分布式教学的概念篇（1）

概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。概率与数理统计是高等院校财经类专业的公共基础课，它既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。然而，在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点，许多学生难以掌握其内容与方法，面对实际问题时更是无所适从，尤其是财经类专业学生，高等数学的底子相对薄弱，且不同生源的学生数理基础有较大的差异，因此，概率统计成为一部分学生的学习障碍。如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。作为我校教学改革的一个重点课题，在近几年的教学实践中，我们结合该课程的特点及培养目标，对课程教学进行了改革和探讨，做了一些尝试性的工作，取得了较好的成效。

1 与实际结合，激发学生对概率统计课程的兴趣

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。为了激发学生的兴趣，在教学中，可结合教材插入一些概率论与数理统计发展史的内容或背景资料。如概率论的直观背景是充满机遇性的，其最初用到的数学工具也仅是排列组合，它提供了一个比较简单而非常典型（等可能性、有限性）的随机模型，即古典概型；在介绍大数定律与中心极限定理时可插入贝努里的《推测术》以及拉普拉斯将概率论应用于天文学的研究，既拓广了学生的视野，又激发了学生的兴趣，缓解了学生对于一个全新的概念与理论的恐惧，有助于学生对基本概念和理论的理解。此外，还可以适当地作一些小试验，以使概念形象化，如在引入条件概率前，首先计算著名的“生日问题”，从中可以看到：每四十人中至少有两人生日相同的概率为 0.882，然后在各班学生中当场调查学生的生日，查找与前述结论不吻合的原因，引入条件概率的概念，有了前面的感性认识后学生就比较主动地去接受这个概念了。

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为 n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

2 运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时，我们首先给出一组成年女子的身高数据，要学生找出规律，学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料，然后引导他们计算累积频率，描出图形，并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例，进一步分析:身高本是连续型随机变量，可是当我们把它们分组后，统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法，如果在每一组中取一个代表值后，它其实就是离散型的，所以在研究连续型随机变量的概率分布时，我们可以用离散化的方法，反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限，服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例，其中体现了对立统一的哲学内涵，而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间，但是当学生理解了这些概念及其关系之后，随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握，而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟，同时也调动了学生的学习积极性和主动性，培养了他们再学习的能力。

3 运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一，也是我们日常谈论的一个热门话题。因此，在介绍二项分布时，例如一家保险公司有1000人参保，每人、每年12元保险费，一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时，其家属可向保险公司领得1000元，问:①保险公司亏本的概率为多大?②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少? 保险这一类型题目的引入，通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。

4 运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。

5 改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。

实践表明，运用教改实践创新的教学模式，可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上，我们尽管做了一些探讨，但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题，也希望与更多的同行进行交流，以提高教学水平。

参考文献

［1］陈善林，张浙.统计发展史［M］.上海：立信会计图书用品社，1987：119-151.

［2］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

分布式教学的概念篇（2）

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

2运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时,我们首先给出一组成年女子的身高数据,要学生找出规律,学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料,然后引导他们计算累积频率,描出图形,并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例,进一步分析:身高本是连续型随机变量,可是当我们把它们分组后,统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法,如果在每一组中取一个代表值后,它其实就是离散型的,所以在研究连续型随机变量的概率分布时,我们可以用离散化的方法,反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限,服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例,其中体现了对立统一的哲学内涵,而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间,但是当学生理解了这些概念及其关系之后,随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握,而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟,同时也调动了学生的学习积极性和主动性,培养了他们再学习的能力。

3运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一,也是我们日常谈论的一个热门话题。因此,在介绍二项分布时,例如一家保险公司有1000人参保,每人、每年12元保险费,一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时,其家属可向保险公司领得1000元,问:①保险公司亏本的概率为多大②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少保险这一类型题目的引入,通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。

4运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。

5改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。新晨

实践表明,运用教改实践创新的教学模式,可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味,可以激发学生的求知欲望,提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上,我们尽管做了一些探讨,但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题,也希望与更多的同行进行交流,以提高教学水平。

参考文献

［1］@陈善林，张浙.统计发展史［M］.上海：立信会计图书用品社，1987：119-151.

［2］@姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)［M］.北京:高等教育出版社,2003.

