函数最值的应用篇（1）

中图分类号：F12 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函数的最大值与最小值

求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步骤为：

（1）求函数f（x，y）在D内所有驻点处的函数值;（2）求f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。

在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数f（x，y）在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函数的最值在经济中的应用

例1 设q1为商品A的需求量，q2为商品B的需求量，其需求函数分别为q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，总成本函数为C=3q1+2q2，其中p1，p2为商品A和B的价格，试问价格p1，p2取何值时可使利润最大？

解 按题意，总收益函数为：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是总利润函数为

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx・L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14价格时利润可达最大，而此时得产量为q1=9，q2=6。

例2 在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量（确切地说是y个单位资本），c与α（0<α<1）是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量，现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元，问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。

解 这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程组

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一个方程解得λ=x-1/4y1/4，将其代入第二个方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在该式两边同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量f（250，50）=16 719。

例3 设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用x，y（单位：万元）之间的关系为

利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？

解 设利润为z，有

限制条件为x+y=25，这是条件极值问题，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

从而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知，当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大。

例4 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量，根据市场预测，销售量x与销售价格为p之间有下面的关系：

x=Me-ap （M>0，a>0） （1）

其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：

c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数，根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？

解 设厂家获得的利润为u，每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量x，则u=（p-c）x。

于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2） 下的极值问题。

利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

将（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

将（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由问题本身可知最优价格必定存在，故这个p*就是电视机的最优价格。

函数最值的应用篇（2）

中图分类号:F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914（2011）12-082-02

在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值的问题。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

一、最值的概念

1.最大值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最大值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最大值点。

2.最小值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最小值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最小值点。

最大值和最小值统称为最值。

二、最值在经济中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.最大利润问题。

例1：某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为C（Q）=5Q+200（万元），得到的收益为R（Q）=10Q-0.01Q2（万元），问一个月生产多少产品时, 所获利润最大?

解：由题设，知利润为

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（万元）为L的一个极大值。

从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。

2.最大收益问题。

例2：某商品的需求量Q是价格p的函数Q=Q（p）=75-p2，问p为何值时，总收益最大？

解：总收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

从而R（5）=250，为收益R（p）的极大值。

即当价格为5时，有最大收益250。

3．经济批量问题。

例3：某商场每年销售某商品a件，分为x批采购进货，已知每批采购费用为b元，而未售商品的库存费用为c元/年・件。设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？(a,b,c为常数，且a,b,c>0）。

解：显然，采购进货的费用W1（x）bx，

两次求导：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 则Q=3

当Q=3时，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而边际成本函数C'（Q）=15-12Q+3Q2

当Q=3时，C'（Q）=15-36+27=6

可见最小平均成本与边际成本相等。

边际的意义是：当产量在Q的基础上再增加一个单位时，成本C（Q）的增量。

三、总结

综上所述，对经营者来说，导数在经济学中的应用颇为广泛，而且在日常生活中、生产和科研中，常常会遇到最值的问题，不仅而已，从上面的例子可以看出，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为的经营决策提供可靠依据。

参考文献：

1.陆庆平.以企业价值最大化为导向的企业绩效评价体系――基于利益相关者理论[J].会计研究,2006(3)

2.高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览,2009（7）

3.李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2007（5）

4.向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报，2007（10）

6.谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008（4）

函数最值的应用篇（3）

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

当x=25时，Smax=1250

正确解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S随x的增大而减小

当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

函数最值的应用篇（4）

一、函数最值的性质

从函数的基本性质出发来看，一些函数存在最值，有些函数却不存在最值，比如一次函数以及正比例函数和反比例函数等不存在最值，但是二次函数以及三次函数等存在最值。在函数最值的求解过程中，对二次函数进行一次求导，使导函数的值为零的自由变量就是函数的极值点，换言之，就是导函数的驻点对应的函数值就是函数的最大值或者是最小值。在对三次函数进行求导的过程中，导函数的根存在多种情况，对于无根的情况就是函数无最值，有重根以及异根的情况都是函数存在驻点，但是函数的驻点却不一定是最值点，所以，就需要在教学活动中，对学生分辨极值点以及最值点的区别，并且在掌握了各种函数的基本性质之后采用正确的方法对于函数的最值进行求解。

