椭圆定义中的定长应大于焦距的错误。

学生通过仔细观察并根据需要适当变换角度来抓住问题的特征，进一步抽象概括得出概念，从而学会观察，学会发现探索。

二、创设实际问题情境，体会概念产生的源头

教材在讲到分段函数概念时，先是提出画y=x以及“招手即停”的车票规则。可以创设生活实例，加深学生的印象。

出租车计价标准问题：

案例2： 某市出租车计价标准：4km以内10元（包含4km），超过4km且不超过10km的部分1.5元/km，超过10km的部分2元/km。

问：1.某人乘车行驶了8km，他要付多少车费？

2.试建立车费与行车里程的函数关系式。

3.如果某人付费35元，他乘车乘了多少km？

学生对这个例子会比较熟悉，问题 ①一般来说对学生都没问题，关键是问题②，怎么样建立这个函数关系式。自然，学生会想到，对于不同的行程，车费的表达式是不一样的。那么具体有三个关系式：

1.y=10，（x≤4）。

2.y=10+1.5（x-4），（4＜x≤10）。

3.y=10+1.5（10-4）+2（x-10），（x＞10）。

很自然用到了分段函数.既然函数表达式得出，问题③也迎刃而解。此案例不仅用到分段函数，又复习了函数的实际用途。

三、创设趣味性问题情境，激发学习兴趣

案例3：教师手中拿着一副新扑克牌（不含王牌），叫学生从老师手中任摸一张，并记牢自己的牌号.这样规定：A为1，J为11，Q为12，K为13，其余牌以数值为准.然后让叫学生按以下方法计算：所得的牌号乘2加3后再乘5，再减去25，把计算结果告诉老师，就可以知道学生手中拿的是什么牌（不考虑花色）。

设牌号为自变量x，根据对应法则，所得的值 y=5（2x+3）-25 即y=10x-10。

由题意，定义域为{1，2，3，……，13}，则值域为{0，10，20，……，120}，可得其反函数f （x）= x+1。由此，假如学生计算出来的值是120，则可轻易算出x=13，即K；如果是60，则x=7。其余同理可知。

此案例我们用到了一个对应法则的问题，同时也牵涉到定义域、值域、反函数有关问题。虽然新教材对反函数的要求大大降低，但是这里用到的反函数知识并没有超纲。

四、创设虚拟互动情境，加深知识的印象

案例4：如果老师每天给你10万元，而你需承担的任务是第一天给我1元，第二天给我2元，第三天给我4元，第四天给我8元，依次下去。

问：签几天的合同你会签？

我记得我在上《指数函数的图像及性质》的时候提出这个问题时，下面学生反响很强烈，马上有学生说签1天他签，又有学生提出签2天，或3天更赚。接下去有个学生上当了，说他愿意签一个月。接下去也没同学提出异议，很多学生都忙着按计算器。

通过这个案例，我们可以了解到学生对“指数爆炸”的理解并没有达到应有的认识。学生会认为指数函数的图像与一次函数的图像同是递增图像，那么递增速度也差不多，但是，通过这个案例的计算，可以清楚看到“指数爆炸”的意义。

S（一个月）=2 +2 +2 +…2 = =2 -1=1073741823，远远大于300万（10万×30）。提示公式（2 +2 +2 +…2 = ）。

五、创设生活实际情境，类比数学思想

案例5：竞猜价格游戏：教师给一个价格范围，比如说［0，1000］（单位：元），然后教师要有一个价格写在纸上，但不能给学生看，比如说688元，让学生来竞猜你纸上的价格。教师要做的只是告诉学生报的价格是高了还是低了，直到学生回答出正确答案。

这个游戏我是从QQ中拍拍网的夺宝游戏中得到启示，学生们对这种游戏有较大兴趣。一般学生都不会老老实实从1，2，3，……这样竞猜，而是先猜500，如果高了，那么价格应该在［0，500］；如果低了，那么应该在［500，1000］之间。教师告诉学生低了，那么学生会猜750，这样一直下去把价格所在的范围缩小，直到猜到这个价格。这种思想可以与数学中的二分法求近似解思想方法进行类比。学生们会从这个例子中得到启示，其实只要抓住思想的实质，二分法并不难。

同理，有个口答题：“今天是星期三，7k（k∈Z）天之后的那一天是星期几？”这个问题很简单，但是它蕴涵了周期的思想。之后学到的正弦、余弦、正切函数都是周期函数，可以用到这种思想。有这么一道题：“设函数f（x）（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且x∈［0，2］时f（x）=（x-1） 。求f（3），f（ ）的值。”在这里就显得非常简单。f（1）=（1-1） =0，f（ ）=f（ ）=（ -1） =（ ）。

六、创设抽象数学环境，学会知识的运用

案例6：利用正弦函数性质及二分法求方程近似解，你能求出的近似值吗？（精确到0.01）。

由f（x）=Sinx的图像知道π是正弦函数在［3，4］的零点，因为f（3）•f（4）＜0，故可取［3，4］为初始区间，用二分法逐步计算。

创设此案例有助于复习正弦函数的图像以及二分法求近似解的过程，使学生的知识得到巩固的同时，提高对数学的兴趣。

反比例函数教案篇（10）

案例是学科知识内容精髓的生动“代言”，是教材学习要求的有效“承载”，更是教师教学目标意图的重要“展现”。案例教学是初中数学课堂教学的重要环节，也是教师课堂教学的重要任务。案例教学看似对数学问题的讲解活动，实际需要综合多方面教学要素，结合学与教的实际情况，因地制宜，科学施教，是一项系统性的教学工程。近年来，随着新课程改革的深入推进，初中数学案例教学的要求和标准随之发生与时俱进的变化。案例教学更关注学与教之间的互动，更关注学生能力素养的培养及情感情操的培树。笔者以为现行初中数学课堂之中的案例教学活动，将视野放置案例教学的整个全过程，渗透以生为本思想、体现能力培养是第一要务。鉴于上述感知，现简要论述对初中数学课堂实施案例教学活动的认识及思考。