分布式教学的概念篇（3）

概念是对客观事物本质属性的抽象和概括，要正确地理解概念，就必须引导学生找出概念的本质属性，让学生真正理解概念的内涵和外延，从而正确地掌握概念，切不可只进行文字说明，让学生死记硬背。

例如，“质点”这一概念的教学，我们一般强调的是只有质量，没有大小的概念，学生在学习中，往往拿生活中具体的物质来和“质点”做对比，单纯认为质点就是体积非常小，密度非常大的物体，这当然是极具片面性的。教师在此基础上还要对学生讲清楚，“质点”只是一种理想化的模型，是为了研究问题的方便而假定的一种思考方法，而不存在“大”和“小”之分。太阳和地球之间的距离相比较，地球和太阳的体积是非常大的，但是和它们之间的距离相比较，就显得微不足道了，此时的太阳和地球就可以作为“质点”来考虑了。当然，地球和太阳绝对不是质量非常小，密度非常大的物体，从而使学生对于质点的认识有一个清晰的印象。

二、多角度阐述物理概念，可以深化学生对概念的理解。

物理概念是可以从不同角度定义的，但教科书往往只从正面以单一方式叙述，教师倘若只是机械地照本宣科，会使学生对概念的理解有片面性，缺乏立体感。如果教师在讲概念时，能够从正面、反面、侧面等方面多角度地去剖析、阐述，定可深化学生对概念的理解。

例如，在讲解“加速度”这一概念时，学生对于加速度的理解各式各样，但能够全面理解的并不多，除按教科书的叙述外，针对不同学生的不同状况，还可从这几方面进行阐述：加速度是描述速度变化快慢地物理量，解决了一部分学生对速度和加速度的思路的混淆；是单位时间内速度的变化量；是速度对时间的变化率，进一步从量上给出了加速度的确切表达；其大小等于合外力与物体质量的比值，指出了力与加速度的紧密联系；是物体运动状态发生变化的标志等等。

三、通过对比进行概念辨析

有些物理概念，既有表面上相似的一面，又有本质不同的一面。如果在教学中能够引导学生对概念进行对比分析，就可以深化学生对概念的理解，起到防止混淆的作用。

例如，对“分子间的作用力”的辨析，分子间的斥力和引力是同时增大和减小的，并非在大于平衡位置时只有引力而无斥力，也不是在小于平衡位置时只有斥力而无引力。在教材中提到分子间的作用力和弹簧的相似之处。这有助于学生对于力的总体表现的把握，但是对于引力和斥力的变化，弹簧就不能全面的反映。只有通过既抓住它们之间的相同点，又能够清晰指出它们之间的不同点，才能使学生对于分子间作用力的概念有一个准确的把握，而不是说到分子力，就立刻联想到弹簧一样。

四、引导学生正确区分定义式和导出式

物理概念的定量描述是通过数学公式来实现的，我们常称之为定义式。

例如，电场强度用B＝F/IL，电容用C＝Q/U，电势用U＝ε/q等等。但从这些定义式往往导出另一些公式来，例如，E＝KQ/r，C＝εs/d等，在教学中，若能引导学生，对这些定义式和导出式进行辨析，弄清它们的适用条件，对概念的理解和掌握是大有好处的。

五、通过解题训练强化物理概念

分布式教学的概念篇（4）

数学概念语言简练，用词准确，把概念中的关键字词分析透彻，辨别清楚，对理解概念十分重要，教学时应从以下两点入手：

1.设置情境，引出概念

把抽象的数学概念用生活中的事例形象生动化。如数轴，什么是数轴？课本中明确给出概念，但是同学们似乎对原点和正方向有疑虑，原点究竟在什么位置？什么方向为正？这时，老师应该从我们常见的温度计入手，拿出事先准备好的温度计，让学生观察温度计的读数特点，然后把温度计水平放置，再观察其刻度特点。这时如果我们把温度计看作一条标有刻度单位的直线，并且规定向右的方向为正方向，那么它就是数轴，这样通过实物类比同学们便容易明白数轴的概念。又如八年级下册第五章《数据的收集》中的频数分布直方图，书中没有明确给出定义，也没有具体讲述怎样绘制频数分布直方图，只是用一道例题的形式呈现出频数分布直方图，这时学生就会有点迷茫。我在初步讲述时就按课本上的教学方案进行，但教学效果很差，尤其怎样分组的问题，学生根本弄不明白。与同级的几位老师讨论后，我又重新设计了教案，在讲授时首先设置一种情境，假如我们班的同学要订校服，首先我们要测量同学们的身高，但是根据生活常识我们知道，我班所有同学穿的校服尺码最多也就五个，那么为什么会出现这样的情况呢？是因为衣服稍微大点或者小点也可以，所以就会出现身高介于某个段内的同学穿同样尺码的衣服，比如身高在1.65米――1.68米的同学穿尺码是180的衣服，这样就要对所有数据进行分类，因此就会出现数据的分组，这样的条形统计图也就是频数分布直方图，这样同学们既对频数分布直方图有了清楚的认识，同时也明白了它与条形统计图的区别。