二、常见函数的最值求解方法

1、对一元函数最值的求解

在对一元函数进行最值求解的时候，要先对其进行求导，其导函数的驻点就是函数最值点。为此，要首先对于函数的导函数的求导方法进行了解和掌握，函数如果在一点处连续，这是函数可导的前提条件，那么对函数进行求导，得到的导函数的根就是一元函数的最值点。最对一元函数进行求导过程中，首要的步骤就是要先求解函数的导函数，得出了导函数的驻点以及不可导点之后，再将驻点以及不可到店导入函数中求出对应的函数值，并且对于函数的定义域端点处的函数值也要进行求解，最后，再对于求解出驻点处对应的函数值以及定义域端点处对应的函数值进行比较，大的值就是函数的最大值，小的函数值即为函数的最小值。经典例题举例说明：已知函数f （x）=ln（1+x）-x，求函数的最大值，首先要对f（x）求导得f'（x）=1/（1+x）-1，导函数的唯一根为x=0，则函数的最大值为f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，试求f （x）的最值，首先求出导函数的根，有-1、0、1，它们是f（x）的极点，然后得到函数的原函数的增减区间，f（x）的四个单调区间分别为减区间、增区间、减区间、增区间，比较三个极值的大小，得到最小值为-1/4+c。

2、对于二元函数的最值求解方法探讨

（1）配方法

在对二元函数进行最值求解的过程中，要首先对于二元函数的结构特征以及性质进行分析，除此之外，还要结合函数的特殊性质，对于二次函数进行适当的配方，使其能够转化成为一元函数来进行求解，之后再利用函数的基本性质，对于函数进行相关的求解，比如函数的绝对值大于零或者是函数的平方大于等于零等处理方法进行求解。相关例题说明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先将函数转化为一元函数x=y2+2y-5，然后将方程右边进行配方，得到y2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，则x 最小值为- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同类项得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，当x=y=2时，原函数的最小值为1。

（2）求导法

通过二元函数的性质分析可以知道二元函数的极值在函数的不可导点以及驻点处，二元函数存在最值的充分条件为函数在连续并且存在极值，函数在抹点处取得极值的必要条件就是函数在某一点处存在二阶偏导数，令函数对x的二阶偏导数为A，对y的二阶偏导数为B，对x、y的偏导数为C，若B2-AC小于0，并且A小于0，则该点处的函数值为极大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，则该点处的函数值为极小值；若B2-AC小于0，则该点不是极值点，根据求出极值来得到最大值。

3、对于三角函数最值的求解方法探讨

对于三角函数最值的求导是函数最值求导的重要组成部分，三角函数在高等数学中国所占的比重视比较大的，所以在三角函数最值的求解方法的教学过程中，三角函数的教学课时比重是比较大的。对于三角函数的最值进行求解，其实就是对于三角函数的复合函数进行最值的求导，这就需要学生对于三角函数的基本知识进行充分的了解和掌握之后才能够对其进行灵活的求解。在解答三角函数的最值问题时，需要充分了解函数的定义域对值域的影响和正弦、余弦的取值范围，同时还要应用二次函数在闭区间内的最值，像利用函数的正弦与余弦的平方和等于1等性质。在刚刚学习三角函数时，需要从基础出发，避免计算量过大的题目，从基础出发，加强三角工具的应用意识，重点培养学生分析问题的能力。

4、对于解析几何中的最值求解问题

解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一，常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体，综合考查函数、不等式、三角等知识，涉及的知识点较多，属偏难问题。其常见方法首先有代数法，代数法就是先建立一个“目标函数”，再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。其次就是几何法，几何法是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。最值问题在数列和立体几何应用题等知识点中也有体现，但都可以转化为函数或解析几何形式的最值问题来予以解决，这里不一一细述了。对于解析几何中的最值求解问题需要学生多进行解题练习，对于多种题型的解题方法都要有很好的掌握，这样才能够做好解析几何中的最值求解问题。

