圆的面积教案篇（1）

1.结合实例认识圆的面积,掌握圆的面积计算公式。

2.探索圆的面积与平行四边形面积之间的关系,经历圆的面积计算公式的推导过程。

3.在估一估和探索圆的面积公式的活动中,体会“以直代曲”的数学思想,初步感受极限思想。

【重点】　经历圆的面积计算公式的推导过程,掌握圆的面积计算公式。

【难点】　探索圆的面积与平行四边形面积之间的关系,圆的面积公式推导过程。

【教师准备】　PPT课件、等分好的圆形纸板。

【学生准备】　完全相同的多个圆形纸板。

1.每个小方格的面积是1

cm2,数一数下面图形的面积各是多少。

2.写出下面各图形的面积计算公式。

长方形面积计算公式:(

)。

平行四边形面积计算公式:(

)。

3.计算下面图形的面积。

【参考答案】　1.21

cm2　15

cm2　12

cm2　2.长方形的面积=长×宽　平行四边形面积=底×高　3.4×3=12(cm2)　5×2=10(cm2)

方法一

1.(PPT课件出示)在草地的一个木桩上拴着一只羊,想一想这只羊能吃到草的最大范围是多少?

学生观察并讨论,然后指名回答。

预设

生1:我发现羊能吃到草的最大范围刚好能围成一个圆形。

师:半径和圆心分别是什么?

生2:这个圆形的半径就是绳子的长度。

生3:这个圆形的中心就是木桩所在的地方。

师:同学们说得很好。请大家说说这个圆形的面积指的是哪部分呢?

生4:羊能吃到的草形成的圆形的面积。

(课件演示羊吃草形成的圆形)

2.引出课题。

这个圆形的面积是多少?怎样计算?计算圆的面积需要哪些圆的要素呢?今天这节课我们就来学习圆的面积。

板书课题:圆的面积(一)。

[设计意图]　由生活中的实际问题引入新知,激发学生学习兴趣。利用实例直观地展现出圆的面积,帮助学生建立圆的面积的形象特征,为学习新知打下基础。

方法二

1.PPT课件出示公园里的圆形花坛。

师:这是公园里的圆形花坛,现在要把这个花坛里种上草坪,要铺多大面积的草坪呢?对于这个问题你是怎样理解的?你想怎样解决?说说你的想法。

预设

生1:解决铺多大面积的草坪的问题,就是求花坛的面积。

生2:花坛是圆形的,实际就是求圆形花坛的面积。

教师追问:你知道圆的面积是什么吗?你做的圆形纸板的面积是多少?和同桌比较一下谁做的圆形纸板面积大。

学生比较,发现圆的面积大小。

得出结论:圆所占平面的大小叫作圆的面积。

2.引出课题。

师:我们只能通过比较知道做出的圆形面积有大有小,但究竟面积多大并不知道,通过这节课的学习就会知道了。

板书课题:圆的面积(一)。

[设计意图]　通过学生熟悉的实际情境和动手摸一摸、比一比等,使学生了解圆的面积的含义,同时激发学生学习新知的兴趣。

一、圆的面积的度量

师:圆是封闭的曲线图形,它与正方形、长方形一样都是有面积的,那么什么是圆的面积,怎样计算圆的面积呢?

1.课件出示教材第14页问题一情境图:

提出问题:

观察这幅图,怎样才能知道图中圆形的面积?

2.学生观察主题图,小组共同讨论,探究圆的面积度量方法。

学生小组合作,用合适的方式,如画一画、拼一拼、量一量等方法度量,教师巡视指导。

3.汇报圆的面积度量方法。

方法一:画正多边形。

师:你用什么办法度量的圆形面积?

预设

生:我采用在圆中画正方形的方法。

师:采用这种方法的同学,请将你画出的图形举起来。(学生展示画出的图形,老师观察)圆的面积比正方形面积大还是小呢?为什么?

预设

生:圆的面积比正方形面积大,因为四周还有空白的地方。

师:用正方形可以测量出圆中间部分的面积,但四周还有很多没有测量出来,会有很大的误差,怎么办呢?课件出示下图,学生再次观察,思考解决办法。

预设

生:可以画正八边形。

师:是的,你的办法真好!这样圆周围的部分就会减小,减少误差,请同学们看屏幕。课件出示下图:

师:同学们能不能再想想办法,使这种度量圆的面积方法产生的误差更小一些?

预设

生:再增加正多边形的边数。

师:这种办法确实能够使度量圆的面积更精确些,请看这幅图,圆中是正12边形。课件出

示下图:

师:通过这三幅图的对比,你发现了什么?

预设

生1:正多边形的边数越多,度量圆的面积误差就越小。

生2:如果无限增大正多边形的边数,测量就会更精确。

方法二:圆内画三角形。

学生展示测量方法,并说一说是怎样测量的。

预设

生1:在圆内画同样大小的三角形,使每个三角形的一个顶点与圆心重合。

生2:测量出三角形的底和高,计算出一个三角形的面积,再把所有三角形的面积加起来,大约就是圆的面积。

教师追问:用这种测量方法,测量的圆的面积比实际面积大还是小呢?

学生通过观察会发现:三角形与圆四周有一部分面积没有计算,测量出圆的面积比实际面积要小。

方法三:数方格法。

师:还有其他办法度量圆的面积吗?

预设

生:我采用的是在圆里面画方格的方法。

师:采用这种方法的同学请把画出的图形举起来给大家看。

学生展示画的图,师生共同观察,然后利用课件展示下图:

师:同学们观察并想一想用这种方法能准确地测量出圆的面积大小吗?为什么?

预设

生:不能,因为四周有不是整格的。

师:这种方法能不能十分精确地测量出圆的面积呢?有什么办法更准确呢?

预设

生:可以把小正方形画得小一些,这样四周不完整的部分面积就小些。

4.师生小结。

采用度量的方法只能估计圆的面积的大约数值,无法精确地知道面积大小。圆内正多边形的边数越多,估计的结果越准确。

[设计意图]　本环节主要引导学生根据以往的知识经验利用在圆内画正方形或数方格的方法,掌握度量圆的面积的策略,同时在逐步设疑、解疑及对比中,体会如何使度量更加接近圆的实际面积。

二、探究圆的面积公式的推导

1.回顾旧知、提出疑问。

师:还记得这些图形的面积公式是怎样推导的吗?