2.利用挂图，教具，多媒体课件展示

把抽象的概念用实物或课件演示出来，有事半功倍的效果。例如在讲授旋转时，应用多媒体展示几个有关旋转的实物，如风扇的旋转，车轮的旋转，分析其特点，归纳其要素，然后根据特点和要素总结定义，从感性认识到理性认识，这样教学效果就比较好。

二、理解和掌握概念

在概念教学中，只认识它的字面意义是不够的，还应以分析其性质、揭示其本质为重点，才能加深理解，准确的掌握它的含义。

1.分类对比，深化概念

随着学习的不断深入，接触到的数学概念越来越多，教师要根据概念之间的逻辑关系，按知识和结构组成概念体系，把学生感知的“孤立”、“零散”的概念纳入相应的数学体系中，让学生获得一个条理清晰的知识网络。

2.对于并列相关的概念，可进行类比联想

在众多的数学概念中，我们经常可以见到，有些概念内容相似，但有着本质区别，存在并列关系；有些概念的本质相同，只是名称不同，有着等同关系。对于这类概念，我们可以采用类比联想，联想的东西越多，思考的途径就也越多。例如：二次根式的加减就是合并同类项根式，它可以与初一的整式加减中的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。再如轴对称与中心对称，轴对称与轴对称图形，中心对称与中心对称图形等。通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。

三、巩固和运用概念

1.将文字语言表达的概念用数学符号表达

尤其是几何概念的学习，把文字语言概念用数学符号表达的过程，是进一步理解和巩固概念的过程。例如：“点C是线段AB的中点”就要通过画图让同学们感知线段重点的概念。又如：线段的垂直平分线，也要通过图形让同学们感知。这些在几何概念的教学中是不可缺少的，这样做可以让学生加深对概念的理解。

2.重视概念的抽象化与具体化的有机结合

教学中教会学生应用概念进行推理、判断或分析具体事物，解决实际问题，防止学生对概念认识上思维的“断层”，出现“闻而不会，会而不全”的现象。

分布式教学的概念篇（5）

列宁曾指出：“认识是人的思维对客观的永远的、没有止境的接近. ”对比则是促进思维向客观接近的重要环节. 人们对于客观事物的认识，几乎都是在对比中实现的. 它是思想上区分客体、确定异同的思维方法，通过对客观事物的对比，找出事物的异同与联系. 小学数学教材中，一些知识的差异性常常为它们的相似性、相近性和相关性所掩盖，小学生在思想上易把它们泛化为同类事物而发生混淆，因此小学生学习数学知识，更需要通过对数学材料的对比，才能理解知识的本质意义，掌握知识间的联系与区别.

一、引入概念时的对比

在引入一个新的数学概念之前，教师首先要分析这个新概念是建立在哪些已学过的数学概念的基础上，然后在复习旧概念的过程中，自然地引出新概念，让学生真正明确新旧概念之间的区别与联系，为正确理解新的概念打下基础. 如教学“除数是两位数的商中间有0的除法”时，就先要复习“除数是一位数的商中间有0的除法”. 其次是在教学新的知识时，和旧的知识进行比较，找出不同之处，从而理解新知识的本质特征. 如教学“求一个数是另一数的几倍”的应用题，将其与“一个数的几倍是多少”的应用题进行比较，让学生理解二者解法上的不同. 通过这样的比较，能加强知识的系统性，使新旧学习内容紧密地联系起来.

二、巩固概念时的对比

学了一个新的数学概念之后，为使学生巩固所学的概念，与一些相关的易混淆的概念进行对比辨别，达到正确理解概念实质的目的. 例如：我们在进行平行四边形面积教学时，根据教材让学生通过具体图形，抽象出面积的意义，并进一步引出平行四边形面积这一概念. 在学生理解和掌握这一概念后，引出平行四边形周长概念进行对比，如让学生指出现实生活中的一些平行四边形的例子，并能指出它们的周长是哪部分，面积是哪部分，最后让学生口述平行四边形周长和面积的意义.