三、结束语

函数最值的应用篇（5）

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）01（a）-0085-01

1 用导数求解某些函数的单调性，具有简洁高效的特点

定理：设函数在内可导，则：

（1）如果在内，那么函数y=f（x）在内单调增加。

（2）如果在内，那么函数y=f（x）在内单调减少。

例1：讨论的单调性。

分析：函数定义域为R，现在令，解得，

当或时，，函数在和上是增函数。

当时，，函数在（-2，2）上是减函数。

例2：设函数，其中，求的单调区间。

解：由已知得函数的定义域为：，且。

（1）当时，函数在上单调递减。

（2）当时，可知当时，函数在上单调递减。

当时，函数在上单调递增。

例3：设函数，其中为实数。当的定义域为时，求的单调减区间。

解：，令，得，由，得或。

又，时，由得；当时，；

当时，由得 ，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为。

例4：设≥0时，

，令，讨论在内的单调性。

解：根据求导法则有

，，

于是，当时，，当时，故知在内是减函数，在内是增函数。

2 用导数求解连续函数的极值和最值时，同样具有几乎公式化的解题方法

如果函数在上连续，则在上一定有最大值M和最小值m，一般先求出在内的一切驻点和一切不可导点，再比较这些驻点和不可导点的函数值以及在区间端点的函数值，最大者就是函数的最大值M，最小者就是函数的最小值m。由上述分析可知，求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤为：

（1）确定函数的定义域，并求其导数。

（2）解方程，求出的全部驻点和不可导点。

（3）讨论在邻近驻点和不可导点左，右两侧符号变化的情况，确定函数的极值点。

（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值。

例5：求函数在区间上的最大值与最小值。

解：（1），

令，得函数定义域内的驻点为：其函数值分别为：。

（2）在区间端点处的函数值分别为：。

（3）比较以上各函数值，可以得到，函数在区间上的最大值为，最小值为。

例6：求函数的极值。

解：函数定义域为R。

，令，得或：当或时，。函数在和上是减函数；

当时，，函数在（0，2）上是增函数.当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值。

例7：求函数的极值。

解：函数的定义域为R。

令，得。当或时，，

函数在和上是减函数；当时，。

函数在（-1，1）上是增函数。当时，函数取得极小值。

当时，函数取得极大值。

导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具，灵活运用导数，可以对解决一些单调性问题，最值问题，产生意想不到的效果，因此，在平时学习教学中应重点加以研究及应用。

函数最值的应用篇（6）

导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。

一、利用导数求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。

（一） 已知过切点，求切线方程

分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。

例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。

解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2

（二）已知过曲线外一点，求切线方程

分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。

例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。

解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02

所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）

又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）

解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0

二、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

例如：已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间

解：f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+a x2）eax

（1）当a=0时，若x0

所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x2

所以当a>0时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；

（3）当a0,解得0

所以当a

三、利用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的值的符号，如果f′（x）的符号左正右负，则函数f（x）在这个根处取得极大值；如果f′（x）的符号左负右正，则函数f（x）在这个根处取得极小值；需要注意的是，如果f′（x）=0的根的左右两侧符号不变，则在这个根处的函数值不是函数的极值。

例如：求函数f（x）=x3-27x的极值

解：f′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）令f′（x）=0得x=-3或x=3

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

由此可以看出：当x=-3时，函数f（x）有极大值f（-3）=54，当x=3时，函数f（x）有极小值f（3）=-54

四、利用导数求函数的最值

求可导函数最大（小）值的步骤是：（1）求函数的导数f′（x），解方程果f′（x）=0，

求出极值点；（2）比较函数在区间端点处的函数值和函数在极值点处的函数值的大小，确定最大者是最大值，最小者是最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较。