学生描述,教师课件演示。

师:对于圆的面积公式的探索,我们是否也可以采用这种方法呢?圆形的面积可能由什么图形面积转化而来?

[设计意图]　创设问题情境,启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。激起学生用旧知探索新知的兴趣,并明确用转化的数学思想方法。

2.探索圆面积公式。

师:拿出我们剪好的图形拼一拼,看看能成为一个什么图形,并想一想拼成图形的每部分分别是原来圆形的哪一部分?

(1)剪一剪,拼一拼。

同学们操作交流,教师巡视指导,并记住哪些学生把圆平均分成了8份、16份或32份,为接下来的问答做准备。

(2)反馈汇报,推导公式。

预设

生:我把一个圆形平均分成了8份,4份为一组,两组拼成的图形接行四边形。

师:你的办法真不错,请同学们看屏幕(PPT课件出示8等分的圆,并做讲解)同学们看一看等分后的每一部分像什么?

预设

生:像一把扇子。

师:这个叫扇形,我们在以后的学习中会学到它。采用这种转化方法的同学请把拼成的图

形举起来给大家看。

学生展示后,引导学生观察拼成的图形中的每部分与原来圆的哪部分相同。

预设

生:平行四边形的高是圆的半径,底是圆形周长的一半。(如果学生发现这两种关系有困难,教师可以适当提示)

学生回答后,教师将课前准备好的学具(平均分成8份的圆,拼成接行四边形的图形)张贴在黑板上,引导学生再次观察,明确平行四边形的高、底和圆形半径、周长的关系。

师:刚才这几位同学把圆形平均分成了8份,还有其他同学把圆分成更多份数的吗?

预设

生1:我把圆形平均分成了16份。

生2:我把圆形平均分成了32份。

师:你们的想法和老师一样,我也把圆平均分成了16份和32份。

教师把准备好的教具拼成平行四边形张贴在黑板上。

师:同学们观察对比这三张拼成的图形,你们有什么感受?

预设

生:把圆平均分成32份,拼成的图形更接行四边形。

师:想一想,如果把圆平均分成更多份,比如64份、128份会怎样?

预设

生:分的份数越多,拼成的图形越接行四边形。

师:无论分成多少份,圆形的面积都没有改变。根据以上的转化思路,你能否得到圆形的面积计算公式呢?并说出你的理由。

生1:因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半,平行四边形的高就是圆形的半径,而平行四边形面积=底×高,那么圆形面积=圆周长÷2×半径。

师:能不能根据圆的周长和半径的关系,继续整理这个公式呢?

预设

生:圆的周长=半径×2×π,周长的一半是半径×π,所以圆的面积=π×半径×半径。

师:用字母怎么表示圆面积公式呢?

预设

生:S=πr2。

师:这是已知圆的半径表示出圆的面积,如果已知圆的直径怎样表示圆的面积呢?

生:圆的半径是直径的一半,所以圆的面积=π×d22。

(3)小结:圆的面积公式是:S=πr2或S=πd22。

[设计意图]　本环节首先引导学生利用学具动手操作、交流,将圆形转化为平行四边形,经历转化的过程,体会到平行四边形与原来圆形的关系,进而推导出圆形面积计算公式。

教材第15页第2题。

【参考答案】　圆内外的正多边形边数越多,越接近圆形,圆形的面积比圆内的正多边形面积大,比圆外正多边形面积小。

师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?

学生反馈汇报。

预设

生:这节课我学会了利用工具或画图度量圆的面积,采用画正多边形的方法时,正多边形边数越多,度量的越准确,采用画方格度量时,画的方格越多,度量越准确。我还学会了圆的面积公式,知道圆的面积公式推导方法。

作业1

教材第15页第3题。

【参考答案】

作业1:3.面积相等　圆的周长的一半等于长方形的长　半径等于长方形的宽

长方形的面积=

长

×

宽

圆的面积　=

周长2×半径,即S圆=C2×r=2πr2×r=πr2,所以S圆=πr2。

圆的面积(一)

圆的面积度量:画正多边形、画小方格

边数越多越接近圆形、方格越小度量越准

圆的面积计算公式:

S=πr2或S=π12d2

本课教学重点是理解圆面积的推导过程。圆面积公式推导过程中隐含着一种重要的“转化”与“极限”数学思想方法。教学时先引导学生探究圆的面积度量方法,使学生体会到度量的基本策略,同时感受到即使用最优的度量方法也无法确切知道圆的面积,从而引发探究圆的面积计算公式必要性的思考。之后在教师的启发引导下,通过学生的动手操作、观察,将圆转化为近似平行四边形,从而推导出圆的面积,培养学生“转化”“以曲代直”的数学思想。

(1)本节课拓展延伸不够,比如在探究圆的面积度量过程中,仅限于教材介绍的两种度量方法,没有给学生机会去探究其他方法,限制了学生的思维。

(2)学生利用学具动手操作的活动安排较少,没有给学生充分的活动时间,为了课堂整体效果,很多活动只有少部分学生操作完成。

(1)注重拓展延伸的设计,以达到锻炼学生思维能力的目的。在探究教材问题的基础上进行类题拓展,举一反三。如:度量圆的面积可以在圆内画三角形,把圆放在方格纸上等。

(2)给学生充分的合作探究的时间,通过组内同学共同操作,让学生自己去发现问题,寻找解决的办法,使学生的思维能动性和创造性得到充分激发,探索能力、分析问题和解决问题的能力得到提高。

利用转化的方法,把圆转化成三角形,推导出圆的面积计算公式。

[名师点拨]　(1)转化演示。

发现:将圆平均分成16个近似的等腰三角形,拼成的近似的三角形的底边长正好是圆周长的14,即14C,三角形的高是圆的半径的4倍,即4r。

(2)公式推导。

圆的面积=三角形的面积=底×高×12=14C×4r×12=14×2πr×4r×12=πr2。

[解答]　圆的面积=半径×半径×圆周率,即S=πr2。

圆周率

约2000年前,我国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法,意思是说圆的周长是它的直径的3倍。