三、简单应用题与复合应用题对比

一道复合应用题，不管如何复杂，它都是由一些相关的简单应用题复合而成的，在进行复合应用题教学的时候，如果先让学生做几个与之有联系的简单应用题，然后引导学生把简单的应用题合并起来变成复合应用题，最后比较简单应用题与复合应用题的联系与区别，这样就能使学生准确地掌握解答复合应用题的关键，这样就有效地提高了解答应用题的能力. 例如：（1）10台织布机8小时织布320米，每台织布机8小时织多少米？学生通过教师的画图，列出算式320 ÷ 10 = 32（米）. 教师再出示：（2）10台织布机8小时织布320米，10台织布机每小时织多少米？学生再次通过教师画图，列出算式，320 ÷ 8 = 40（米）. 通过前面两个例题，教师引出这样的一道题：（3）10台织布机8小时织布320米，每台织布机每小时织布多少米？让学生思考列出综合算式来，320 ÷ 10 ÷ 8，最后，教师进行对比，让学生更好地掌握知识 .

四、互逆关系应用题的对比

数学应用题中，数量关系具有互逆关系的很多. 在教学过程中，要通过对比它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，就使各个零碎的知识串成线，连成面，从而形成一个完整的知识结构. 例如：一个运动员跑5天，每天8小时，共跑200千米，照这样速度，这个运动员每天每小时跑多少千米？学生列式：200 ÷ 5 ÷ 8 = 5（千米）. 通过上面的例子，再让学生编出一道连乘的应用题，从而让学生掌握了解题的思路.

五、应用题“多变”的对比

应用题“多变”包括“一题多解”、“条件变换叙述”、“一题多变”等. 通过对比，可以培养学生思维的灵活性、敏捷性和创造性，使学生的思维在“变”中得到锻炼，克服思维定式的干扰，便于学生找出最好的解题方法. 例如：（1）一条公路，上午走了全程的20%，正好走了100千米. 这条路全长有多少千米？100 ÷ 20% = 500（千米）. （2）一条公路全长500千米，上午走了全程的20%，还有多少千米没有走？500 - 500 × 20% = 400（千米）. （3）一条公路，上午走了全程的20%，下午走了全程的35%，_____________.这条公路全长有多少千米？（在括号里填上合适的条件，具体数量自己定）.通过这个多变练习，让学生学到举一反三的能力.

分布式教学的概念篇（6）

在导入新课的阶段，可以设计一个简单的活动来帮助学生们回忆学过的知识，并导入要讲解的频数的概念，如以闯关的形式，先通过选拔赛，全班参与，速度最快者胜出，再闯关。 选拔题可以设为求数1，2，3的平均数和方差。 第1关题目：我们已学过哪些反映数据分布情况的特征数？第2关题目：平均数与方差分别反映数据的什么特征？第3关题目：A医院2012年6月，在该院出生的20名新生婴儿的体重如下（单位：kg）

4.7， 2.9， 3.2， 3.5， 3.6， 4.8， 4.3， 3.6， 3.8， 3.4，

3.4， 3.5， 2.8， 3.3， 4.0， 4.5， 3.6， 3.5， 3.7， 3.7.

已知这一组数的平均数为3.69， 方差为0.2749，请说明：这组数据的平均数和方差能说明医院新生婴儿体重在哪一个范围内人数最多，在哪一个范围内人数最少？你能说出体重在3.55～3.95 kg这一范围内的婴儿数是多少吗？用什么方法？通过这样的一个小游戏的形式，让学生在课前进行充分地热身和知识回顾，提高了学生的学习热情。

在上课的过程中，概念的讲解如果是用直接讲解的方法，学生是很难理解和掌握好的，并且容易觉得枯燥。 可以把概念和相关知识都融入到一个活动中，通过活动的过程来阐述和讲解概念，这样学生更容易理解，对知识的印象也会更深刻。 活动可以设计为调查全班同学的视力情况，并让同学们试着通过数据的整理对全班同学的视力状况进行统计。

分布式教学的概念篇（7）

前言

《概率论与数理统计》是研究随机现象客观规律的一门学科，是全国高等院校数学以及各工科专业的一门重要的基础课程，也是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。该课程处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异，因而学生学起来感到难以掌握。大多数学生感到基本概念难懂，易混淆、内容抽象复杂，难以理解、解题不得法、不善于利用所学的数学知识和数学方法分析解决实际问题。为此，笔者从教学安排、教学内容、教学形式和考核方法4个方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。