一、教材要点要义融入其中，体现案例教学的针对性

案例教学是为数学教材教学服务，案例应是数学教材要义的深度概括体和集中展现体。数学案例教学的目的是帮助学习对象巩固强化对所学数学知识、所获解析技能的认识和理解。初中数学教师实施案例教学活动时，要将设计数学案例作为首要工程、基础性工作，把教学意图、教材内涵等融入数学案例之中，设计的数学案例要具有很强的针对性和代表性，使初中生通过数学案例这一“镜子”窥探教材知识点的深刻内涵及教学目标要求，从而让初中生获得更直观、更深刻的数学知识内容要义，感受更真切的数学教学目标要求。

如“等腰三角形”一节课案例教学时，教师在案例预设环节根据该节课“经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形”、“能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质”教学目标及“等腰三角形的性质”、“等腰三角形的判定”等知识点的深刻内涵，在此基础上充分结合以往初中生在该节课学习认知中的实际情况，设计出“如图所示，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数”等数学案例。该数学案例的意图是考查初中生对“等腰三角形的性质，等腰三角形的判定”等数学知识点的掌握和利用情况。初中数学教师通过上述针对性数学案例的有效运用，能够有效帮助初中生深刻理解和掌握数学知识点内涵，并对其使用注意事项有较为准确的理解和掌握。

二、双向互动交流渗入其中，体现案例教学的互动性

案例教学作为数学课堂教学的关键部分和重要环节，自然秉承数学课堂教学的双向互动特性。任何学科的教学活动，不是教师或学生“独自为阵”的单边个体行动，而是相互贯通、相互配合的协作互动活动。教师和学生只有深入其中，深刻互动、深度配合，才能实现学与教主体和主导特性的有效展现，才能使学与教活动效能的“最优化”。因此，在案例教学中，教师要体现互动特征，双向特性，将案例讲解的过程转化为师生互动的过程，组织初中生参与案例探析活动，与教师或其他学生个体围绕案例的解题思路及解答方法等重点环节进行深入讨论、交流、沟通等，促使初中生更深入地思考、研析，提升案例教学的实效。

问题：已知一次函数与反比例函数的图像交于点A（-2，3）、B（m，-2）.（1）求这两个函数关系式;（2）求该一次函数图像上到x轴的距离为5的点的坐标;（3）在这个反比例函数图像的某一支上任取点M（a1，b2）和点N（a1、b2），若a1

初中生个体之间感知问题条件的小组合作学习活动得到其认知体会：该问题主要考查一次函数与反比例函数的关系，特别关于反比例函数与一次函数的交点问题。

教师与初中生围绕解题要求，共同梳理题意条件关系和内涵，指出：一次函数与反比例函数的解析式可以采用待定系数法、观察图像的方法予以解决。在解决第三小问时要充分考虑两个点所在象限的异同情况。

初中生自主思考探知得到解题思路，教师予以强调，初中生进行思路完善，开展解题活动，过程略。

三、主体参与探析纳入其中，体现案例教学的发展性

案例：如图所示，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高。求证：OB=OC;如果∠ABC=50°，求∠BOC的度数。

初中生解析：结合问题条件及三角形全等的判定定理，可以通过证明三角形全等的形式，求证得到OB=OC。要求∠BOC的度数，可以通过三角形的内角和求得∠A的度数，然后通过四边形ADOE的内角和得到∠DOE的度数，从而得到∠BOC的度数。

教师点评：该问题主要是运用全等三角形的判定和性质及三角形的内角和定理等。

初中生修正解题思路，得到其思路为：根据题目已知条件可以先证明ABD和ACE全等，得到条件进而证明BOE与COD全等，从而得到OB=OC。再利用等腰三角形的性质及三角形内角和得到∠A的度数，然后通过四边形ADOE的内角和得到∠DOE的度数，从而得到∠BOC的度数。

教师组织初中生合作探析归纳解题方法：通常可通过证明三角形全等证明线段相等，计算角度时一般都会利用三角形或者四边形的内角和性质。

在上述教学活动中，初中生成为案例教学活动的实际践行者，学生的主体地位得到了尽情的“释放”，深度参与到了案例讲解的全过程，其探究数学的能力、分析思考的能力及推导归纳的能力等得到显著提升和发展。

由此可见，初中生参与其中的案例教学，贯彻和落实了新课程标准提出的“学生永远是第一核心，能力永远是第一要义”的教学要求。教师在具体讲解进程中将初中生学习技能锤炼和培养渗透于案例讲解中，既要提供初中生进行案例感知、探析、解答的亲身实践活动机会，又要重视初中生探究过程的指导和点拨，保证其探究活动的效果，针对他们解题中出现的认知疑惑、解析困难等情况，予以及时、科学的指导，在推动初中生数学解题进程的同时，实现数学探究分析效能的提升。

总之，初中数学教师在案例教学中只有始终遵循新课程标准，把学生放置于核心地位，凸显学习能力培养的第一要义，既注重主体的认知、解析训练，又强化过程的指导和讲解，实现案例教学效能的最佳目标。