圆的面积教案篇（2）

人教版六年级教科书第十一册第95―96页中的例4和例5及“做一做”和练十四的第6―11题。

教学目的：

1、使学生根据圆的周长，计算圆的面积。

2、使学生认识环形，会计算环形的面积。

3、使学生会应用有关圆的周长和面积的知识解决简单的实际问题。

教具、学具准备：

教师准备几幅画有烟囱、柱子、街心圆形花坛、火锅圆桌和切割刀片的挂图或投影片。学生每人准备白纸、圆规和剪刀

教学过程：

一、复习引入

1、什么是圆的面积？如何计算圆的面积？

2、根据已知条件求圆的面积。（1）r=3分米（2）d=10厘米

3、看画有烟囱、柱子、街心圆形花坛挂图，要想知道这些物体占地多少平方米有哪些办法？

学生各自发表意见后教师指出：圆的周长与直径有关系，所以知道圆的周长也可以求圆的面积。这节课继续学习圆的面积。

二、教学新课

1、教学例4

（1）出示例4，全班读题

（2）师：要求圆的面积需要什么条件？题中告诉了什么条件？这道题应先求什么？

（3）学生看书上的解答过程，并把计算结果填出来。

（4）让学生交流计算结果，并说一说通过这道题的学习有什么体会？

（5）小结：在遇到要计算不能直接量出半径或直径的圆面积时，可以先量出圆的周长来计算它的半径，再求圆的面积。通过今天的学习，在生活中遇到类似的问题，自己能解决了吗？

2、完成第95页的“做一做”中的题目，教师巡回辅导，做完后集体订正。

3、教学例5（让学生做环形的实践操作）

（1）画圆，计算面积。（教师让学生在白纸上画半径是8厘米和6厘米的同心圆，并求出两个圆的面积。）

（2）剪圆，认识环形。（要求学生想办法，不剪破外面的圆，把里面的小圆剪下来。）

（3）展示学生的作品。想想你这个图形是怎样得到的？（从外圆中去掉一个同心圆。）

板书：环形（出示课件：环形）

（4）在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举例。

（出示课件：火锅圆桌和切割刀片投影片）

（5）探索环形面积的计算方法

小组讨论，根据你对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？再把各小组讨论的情况在全班交流，然后出示课件：从大圆里去掉一个同心小圆得到环形的动态过程，最后教师指出：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。

出示课件：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。

（6）学习例5

师：看课本上的解答过程，想想是分几步解答的，每步各求的是什么？

师：你能将这道题列出综合算式解答吗？试试看。

教师巡视，待多数学生列出综合算式后，再设问：这综合算式有简便算法吗？

教师演示简便算法过程：（略）

师；你从这个简便算法里想到了什么？

师；用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。

出示课件：用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。

师：通过刚才对环形的学习，你知道求环形面积的关键应知道什么？

4、完成第96页中的“做一做”题目。（先让学生独立完成，再集体订正。）

三、课堂练习

1、判断

（1）圆的周长越长，圆的面积越大。（）

（2）周长相等的两个圆，面积也一定相等。（）

（3）在圆内剪去一个小圆就成为一个圆环。（）

（4）圆的半径扩大3倍，它的面积也扩大3倍。（）

2、完成练十四中第6―11题。（先让学生独立完成，再集体订正）

3、开放性练习。（课后思考）

在一块长方形铁皮上剪两个同样大小，并且尽可能大的圆，要想求剩下铁皮的面积。只允许测量一次，你认为测量哪里即可算出剩下铁皮的面积。（尽量想出不同的方法）

四、总结

这节课我们学习了什么？你有哪些收获？你还想到什么问题？

（教师指出：一是在不知道圆的半径时，如何求圆的面积？二是如何计算环形的面积？）

板书设计

圆的面积（二）

例4例5

18.84÷3.14÷23.14×152-3.14×102

=6÷2=3.14×（152-102）

=3（米）=3.14×（225-100）

πr2=3.14×32=3.14×125

圆的面积教案篇（3）

2.培养学生动手操作的能力，启发思维，开阔思路;

3.渗透初步的辩证唯物主义思想。

教学重点和难点

圆面积公式的推导方法。

教学过程设计

(一)复习准备

我们已经学习了圆的认识和圆的周长，谁能说说圆周长、直径和半径三者之间的关系?

已知半径，圆周长的一半怎么求?

(出示一个整圆)哪部分是圆的面积?(指名用手指一指。)

这节课我们一起来学习圆的面积怎么计算。

(板书课题：圆的面积)

(二)学习新课

1.我们以前学过的三角形、平行四边形和梯形的面积公式，都是转化成已知学过的图形推导出来的，怎样计算圆的面积呢?我们也要把圆转化成已学过的图形，然后推导出圆面积的计算公式。

决定圆的大小的是什么?(半径)所以，分割圆时要保留这个数据，沿半径把圆分成若干等份。

展示“曲”变“直”的变化图。

2.动手操作学具，推导圆面积公式。

为了研究方便，我们把圆等分成16份。圆周部分近似看作线段，其

用自己的学具(等分成16份的圆)拼摆成一个你熟悉的、学过的平面图形。

思考：

(1)你摆的是什么图形?

(2)所摆的图形面积与圆面积有什么关系?

(3)图形的各部分相当于圆的什么?

(4)你如何推导出圆的面积?

(学生开始动手摆，小组讨论。)

指名发言。(在幻灯前边说边摆。)

①拼出长方形，学生叙述，老师板书：

②还能不能拼出其它图形?

学生可以拼出：

等等……

刚才，我们用不同思路都能推导出圆面积的公式是：S=πr2。这几种思路的共同特点都是将圆转化成已学过的图形，并根据转化后的图形与圆面积的关系推导出面积公式。

例1一个圆的半径是4厘米，它的面积是多少平方厘米?