一、教学内容和安排

《概率论与数理统计》的内容以及教师授课一般都存在着重理论轻实践、重知识轻能力的倾向，缺少该课程本身的特色及特有的思想方法，课程的内容长期不变，课程设置简单，一般只局限于一套指定的教材。《概率论与数理统计》课程内容主要包括3大类：①理论知识。也就是构成本学科理论体系的最基本、最关键的知识，主要包括随机事件及其运算、条件概率、随机变量、数字特征、极限定理、抽样分布、参数估计、假设检验等理论知识，这些是学习该课程必须要掌握的最重要的理论知识。②思维方法。指的是该学科研究的基本方法，主要包括不确定性分析、条件分析、公理推断、统计分析、相关分析、方差分析与回归分析等方法，这些大多蕴涵在学科理论体系中，过去往往不被重视，但实际上对于学生知识的转化与整合具有十分重要的作用。③应用方面。《概率论与数理统计》在社会生活各个领域应用十分广泛，有大量的成功实例。

因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一的教学基本要求的基础上，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展。在教学进度表中应明确规定该门课程的讲授时数、实验时数、讨论时数、自学时数(在以前基础上适当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。

二、教学形式

1)开设数学实验课教学时可以采用以下几个实验：在校门口，观察每30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，增强学生兴趣，培养学生的实际操作能力和应用能力。

2)引进多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用Matlab软件编写程序，在图形窗口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度函数用图形表示出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解图形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。

3)案例教学，重视理论联系实际《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用，然后结合概率密度图形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。

另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。

三、考核方法

考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小(一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。

所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这4个方面给予适当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。

分布式教学的概念篇（8）

《概率论与数理统计》是研究随机现象客观规律的一门学科，是全国高等院校数学以及各工科专业的一门重要的基础课程，也是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。该课程处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异，因而学生学起来感到难以掌握。大多数学生感到基本概念难懂，易混淆、内容抽象复杂，难以理解、解题不得法、不善于利用所学的数学知识和数学方法分析解决实际问题。为此，笔者从教学安排、教学内容、教学形式和考核方法4个方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。

1 教学内容和安排

《概率论与数理统计》的内容以及教师授课一般都存在着重理论轻实践、重知识轻能力的倾向，缺少该课程本身的特色及特有的思想方法，课程的内容长期不变，课程设置简单，一般只局限于一套指定的教材。《概率论与数理统计》课程 内容主要包括 3大类 ：①理论知识 。也就是构成本学科理论体系的最基本 、最关键的知识，主要包括随机事件及其运算、条件概率、随机变量、数字特征、极限定理、抽样分布 、参数估计 、假设检验等理论知识，这些是学 习该课程必须要掌握的最重要 的理论知识。②思维方法 。指的是该学科研究的基本方法，主要包括不确定性分析、条件分析、公理推断、统计分析、相关分析 、方差分析与回归分析等方法 ，这些大多蕴涵在学科理论体系中，过去往往不被重视，但实际上对于学生知识的转化与整合具有十分重要的作用。③应用方面。《概率论与数理统计》在社会生活各个领域应用十分广泛，有大量的成功实例 。

因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一 的教学基本要求 的基础上 ，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展 。在教学进度表中应明确规定该 门课程的讲授时数 、实验时数、讨论时数、自学时数 (在以前基础上适 当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突 出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。

2 教学形式

1)开设数学实验课教学时可以采用 以下几个实验 ：在校门 口，观察每 30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从 Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排 出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况 ，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课 ，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌 ，体味生活中的数学 ，增强学生兴趣 ，培养学生的实际操作能力和应用能力。

2)引进 多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示 ，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用 Matlab软件编写程序，在图形窗 口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律 ，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课 、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分 ，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分 ，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度 函数用 图形表示 出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解图形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信 区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。

3)案例教学，重视理论联系实际 《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用 ，然后结合概率密度图形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述 ，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。

另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。

3 考核方法

考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小 (一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。

所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验 。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以 A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这 4个方面给予适 当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。