例如：求函数f（x）=-x4+2x2+3，X ［-3，2］的最大值和最小值

解：由f′（x）=-4x3+4x令f′（x）=0即-4x3+4x=0

解得x=-1，或x=0或x=1

又f（-3）=-60，f（-1）=4，f（0）=3，f（1）=4，f（2）=-5

所以，当x=-3时，函数f（x）有最小值-60

当x= 1时，函数f（x）有最大值4

五、利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型．其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性和常用的证明不等式的方法证明不等关系”．

例如：已知x>2,求证x-1>lnX

证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x

x>2 f′（x）>0 函数f（x）在（2，+∞）内是增函数

函数最值的应用篇（7）

一、三角函数最值问题的题型归纳及解法策略

在现阶段中学数学三角函数最值问题中，题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下6种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1.y=asinx+bcosx型的函数

这样的函数是我们经常遇到的，对于这样的题型处理思想应该引入辅助角，化为y=sin（x+），利用函数即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类，下面介绍一道实例来体会感受其中的方法。

例1 已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

（3）若当x∈[，]时，f（x）的反函数为f-1（x），求f--1（1）的值.

从上面这道例题可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方

法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

这样的函数题型看上去很长，也很复杂，但是其中有一定的规律，通过下面这样一个实例，你会发现它其中的玄机。处理方式是降幂，再化为“Asin（）”的形式来解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函数

在三角函数的题型中，这题型是比较常见的，经常和其它函数一起应用，特别是出现在“存在”问题中，对于这类题型的处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。下面通过一道例题来体会这方法。

例3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a・cosx+a-在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

分析：

这道题就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，只是其自变量变为cosx。值得注意的是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。在题目条件没有给你限制条件时，任何一种那个情况都应该作分类讨论，当然要结合已有的法则和三角函数相关的公式，及三角函数隐藏的条件，这样才能做到解题全面。

综合上述知，存在符合题设。

4. y=型的函数

这是一个分数形式的求三角函数最值的题型，往往出现在需要转化思想的综合题目中，下面介绍这个例题，让同学有直观感觉。

例4求函数y=的最大值和最小值。

对于这一类题型，分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。

5.y=sinxcos2x型的函数

这样的三角函数题型有一定的难度，并且有的题目角和函数很难统一，还会出现次数太高的问题，这是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中数学中涉及三次函数的最值问题，几乎都用均值不等式来求解。但需要注意是否符合应用的条件及等号是否能取得。下面介绍一个实例来体会均值不等式的方法。

例5 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k・，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式

在这样混合的函数式中，也是经常会遇到的，对于含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t，，将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。通过下面这个例题了解这样的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函数y=cos（sinx）的值域

结合如图1 所示：y=cos（sinx）的图像，知cos1=cos（-1）

例8 如图2：ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。

解：如图2，连结AP，设，延长RP交AB于M，

则，，故矩形PQCR的面积

设，

，故当时，

当时，

例9 如图3所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时，

（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；

（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米。

解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）

（2）令，则

Fig 2-4 Example 9 here

二、对三角函数最值问题的小结

1.求三角函数最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

（2）化同角函数法（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

（3）数形结合法（常用到直线的斜率关系）；

（4）换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之类的情如运用均值不等式等）；

（6）降幂法（主要利用三角函数的基本公式和定义）。

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设所给出的区间：

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

（3）在涉及到综合实际生产并运用基本不等式法解最值问题时，需要注意所得结果是否符合实际情况及等号是否取得到。

3.如“表1求解三角函数最值的常用方法”是个人对以上题型及解法的总结。

表1 求解三角函数最值的常用方法

参考文献：

[1]赵钰林.素质教育新教案数学[M].北京：西苑出版社，2004.

函数最值的应用篇（8）

1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.

3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.

二、确定函数值域的原则

1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；

则值域为{1，2，3，4}

2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；

3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.

三、基本函数的值域

1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[ ，+∞），当a

3.反比例函数y= (a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；

4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；

5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；

6.三角函数的有界性.

四、求函数值域的常用方法.

1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围

例1 求函数y= +1的值域.

解：x≠0， ≠0， +1≠1，

函数y= +1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).

2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.

例2 求函数y= 的值域.