S=πr2=3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)

答：它的面积是50.24平方厘米。

想一想;求圆面积S应知道什么?如果给d和C，又怎样求圆面积?

(三)巩固反馈

1.求下面各圆的面积。

r=2(单位：分米)d=6(单位：分米)

2.选择题。

用2米长的绳子把小羊拴在草地上的木框上，羊吃到地上的草的最大面积是多少?

(1)3.14×22=12.56(米)

(2)3.14×22=12.56(平方米)

(3)3.14×32=28.26(平方米)

3.思考题：

已知正方形的面积是18平方米，求圆的面积。(如图)

课堂教学设计说明

圆的面积教案篇（4）

评注案例1源自某地高三质检题.案例1以平面向量为载体，考查圆、椭圆及最值、范围等相关知识，同时凸显数形结合、转化与化归等思想，是一道集知识、能力、方法与思想于一体的综合性较强的试题.鉴于此，我校高三备课组决定将案例1作为周末作业题.

2解答过程

3遭遇质疑

周一讲评时，学生陈汜玄提出质疑，认为上述解答过程与结论都存在错误，这让笔者大吃一惊！仔细审视上述整个解答过程与结论，似乎每一步都是严谨、规范的.刚好下课，笔者带着满腹疑惑回到办公室，并将这一“突发事件”立即报告同行，请求大家一起研究.

4错在哪儿

4.1熟知结论

让我们先看以下熟悉的试题（以下简称案例2）：

注意到案例2与案例3中的A，B，表面上看，点A，B是椭圆长轴两个端点，其本质则是点A，B关于原点（椭圆中心）对称，因此我们进一步推广得到（以下简称案例4）：

评注上述案例2、案例3及案例4的证明较为简单，请读者自行推理.案例2、案例3及案例4充分说明这样一个事实：一旦椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于其中心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.

4.2重温教材

对于教学中遇到的问题，尤其是棘手的疑难问题，最先自救的是重温教科书.俗话说得好，“解铃还须系铃人.”教科书是离我们最近、与我们最熟悉、跟我们最密切的规范性文本.

相信大家一定记得人教版教科书（文[1]）第二章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆”中例3（第41页），原题如下（以下简称案例5）：

评注文[1]主编特意将案例5与案例6中的坐标设置相同，意在凸显案例5与案例6是从特殊到一般、从椭圆到双曲线、焦点从x轴到y轴，这既是作为本章总复习的综合考查，又是渗透数形结合、分类讨论等系列数学思想的绝佳时机.同时主编暗藏玄机：案例5求轨迹方程，而案例6则是求轨迹，也就是说，案例6不仅要求出方程（代数），更要指出其轨迹（图形）.

4.3疑点浮现

对照上述案例1与案例2、案例3及案例4，可以猜测命题专家当初就是依据上述案例2、案例3及案例4而命制上述案例1.应该说案例1回归教材，以教材为本，确实是一道难得的好题.审视案例5与案例6，不难发现上述解答就是仿照案例5、案例6的两点坐标而构建坐标系.按理说，上述解答过程中的建立平面直角坐标系也是中规中矩，况且平时都是这样建立坐标系.上述案例1的解答步骤似乎规范、严谨，那问题到底出在哪儿呢？是上述解答错误？还是案例1本身有问题呢？

4.3.1定值的本质到底是什么？

上述案例2、案例3及案例4说明：只要椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于中心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.那反过来，若斜率之积为定值，椭圆能唯一确定吗？这才是问题关键所在，这正是学生质疑的地方.

4.3.2学生质疑的依据是什么？

为何案例5所得到的椭圆是唯一确定，而案例1中的椭圆不是唯一呢？请读者仔细对照上述案例1与案例5中细微差异.对于案例5，主编已经确定点A，B的坐标，而案例1中命题专家并没有确定点A，B的坐标，只是给出线段AB的长度而已.由于我们习惯性地“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴”，并由此而得到点A，B的坐标，即“A（-2，0），B（2，0）.”这样我们人为地将线段AB默认为椭圆的长轴（如图5所示）.

殊不知，上述案例4有力地表明：线段AB不一定必须作为椭圆的长轴，其实只要将线段AB作为椭圆的任意一条中心弦（如图6所示）都可以满足斜率之积为定值.将线段AB默认为椭圆长轴（如图5所示）是最小的椭圆，将线段AB默认为椭圆短轴（如图7所示）是最大的椭圆.当然，不论椭圆多大、多小，只要其斜率之积为确定定值，那么离心率e始终保持不变，这就是“相似椭圆”的由来，这正是学生产生质疑的原因所在，这也正是专家当初命制案例1时所没有考虑到的盲区！图5图6图7说到底，案例2与案例3的逆命题并不成立，换言之，kPA・kPB为定值，此时AB并非就是椭圆的长轴，可能为过椭圆中心任一条弦，更何况，由上述案例6可知其轨迹还不一定就是椭圆，可能为圆或双曲线.

4.3.3“相似椭圆”如何变化？

由上述分析不难得到，尽管斜率之积为定值，但并不能保证椭圆能够唯一确定，而是得到系列“相似椭圆”.那满足条件的“相似椭圆”不断变化时，其|PQ|又是如何变化呢？

其二、上述图8、图9到图10有力地说明前面解答中“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），”是不恰当的，因为这样构建直角坐标系，就等于默认了线段AB只能作为椭圆的长轴，从而只能得到其中最特殊的一种情况，即最小的椭圆，也就是图8.

实践是检验真理的唯一标准！至此，我们完全可以得出这样的结论：备课组给出的解答过程及答案都是错误的，当然也说明命题专家给出的答案也是错误的.遗憾的是，因笔者功底浅薄，至今还有一些疑惑，在此借贵刊平台，向各位同行请教.比如，案例1本身是否正确？如果案例1正确，那么|PQ|的取值范围到底是什么？如果案例1本身存在瑕疵，瑕疵在哪儿？又该如何修复？以后命制此类相关试题时如何避免犯同样的错误？

5研究教材

教材是专家依据《高中数学课程标准》和学生认知结构编写的教学用书，是课程目标和教学内容的具体体现.教材是经过无数次去粗存精与高度浓缩编写而成的，教材是教师教学的蓝本和依据.正因为教材的特殊地位与作用，教材本身就是专家命制试题的依据与源泉.