分布式教学的概念篇（9）

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0163-01

概率论与数理统计是高等学校理工科专业的一门重要工程数学课程，也是应用性极强的一门学科，其理论和方法的应用几乎遍及自然科学、社会科学、工农业生产和国民经济各个领域。因此，概率论与数理统计的学习就显得非常重要，然而很多学生在初学这门课程时感到很多知识难以理解和掌握，学习效果欠佳。为解决这样的问题，培养学生对随机现象的理解及对概率的直觉，提高学生的数学修养及严密的思维能力，我们在概率论与数理统计课程教学理念和方法上进行了一些探讨和研究。

1 在教学过程中吸引学生，调动学生的情感以提高学习兴趣

要想使课堂教学达到教学的最佳效果，教师不仅要调动学生的学习兴趣， 教育学生学好该课程的重要性，不要惧怕学习过程中的各种困难外，还必须要想方设法使自己的传授能够最大限度地吸引学生。

（1）教师的对课程内容的教学设计要联系学生的客观现实和课程知识现实，与其已有的生活经验和知识结构联系起来，比如在设计正态分布课程内容时，就可以跟学生介绍学生的考试成绩及学生综合素质应基本服从正态分布。另外有些医学现象，如同质群体的身高、体重、血红蛋白量，以及实验中的随机误差等，均呈现为正态或近似正态分布；

（2）教师确立的教学任务对学生具有一定的挑战性，平庸死板的教学安排不可能吸引学生，教师应该尽可能的提高课堂教学效率，充分利用好课堂时间，让学生感到学习充实，信息获取量大。掌握了一道题的常规解法，谁还有其他创新的解法？学习完了一维随机变量及其分布，还有没有二维或多维随机变量可研究？

（3）教师应关注学生听课时的精神状态，在学生注意力涣散或有不耐烦情绪时，应调整教学的形式、授课的语速语调等，将学生的注意力重新拉回到课堂上来。 比如在组织教学时采用多种教学模式，如猜想、观察、示范、模拟、操作、自学、讨论、练习、分组竞赛等。

（4）教师自身的魅力在很大程度上也能够达到吸引学生的目的，比如上课时精彩幽默的语言，挥洒自如的教态，简练而漂亮的板书，大方的仪表，亲切的话语，真挚的鼓励，肯定的目光，独到的见解，游刃有余的解题技巧等，都有助于建立良好的师生关系，教师如果能够调动学生的情感和意志这些精神需要，那将会得到持久而巨大的效果。

2 加强学生思维能力的培养

数学知识是数学思维活动升华的结果，整个课程教学过程就是数学思维活动的过程，因此，如何通过教学自觉地培养学生的数学思维就成为值得探讨的重要课题。

（1）应使学生对数学思维本身的内容有明确的认识

在传统教学中，数学思维被简单的定义为具有逻辑思维，把直觉、想象、顿悟等非逻辑思维也作为数学思维的组成部分。但是，这种观念阻碍了学生的思维创造意识，要想提高学生的数学思维能力，必须打破这种旧的观念，只有这样，数学教育才能不仅赋予学生以“再现性思维”，更重要的是给学生赋予了“再造型思维”。在用数学解决实际问题及证明数学定理时，凡是简捷的过程、巧妙的方法等都属于创造性思维的范畴。

（2）通过概念教学培养学生的数学思维。数学概念的教学，首先是知识概念的引入的必要性，创设思维情境及对感性材料进行分析、抽象、概括。此时，如果教师能结合有关数学史谈其必要性，这对提高学生的创造性思维起到很好的效果。数学概念教学的任务，不仅要解决“是什么”的问题，更重要的是解决“是怎样想到的”问题，以及有了这个概念之后，在此基础上又如何建立和发展理论的问题。比如在给出了离散型随机变量及其分布律后，又给出了连续型随机变量及其概率密度的概念，这样做的合理性在什么地方，二者的区别何在，又分别适用于什么情况呢。其次，就是对概念的理解过程，这一过程是复杂的数学思维活动的过程。理解概念是更高层次的认识，是对新知识的加工，也是旧的思维系统的应用，同时又是使新的思维系统建立和调整的过程；为了让学生更加准确的理解数学概念，教师在创设思维情境，激发学生学习动机以后，还要进一步引导学生对概念的定义的结构进行分析，明确概念的内涵和外延，在此基础上再启发学生归纳概括出几条基本性质、应用范围以及利用概念进行判断等。总之，要从概念的形成过程中，既培养学生创设思维，又使他们学到科学的研究方法。最后还应指出，概念教学的主要目的之一在于应用概念解决问题；因此，教师还应阐明数学概念及其特性在实践中的应用。例如在讲述n重伯努利试验A恰好出现 k 次的概率时，我们可以引入以下这个例题：姚明罚篮的命中率为80.9%，若姚明在某次比中获得4次罚球机会，假设每次投篮都互不影响，那么他投中3次的可能性有多大？在解决这个有意思的实际应用问题时更能把概念和公式牢记于心。