解：由y= 解得2x= ，

2x>0， >0，-1

函数y= 的值域为y∈（-1，1）.

3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.

例3 求函数y= 的值域.

解：y= = =- + ，

≠0，y≠- ，

函数y= 的值域为{y|y≠- }.

4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.

例4 求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：

解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

抛物线的开口向上，函数的定义域R，

x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.

例5 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.

解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0

注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

（1）若定义域为R时，

①当a>0时，则当x=- 时，其最小值ymin= ；

②当a

（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a

②若x0 [a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y= 的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b± （a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令 =t;形如含 的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[- , ].

例6 求函数y=2x+ 的值域.

解：令t= （t≥0），则x= ，

y=-t2+t+1=-(t- )2+

当t= ，即x= 时，ymax= ，无最小值.

函数y=2x+ 的值域为(-∞, ].

例7 函数y=x+ 的值域.

解：（三角代换法）-1≤x≤1，设x=cosθ，θ∈[0，π]

y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= sin(θ+ )∈[-1, ]

原函数的值域为[-1, ].

6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y= .

例8 求函数y= 的值域.

方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①

当y≠1时 x∈R Δ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0

由此得(5y+1)2≥0.

检验y=- 时，x=- =2代入①求根

函数定义域为{x|x≠2且x≠3} y≠-

再检验y=1代入①求得x=2 y≠1

综上所述，函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }

方法二：把已知函数化为函数y= = =1- (x≠2)，由此可得y≠1.

x=2时y=- ,即y≠- .

函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }.

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.

例9 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最大值.

解：x< ，5-4x>0，y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.

8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.

例10 求函数y=x- 的值域.

解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，- 随x的增大而增大，所以函数y=x- 在定义域(-∞, ]上是增函数.

所以y≤ - = ，所以函数y=x- 的值域为(-∞, ].

9.函数的有界性法：形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.

例11 求函数y= 的值域.

解：将原函数化为

sinx+ycosx=2y,即 (sinx• + cosx)=2y且cosφ= 且sinφ= ，

sin(x+φ)= ，| |≤1，

平方得3y2≤1,- ≤y≤ .

原函数的值域为[- , ].

10.数形结合法

例12 求函数y= + 的最小值.

改造为y= + ，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5 .

例13 函数y= 的最大值为 ,最小值为

.

将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.

例14 求函数y=|x+2- |的单调区间和值域.

改造为y= • ,将其中 理解为动点(x， )至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x， )的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,- ]是减函数，在x∈[- ，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2- ,3].

点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.

11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.

例15 求函数y= - 的值域.

解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.

y′= - =

=

当x>-2时，y′>0，即函数y= - ，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，所求函数的值域为[-1，+∞）.

函数最值的应用篇（9）

这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.

例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.

（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；

（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，求a的取值范围.

解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1<-1转化为函数的单调性，进而构造新函数，利用导数求解.

（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，

点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.

在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.

通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.

在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.

应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.

点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.

（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.

应用三 利用导数研究方程根的分布

研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.

利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.

函数最值的应用篇（10）

（1）对满足－1≤a≤1的一切的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；

（2）设a＝－m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f（x）的图像与直线y＝3只有一个公共点．

案例2：（07年四川高考文，本小题满分12分）设函数f（x）＝ax3＋bx＋c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f ′（x）的最小值为－12．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在［－1，3］上的最大值和最小值．

案例3：（08年四川高考文，本小题满分12分）设x＝1和x＝2是函数f（x）＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

案例4：（09年四川高考文，本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）＝f（x）＋mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量x的值．

在连续四年的高考中都考到了高三选修内容的函数求导、极值、单调性、最值、导数几何意义（即导函数在某一点的导数值就是这一点切线的斜率）．在考查这些知识的同时也考查这些知识的运用能力，既考查了教材也考查了教材知识的运用．函数求导作为数学的工具和基础地位在这几个案例中得到了充分的体现和重视，从复习的角度来看，我认为高三文科在函数复习时应做好以下工作．夯实求导和二次函数这两个工具．