命题不仅是一件消耗体力、需要耐力的繁重劳动，更是一种面对危机、充满挑战的智慧结晶.命题之所以出现错误，其原因是多方面的，其中最典型、也是最隐蔽的错误就是自以为对教材熟悉.无论是命}专家给出的参考答案还是上述解答过程，其错误根源都是没有吃透教材.比如上述“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴”，这就等于默认“以AB作为长轴的椭圆”，这就是没有吃透教材习题（上述案例5与案例6）而导致！

笔者认为，作为教材配套的教师教学用书（即教参）理应与教材一样严谨、规范.遗憾的是教师教学用书还是有一些瑕疵.比如上述案例6，随m不同取值，其轨迹不仅可以是圆、椭圆和双曲线，而且椭圆的焦点也会变化，既可以在x轴，也可以在y轴.因此笔者认为文[2]再版时，应该更加规范、严谨地表述为：

圆的面积教案篇（5）

前测，就是在教学之前利用不同方法对学生的知识水平进行测试，如掌握学生的学习经验是什么、找到学生的最近发展区等，以便及时调整教学设计。正常情况下，我们都会采用以下几种前测的方法：（1）测试。课前出一张测试卷，了解学生相关的知识情况，以便在教学时可以及时调整教学设计，进行有针对性的教学。（2）访谈。课前随机走进学生当中，与学生交流相关情况，从访谈中了解学生的真实水平，以便在教学时选择最为有效的教学策略。（3）测试与访谈相结合。这种方法是在学生测试之后，针对学生在测试中出现的情况，通过访谈来了解产生的原因，这样可以更加具体、清晰地了解学生的学习起点。（4）作业痕迹分析。作业是在一种自然、自主的情况下发生的学习行为，在很大程度上反映出学生真实的学习水平。从学生的作业中，可以看出哪些学生已经掌握了知识、哪些是学生还没有掌握的内容等，学生错误的原因也可以通过分析作业来获取信息。

二、前测案例呈现及分析

下面，笔者就结合作业痕迹分析法来谈谈如何有效把握学生的学习起点。请看下面几个学生的作业错例：

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通过对上述四个作业错例进行分析，可以看出学生对圆锥的体积公式掌握不牢，或者说学生还没有更清晰地理解圆锥体积的计算公式。如第一个错例，学生忘记圆锥的体积计算是用底面积来乘的，而不是用半径来乘的;第二个错例，学生忘记了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，这样求出来的不是圆锥的体积，而是与它等底等高的圆柱体积;第三个错例，学生忘记了圆锥的体积计算公式是半径的平方，而不是直径乘以直径，所以错误产生的原因是没有把直径转化成半径来解答;第四个错例，直接用圆锥的半径平方来乘以高，忘记乘以3.14先求出圆锥的底面积了。通过学生所列的算式，可以看出学生已经基本掌握了圆的相关知识，但是由于粗心，计算圆锥体积时忘记乘以3.14了。

三、根据前测信息设计教案及点评

教学目标：

1.进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能正确熟练地运用公式计算圆锥的体积。

2.进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和动手操作的能力。

3.进一步熟悉圆锥的体积计算。

教学过程：

1.回顾旧知。

（1）学生作业痕迹分析。

（2）今天我们就一起来学习圆锥的体积练习。

2.实际应用。

判断：图中圆锥与哪个圆柱的体积相等？

■

（1）先让学生自己分析，再小组交流。

（2）全班交流，得出结论。

3.拓展提升。

（1）能将直角三角形转成圆锥吗？如果能，请你算算，它的体积是多少？可以闭上眼睛想一想，也可以在纸上画一画。

（2）如下图，有一根圆柱体的木料，底面积为6平方分米，长20分米，沿着木料的中点，把头部加工成一个圆锥。已知削去部分的体积是40立方分米。求加工后木料的体积是多少？

■

4.全课总结。

师：通过今天的学习，你有什么收获？

……

通过前测，发现学生对圆锥的体积公式记得不牢，没有厘清圆锥与圆柱体积计算方法之间的区别和联系，计算时出现丢三落四等现象，在复杂的问题中不能细心、细致地分析数量之间的关系。所以，上述教案完全是根据对学生前测之后所获取的信息进行设计的。上述教学中，回顾旧知时简要地与学生一起分析作业错误的原因，让学生意识到自己的错误，使学生形成要在本节课努力听讲、认真学习的决心与信心。接着，在实际应用环节中，让学生分析圆锥与哪个圆柱的体积相等。这一环节的设计，既来源于学生已经学习过的圆锥体积计算公式，又高于圆锥体积计算公式的应用。学生要想解答这一道题目，就必须牢记圆锥的体积计算公式。这样教学，让学生从更特别的思维角度来厘清圆柱与圆锥体积之间的关系，强化了圆锥体积一定是与它等底等高圆柱体积的三分之一，加深了学生对圆锥体积公式的理解与掌握，为学生能够熟练运用这一公式来解答数学问题奠定了基础。拓展提升环节中的两道题可以促使学生从更广阔的背景出发，加强对圆锥体积的认识。通过这一节课的练习，使学生能够灵活运用圆锥体积计算公式解决生活中的实际问题。

四、教学反思

通过上述前测分析与依据前测设计的教案，笔者认为，可以通过前测完成以下几个方面的任务。

1.明确学生学习起点，恰当安排教学内容。

通过前测，可以知道学生的学习起点是什么，这样教学内容的难易程度就要根据学生的学习起点来安排，不能过难，也不能没有思维含量。如上述案例中，学生的学习起点就是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能灵活运用圆锥体积计算公式解决问题，一遇到复杂的问题时就不知道如何解决了。所以设计教案时，我从学生的这一学习起点出发，让学生重新梳理圆柱与圆锥体积之间的关系，这样就可以从一个新的角度来引导学生理解所学知识，有效地激发了学生探究的积极性。