学生很难从应用抽象概念转换到具体的实际情景。因为这时既要涉及到抽象的逻辑思维，更要求助于形象的非逻辑思维。概念的教学，从引入、理解、深化、应用等各个阶段都伴随着重要的创设思维活动过程，因而都能达到培养学生数学思维的目的。

分布式教学的概念篇（10）

【中图分类号】G642【文献识别码】A

【基金项目】（1）2015.06.01-2016.05.31，西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”（项目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02-2016.07，四川省教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.01-2017.08.10，高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）.

随着高校教育教学改革的不断深化和网络通信技术的快速发展，微课作为一种新兴教学方式，正受到教育界越来越多的关注.近两年教育部举办的“全国高校数学微课程教学设计竞赛”反响非常热烈，涌现出一批优秀的数学微课作品.笔者选取概率统计课程中的“连续型随机变量的密度函数”知识点作为微课参赛作品，获得“第二届（2016）全国高校数学微课程教学设计竞赛”西南赛区一等奖.现将本次微课教学设计思路及教学特色与同行分享.

一、教学目标

本次微课的教学目标是：

1.了解连续型随机变量与离散型随机变量的差异；

2.理解连续型随机变量概率密度函数的定义和性质；

3.体会密度函数对于研究连续型随机变量的价值及其在方法论上的意义.

二、重难点分析及对策

（一）重难点：密度函数的概念和性质

密度函数是连续型随机变量的标杆.因为只要知道密度函数，就可以通过积分计算连续型随机变量的各种概率，从而明确该随机变量的概率分布及特征，所以深入理解密度函数的概念和性质十分重要.按严格意义的表述，连续型随机变量及其密度函数是捆绑在一起定义的，直接给出该定义对学生来讲显得很突然而且抽象，不容易接受.因此，教学中应注意概念引入的方式和技巧，以便对概念的内涵有深刻的理解.

（二）重难点突破对策

对策1：引导学生发散式思维，由离散过渡到连续.离散型随机变量在某个区间上的概率计算是随机变量在该区间中所有取值对应的概率求和，以此为背景，通过将取值点不断加密，自然地将取值的视野引入连续区间的情境，想到连续的求和就是积分.于是区间上概率的计算问题也就从离散情形下的概率求和转化到连续情形下的积分.这个基本思路必须是学生头脑中形成的处理随机变量概率问题的第一反应，达到这个层面，对连续型随机变量相关概率的几何意义、密度函数的性质等等的理解就会顺理成章.

对策2：类比思想.通过类比物理中求非均匀细杆质量的例子，激活学生原有经验，调动学生积极主动思维，类比探究连续型随机变量区间上概率计算的定积分表达式，引出概率密度函数存在性的猜想.

三、教学过程及方法

本次微课结合PPT演示，教学时间15分钟.采用探索式、提问式、启发式、类比式教学，由表及里、层层递进、步步设问，引导学生主动思考，利用旧知识解决新问题，激发学生的创新意识，培养学生的发散性思维和能力，达到理解并掌握知识的目的.

（一）区间上概率问题的提出及密度函数概念的引入（4分钟）

1.通过探讨式教学，让学生对连续型随机变量的概念有初步的直观感受，并得出连续型随机变量需关注区间上的概率计算问题.

首先，通过对日常生活中实际问题的直观感受，引入与离散型随机变量不同的另一类随机变量，如手机的使用寿命、某人在车站等车的时间等，称之为连续型随机变量.然后，启发学生思考：这些所谓的连续型随机变量与离散型随机变量的区别在哪里呢？学生们容易发现：它们与离散型随机变量的最大不同在于取值可能为某实数区间的任意值，而不是至多可列个值，这一不同造成了连续型随机变量X取某一个点的概率毫无意义，需着重关注的问题是X落在某个区间内的概率，如P（a

2.通过探求连续型随机变量概率的计算问题，参照定积分的微元分析方法，由离散向连续过渡；同时与非均匀细杆质量的线密度作类比，启发学生猜想密度函数概念的存在性.