二、夯实求导这个工具

函数求导能解决函数的单调性、极值、切线的斜率、最值等问题．函数求导是数学和物理学的重要工具．在上述四个案例中都对函数的单调性，极值，切线的斜率和函数的最值都相当重视，因此在高三的复习中一定要准确把握和练习求导这个内容．其重点有：

1．对教材中要求的公式进行求导强化练习，如：（c）′＝0，（xn）′＝nxn－1，（cxn）′＝cnxn－1，［f（x）±g（x）］′＝f ′（x）±g′（x），［f（x）g（x）］＝f ′（x）g（x）＋g′（x）f（x）．如上述四个案例首先涉及到的就是对原函数进行求导，再在求导的基础上进行求解．

2．利用f ′（x）的意义进行解题练习

（1）f ′（x）＞0所对应的区间是f（x）的递增区间，f ′（x）＜0所对应的区间是f（x）的递减区间．充分运用这一结论进行函数单调区间的求解练习．如上述案例2，本题的第（1）问就是利用f ′（x）＞0所对应的区间是f（x）的递增区间，利用f ′（x）＜0所对应的区间是f（x）的递减区间这一结论来求解函数的单调区间的．

（2）f ′（x）在某一点的导数值是这一点切线的斜率，利用这个结论进行切线斜率和切线的求解练习，同时利用切线的斜率或切线的方程对切点进行求解，或对函数的解析式求解．如案例1的第（1）问就是利用切线反向求解函数解析式的运用．案例4的第（1）就是利用切线方程反向求试题中的参数，进而进一步进解函数的解析式的．利用这一结论除了要把握导函数在某一点处的导数值是这一点切线的斜率外，还要注意这切点同时在原函数和切线上，即同时满足原函数和切线的方程．

（3）当f ′（x0）＝0时，若f ′（x）的值在的左右取值的符号不同，则x0为f（x）的极值点，即f ′（x）在f（x）的极值点处的导数值是0，利用这一结论可以求解带参数的函数的解析式，也可以求解函数的极值和最值．如案例1的第（2）问就是利用切线反向求解函数解析式的运用．案例3的第（1）问就是例用在极值点处导函数的值为零这一结论求参数a和b的．

从上面的研究中我们不难发现，文科类的数学高考紧紧把握了教材要求的知识点：求导公式的要求，导函数的意义．并对这些内容进行正向和逆向的设计和考查，当然我们在研究中还发现数在进行求导以后，在很大程度上转化为二次函数问题．因此二次函数是高三函数复习的又一个重点和难点．

三、强化二次函数的应用

在文科数学高考大题求导后一般转换为二次函数，由于二次函数的内容在初中作为重点内容进行了教学，在高中作为一个基本工具直接使用，这本身没有任何问题，但在教学过程中发现学生在掌握二次函数的内容和解题方面都存在较大的困难．在高考的函数大题中通常是以二次函数作为出题的背景来设计的，一般设计为三次含参求导，在求出解析式后，再围绕极值，最值和单调性设置试题．因此二次函数的内容是函数考察大题的基础和工具，在复习过程中应该引起足够的重视．在教学过程中应就以下几方面强化练习和应用．

1．一元二次不等式的解法

形如ax2＋bx＋c类型的不等式的解法应用．在化a为正的情况下，应用大于（或大于等于）取两边，小于（或小于等于）取中间的原理进行求解．特别注意?驻＜0（判别式小于零）这种特属情况的求解．一元二次不等式的解法是求导后求函数单调性的基础．如案例2的第（2）问，案例3的第（2）问．

2．一元二次函数在闭区间上最值的分布

一元二次函数在闭区间上最值的分布是求解是否存在极值点，有几个极值点的基础，也是求解极值或最值的基础．如案例1的第（2）问，案例2的第（2）问和案例4的第（2）问．

3．应强化二次函数以下知识点的练习和应用：

（1）顶点坐标－；

（2）对称轴x＝－；

（3）单调性：a＞0时，对称轴的左边单递减，对称轴的右边单调递增；a＜0时，对称轴的左边单递增，对称轴的右边单调递减；