2.明确学生知识缺陷，灵活调整教学内容。

前测的一个重要功能就是了解学生对所学知识的掌握情况，这样教师就可以根据前测所获取的信息，灵活调整教学内容，有针对性地为学生查漏补缺。如上述教学通过前测，了解学生产生错误的原因是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能够灵活运用圆锥体积计算公式来解答相关的数学问题。但是从前测来看，学生对圆的面积计算公式的运用还是比较到位的。就好比最后一道题，学生可以通过周长来求一堆沙子的底面周长，但是对圆锥体积的计算公式却会出现不同的错误，这就是学生知识上的缺陷。所以，在设计教学时，教师要灵活调整教学内容，让学生从不同的角度灵活运用圆锥体积计算公式解决不同的数学问题。

3.明确前测内容要求，有效组织前测工作。

圆的面积教案篇（6）

一、缺乏教师引导,思维方向无序

在许多示范课堂上,经常可以见到教师这样鼓励:“你喜欢用什么方式想就用什么方式想。”一些教师认为学生回答的问题越多就越生动。实践证明,自主学习更需要教师发挥教育智慧,当教学实际脱离预定轨道时,教师要恰当地把学生引导到课堂的焦点上,把关注点提升到思想领悟,智慧开启的点上来,而不是让学生随波逐流,比如:一位教师在教学“长方形的面积”时,当学生比较出大小不同的两个长方形的面积后,教师又出示了近似的长方形,让学生比较它们面积的大小,这时一位学生说:“我知道只要用长乘宽算出它们的面积就可以比较了。”师:“既然同学们都知道了长方形面积的计算方法,老师就不讲了,下面老师来考考你们,敢接受挑战吗?”生:(异口同声)“敢!”于是课堂教学转入了练习巩固的环节。

对策是:教育以生为本,更要用心引导。

上面的案例只是在对长方形面积猜想的基础上就开始练习活动,而课堂的精华自主活动验证已经缺失了。我觉得可以这样引导:

当学生说出长方形面积公式时,可以继续问:“那么长方形面积与什么有关呢?”生:“长与宽”。师问:“长方形面积与长与宽有关,你是怎么验证的呢?”这时教师就向学生说明:“可以利用课前发的若干1平方厘米摆一摆,看一看,想一想,说一说。”教师完全可以在摆完后继续问:为什么长方形面积只需长乘宽就可以了?通过追问,加深学生对长方形面积的理解。

缺乏引导成问题的原因,在于广大教师对“自主探究学习”认识上的偏激,在传统“教师中心论”的封闭教学受到人们抨击的同时,人们好像一下子又走向另一极端――“学生中心”。这不能不引起我们的进一步思考:自主探究学习就一定要完全由学生自己去做吗?我们在教学活动中,要提高探究活动的有效性,只有教师有针对性地引导,学生才能真正自主参与、主动发现。

二、缺乏探究价值,思维深度不够

如一位教师在教学《圆锥的体积》时,让学生拿出等底等高的圆柱和圆锥容器进行实验,“探索”圆锥的体积公式。教师拿出一个圆柱、一个圆锥,以及黄沙,问圆柱与圆锥有什么样的关系。学生回答:“等底等高。”“那么圆锥的体积公式是怎样的呢?请同学们做实验来验证。”而后,学生开始利用圆柱和圆锥以及黄沙开始做实验,在教师的引导下,当然答案也很容易得出。

对策是:设计有效开放,凸显活动价值。

案例中学生的操作活动只是依照教师的提供的工具机械操作,他们并无选择,仅仅是被动执行教师的指令而已。这样的操作活动,缺少探索价值,阻碍学生的思维,扼杀学生的想象力。要想开放学生的思维,首先教师的思维要开放,这就体现在教学设计之中。

如:教师可准备大量的实验材料:各种容器、填充物等。

师:“根据你已学过的知识设想你能大胆猜想圆锥的体积公式吗?”

生:“圆锥的体积等于1/3底面积乘高。(师追问:能解释一下吗?)圆锥的体积等于圆柱体积的1/3。”

这时教师要求学生验证,在操作的过程中,学生发现圆锥体积并不是圆柱的1/3,教师再引导什么情况下才是这样,学生再通过实验发现两者需等底等高。这时教师再一次让学生推导圆锥公式就有了更深刻的理解。

此案例的设计首先体现在开放性上,教师提供了大量选择材料,所以学生在思考圆锥体积公式就不得不开放自己的思维,去分析,去判断。而这一过程并不是一帆风顺的过程,正是这些失败促使学生进一步思考,或者合作,在强烈的探究欲望之下,直至寻到答案。而这一种答案的得出体现了数学思想之一的精髓,即猜想、选择、验证、成功,而自主活动的探究价值也就体现出来了。

三、缺乏创造性,思维后继乏力

有的教师在上数学课时,纯粹为了自主活动而活动。比如:一位教师在教土豆体积的计算时,学生说可以把土豆切成块,然后计算。教师并未否定,而只是暗示学生用现有的量杯或长方体容器和水。学生见状,配合老师上课的本事也挺大,指出把水倒入容器中,再放入土豆,求出上升的水的体积即可。

对策是:鼓励大胆创新,收获成功体验。

如此简单教法,怎能提升学生的思维,又怎能让学生发挥其创造性?所以我觉得可以这样设计:

圆的面积教案篇（7）

不同学习起点对学生的发展是不同的。为了更好地适应现代化教育，必须关注学生学习的起点。

现在，小学数学新教材各部分内容的跨度不尽相同。特别在跨度比较大的情况下，学生在已学知识到下一个新知识之间这个过程中，或许积累了很多相关生活经验。如人教版小学数学平面图形“圆”这部分知识，教材在一年级出现认识圆形以后，就一直到六年级上册才出现“圆的认识”。在这个长时间的过程中，六年级的学生已经接触了很多圆形物体，并积累了很多生活经验。所以在教学中，除了要关注教材的逻辑起点外，还要特别关注学生经验的现实起点。下面就以六年级上册《圆的认识》这节课为例谈谈如何关注学生学习的起点？