①定积分解决概率问题思想的形成

【利用旧知识解决新问题】首先回顾离散型随机变量求P（a

【提出问题，启发学生思考】为了从离散向连续转变，我们想象这里的离散型随机变量X的取值越来越密集，最后连成一片构成一个区间，此时如何计算P（a

【预设回答】大部分学生会回答“积分”.

【进一步启发】连续的求和就是积分，该积分值显然与区间（a，b]有关，于是猜想能否存在某个函数f（x），将P（a

②概率密度函数存在性的猜想.

【类比猜想】概率是对随机事件发生可能性大小的一N度量，它本质上与长度、质量等度量方式没有区别.并且注意到随机变量X落入整个实数轴是一必然事件，其概率为1，所以引导学生类比猜想：将整个实数轴设想成一根无限长的质量为1的非均匀细杆，于是计算P（a

【揭晓答案】事实上，经过数学家们的研究，对连续型随机变量，这样的概率密度函数的确存在.下面给出连续型随机变量及其密度函数的严格定义.

（二）连续型随机变量及其密度函数的定义与性质（4分钟）

定义1设X是随机变量，若存在函数f（x）满足

（1）对任意的实数x，有f（x）≥0；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1；

（3）对任意两个实数a，b（a

则称X为连续型随机变量，f（x）为X的概率密度函数，简称密度函数或概率密度.

【教学特色】本次教学设计中未采用传统的密度函数定义.

定义2设F（x）是随机变量X的分布函数，如果存在某个非负函数f（x），使对任意的实数x，有F（x）=∫x-∞f（x）dx，则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的密度函数.定义2直接给出了分布函数和密度函数的关系，定义中的积分表达式是反常积分中的变上限积分形式，初学者难于理解，甚至容易将分布函数与密度函数混淆.为此，教学过程中采用另一种密度函数定义方式（定义1），其优点在于：①承上启下，易于理解；②化繁为简，由易到难.

密度函数的性质：

（1）f（x）≥0（非负性）；

（2）∫+∞-∞f（x）dx=1（归一性）.

注：这两条性质是判断一个函数能否成为概率密度函数的充要条件.

（三）连续型随机变量区间上概率问题的解决（6分钟）

由P（a

（1）P（a

根据定积分几何意义可知，随机变量X落在区间（a，b]上的概率，恰好等于在区间（a，b]上由曲线y=f（x）形成的曲边梯形的面积.因此，可通过图形直观地感受随机变量的概率分布情况.

（2）密度函数与分布函数的关系.

由关系式∫baf（x）dx=F（b）-F（a），引导学生探索分布函数F（x）和密度函数f（x）之间的关系.

【提出问题，引导学生思考】根据上述等式，大家联想到微积分学中一个什么重要公式呢？这表明f（x）和F（x）之间可能会是一种什么关系呢？

【预设回答】大部分学生会回答“牛顿-莱布尼兹”公式；“F（x）是f（x）的一个原函数”.

【进一步启发并论证】分布函数F（x）能借助密度函数f（x）的积分形式来直接表达吗？

F（x）=P（-∞

【深挖内涵，层层深入】

上式表明F（x）是关于f（x）的积分上限的函数，根据微积分知识，可以得到以下结论：

①连续型随机变量的分布函数F（x）一定是连续函数；

②在F（x）的可导点x处，则有F′（x）=f（x），即分布函数就是密度函数的一个原函数；

③由结论②，进一步得到

f（x）=F′（x）=limΔx0F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx0+P（x

该式表明，概率密度就是平均概率的极限，刻画了分布函数变化的快慢程度；

④由结论③，进一步得到

P（x

该式表明，随机变量X落在区间（x，x+Δx]上的概率与点x处概率密度成正比，即f（x）越大，在该点附近取值的概率就越大，体现了概率在x点附近的密集程度.

（四）小结与课后思考（1分钟）

本次课通过类比猜想的方式引入连续型随机变量的密度函数的概念，解决了连续型随机变量在区间上概率的计算问题，并探讨密度函数与分布函数的关系，将知识升华.

四、教学思想小结

1.通过对日常生活中实际问题的分析，引出对连续型随机变量的直观感受，让学生认识到它与离散型随机变量的差异，蕴含了从具体到抽象的思维方式；进一步由离散向连续过渡，温故而知新，运用微元分析法，提炼出区间上概率的计算思路，体现了有限和无限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一的辩证法教学思想.