一、关注兴趣的起点

一节好课，课伊始就要让学生有获取知识的浓厚兴趣。《圆的认识》这节课在“创设情境，导入课题”环节该如何设置合适六年级学生的学习起点呢？对比以下两种方案：

【方案一】 同学们，我国有很多传统的节日，知道《嫦娥奔月》是指什么节吗？（中秋节）是的，中秋节也叫团圆节。中国人在表达美好祝愿时，常喜欢用上表示“团圆”的成语。能说说这样的成语吗？（花好月圆、合家团圆、团团圆圆……）想一想，这些都和数学中的什么图形有关？（圆形）是的，这节课我们就一起走进“圆”的美好世界。（板书：圆的认识）

【方案二】 同学们，玩过套圈圈的游戏吗？（玩过）请看：（课件出示）

在套圈游戏中哪种方式更公平？为什么？

（圆形，因为每个人到圆中心的距离相等）。大家同意吗？看来，“圆”有许多奥秘，这节课我们就一起来认识圆。（板书课题：圆的认识 ）

对于小学六年级的学生来说，如果以【方案一】从中秋节圆形的月亮入手作为学习起点，从教材编排的逻辑起点来看是不会错，但是从六年级学生平凡接触圆形物体，早已积累了丰富的现实生活经验来看，这样的学习起点就明显偏低了。如果以【方案二】从“对比套圈游戏中哪种方式更公平？为什么？”入手作为学习起点，显然更加适合六年级学生。因为它营造了富有一定挑战性的思考氛围，能让学生立马获取对学习圆知识的兴趣。

二、关注技能的起点

教学《圆的认识》这节课中，在指导学生用圆规画圆时，有人认为必须在课堂上先让学生利用各种办法尝试画圆，再对比各种画圆的方法，并优化出用圆规画圆的优势。其实，六年级学生早已懂得以上各种画圆的方法，都有画圆的经历，积累了不少画圆的技能经验。

如果采用先尝试各种画圆，显然没有站在学生已有画圆经验的基础上作为学习起点。本人认为：只要让学生先交流一下生活中有哪些画圆的方法，再让学生想一想“如果要你画一个指定大小的圆，要选用哪种方法会更合适呢？”学生都已知道很多画圆方法都有局限性，只有用圆规是最有准确性又具有灵活性的。那么老师就顺理成章地说：“那大家对圆规了解多少呢？”请看：这是一把圆规，紧接认识圆规。这样安排学生学习的起点，学生能产生认识圆规的强烈欲望。

三、关注阅读的起点

六年级学生具有一定阅读、理解数学的能力，可以做到独立精读教材，并学会逐句逐词逐字的推敲理解，以达到深度理解的境界。《圆的认识》这节课在指导阅读圆名称环节中设计如下：

现在请同学们打开书本，精读58页第一段。边读边思考：你是怎么理解圆的各部分名称？

1. 生独立精读

2. 交流反馈

预设（1）： 针尖所在的点叫作圆心，一般用字母O表示。

预设（2）：连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，一般用字母r表示。

注意：圆规两脚之间的距离就是半径；连接圆心到圆上任意一点，不能到圆内或圆外一点；是线段不是射线也不是直线。

预设（3）：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。一般用字母d表示。

注意：要通过圆心；两端都要在圆上，不能只有一端在圆上或两端都不在圆上。

这一环节如果不考虑六年级学生的阅读理解能力，还是靠老师一味地讲解，学生学习的兴趣一定不浓厚。所以在此环节，我要求精读并思考你怎么理解各个部分名称的含义？你将提醒大家注意什么？这样的学习起点明显是在学生已有阅读理解能力的基础上进行的。

四、关注学法的起点

六年级学生掌握了一定的学习能力，已积累了一定的学法。所以在探究知识时，如果只停留在知识层面可能学习起点就会偏低。对比《圆的认识》在认识“圆的特征”这一环节的设计：

【方案一】 1. 请同学们沿着这个圆的直径折一折，画一画，量一量，你发现了什么？2. 把你的发现由学习小组长把磁条贴在对应位置上。

探索“圆的特征”记录单。

【方案二】 同学们，这些大大小小的圆又有哪些特征呢？现在我们一起来探究。（出示课件）请一位同学读一遍：把圆沿着直径折一折、画一画、量一量，会有什么发现？

合作要求：以学习小组为单位合作探究；每位同学的桌上都有一张这样的记录单（出示黑板上的记录单），及时把你们的发现填写在记录单上；小组长还要把小组的发现一条条写在软白板条上，比比哪一组同学发现的最快又最多，老师要选一些好的贴到黑板上。

【方案一】的教学起点是以“圆、半径、直径”分类，这种方法侧重从知识层面上进行探究。【方案二】的教学起点是以“折一折、画一画、量一量”分类，这种方法侧重学法。【方案二】会引起学生争议，如“同一圆内，所有半径都相等，所有直径都相等”这一特征采用“折一折”可以发现到，用“量一量”也可以发现到。学生争议后再对比可以发现：虽然两种方法都可以，但采用“量一量”比“折一折”是更加精确的。【方案二】学生通过争议，一方面加强了对圆特征的理解，另一方面感受到探究数学必须要有精确的意识，加强了学法的运用。所以，对于六年级学生来说，采用【方案二】从学法上进行探究更加适合。

【参考文献】

圆的面积教案篇（8）

数学课堂应该是学生主动探究，教师作为一个引导者的角色来进行的，为了充分调动学生的积极性让学生自己主动学习，使教学效果达到事半功倍的效果。就要给课堂教学做一个合理的设计，也就是所谓的导入教学。

一、导入目的

课堂导入的目的就是为以后的学习做好铺垫，其实也就是利用学生现有的知识，让学生把知识和背景联系起来，补充新的背景知识，以激发学生对学习的探索。同时让学生总结已学的数学知识及理论等。

二、课堂导入方法

2.1复习导入，复习导入法也就是温习已经学习过的知识，用已经解决的旧知识导入到新的课程里面来，用这种方法导入，能够有效强化学生记住已学的旧知识，降低了对新知识的学习难度，让学生快速的掌握新知识。

2.2故事导入法，教师可通过讲一些和课堂内容有关的故事，比如：数学典故、数学家的故事等。

2.3演示导入法，演示导入法是教师通过一定的教学媒介导入，比如：挂图、多媒体等引导学生观察并激发学生学习的积极性和主动性。

2.4设置疑问导入法，教师可通过设置疑问引入到课题上，让学生在解决疑问的过程中，引起学生的思考，产生新的课题。

2.5实践法，教师通过让学生亲自动手做实验，从而解决某一个问题。从这个问题上引导到新课题上。

2.6类比导入法，类比导入法就是通过“旧知识”提出一个类似的“新问题”导入新课。这个方法可以有效降低学生学习新课题的难题，还能在学习新课题的同时巩固旧知识。

2.7情境导入法，就是教师通过设置一个和新课题有关的情境导入到新课题。

2.8直接导入法，直接导入法也叫点题导入法，是教师用简洁的语言直接点出课题，让学生直接进入学习状态。

三、案例分析

3.1复习导入法案例分析，案例：关于“对数的函数性质”

教师提问：“我们上节课学习了指数函数的图像和性质，那现在请同学们回忆一下对于函数的性质我们是从哪些方面来研究的？”学生作答。教师做一个总结：我们是从图像上观察到它的定义域、值域等来定义函数性质的，同样，对数函数性质是不是也一样能用这个方法来定义？

教师：好，那我们现在以同样的方法来研究一下对数函数的性质。

评析：教师通过用这种方式，创造出新知识。使得学生巩固所学的旧知识，又能掌握新知识。

3.2故事导入案例分析，案例：“等比数列的前n项和”用故事导入

在古代，有一位象棋大师，国王很赏识他的棋艺，就让其在国库中任意挑选宝物……。教师适时的提出问题，请同学作答。

评析：通过这样一个故事激发学生的求知欲望，从而引出求等比数列前n项和的公式。

3.3演示导入案例分析，案例：求“锥体体积”的导入

教师拿出一个事先准备好的圆锥形容器和圆柱形容器，并让学生观察容器的底和高是相同的，在同底同高的条件下，同时给这两个容器注入水，发现圆柱形容器要三杯才能满，而圆锥形容器只要一杯就满了，所以圆柱体积是圆锥体积的三倍。教师在这个时候向学生提出问题。

评析：这个方法是从实验过渡到推理上来。让学生自己发现问题并解决问题，以提高学生观察和发现问题的能力。

3.4设置疑问导入案例分析，案例分析：“极坐标”

教师设置问题让学生自己作答。

评析：这个方法不仅要注意教材的关键，主要是难点设疑。这个疑问要设置巧妙，不能太难，又不能太容易，太难了会打消学生学习的积极性。太容易了吸引不了学生的兴趣。

3.5实践法，案例：《椭圆及其标准方程》

教师在课前就把已准备好的圆形纸发给学生，人手一张，让学生进行下面的操作：

（1）在圆周上标记12个点分别为B1、B2、……B12等分圆周。

（2）在圆内取任何一点为圆心的点A。

（3）使圆周上的点B1能和点A折叠。并使圆周其余点都分别与A折叠，得到12条折痕。

（4）拆开这个圆，发现折痕没有覆盖到的地方刚好是椭圆的形状。

评析：实践法是通过学生自己动手操作的，增加了学生对新鲜事物的好奇和新鲜感，使同学充满好奇心，让同学对实践发现问题，并思考问题，解决问题。

3.6类比导入案例分析，案例：利用内接球三棱锥体积计算公式

教师：“我们都知道三角形的面积公式S=1/2底*高，三棱锥的体积是V=1/3底面积*高。你们能根据上述的这些方法探究出三棱锥体积与内接球半径的关系吗？”学生通过思考给出答案，教师根据学生给的答案总结出：“三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥四个面积和乘积的三分之一。

评析：运用类比方法要注意两种知识间的关系，并用恰当的与之贴切的类比，且这种类比要有可比性，让学生异中求同，同中求异。

3.7情境导入案例分析，案例：对数概念

对数概念是一个十分抽象的概念，老师可以手拿一张纸一次一次对折，这张纸会越来越厚，也可以让学生自己实验一次，自己对折，看纸张的厚度到底有多厚。

评析：这个方法的导入，是需要老师贴近现实生活的情境，或者是学生熟悉的，如果学生对情境不熟悉，那这个方法显然就是无效的。

3.8直接导入案例分析，案例：任意角的三角函数的定义

借助曾经学过的正弦函数、余弦函数等直接对学生提出问题。

圆的面积教案篇（9）

数学教学很大程度是帮助学生掌握数的运算规律，而对规律的理解和正确运用，很大程度上取决于对规律的认识。过去，我习惯于师讲生听。按照事先设计的教案，有条不紊地向学生传授知识，结果并不如意。后来，我改变了以往的教法，采取了感知，讨论和归纳规律的方法，取得了很大的效果，后进生大面积减少，尖子生更强，具体操作如下。

一、感知数的本来面目

1.课堂感知

课堂再现事物，引导学生感知数的本来面目，是一种比较好的方法。例如，对各种体积的计算，我引导学生自己制作物体，教师也相应制作一些体积较大的模型（增大可视度）。师引导生读书，找出该物体的长、宽、高，并对照自己所做的物体说出来。教师还可以引导生思考一些深层次问题，如，长方体或正方体它们各有几个顶点、几个面、几条棱以及点线面的关系等。以圆锥体体积计算来说，当学生知道圆柱体的体积时，师又提出如何计算圆锥体的体积呢？师出示圆锥体模型向学生展示，再出示一个与圆锥体等底等高的圆柱体，向圆锥体里倒满沙子，学生不难理解沙子的体积应该和圆锥体的体积相等，再把圆锥体里的沙子倒入圆柱体里，学生很容易得出：一个圆锥体的体积是与它等底、等高的圆柱体体积的三分之一。对长方体、正方体的体积都可以采取这种方法。虽然教师、学生在制作模型方面麻烦一些，但学生对数的运算规律有亲身的感知，认识也深刻得多。

2.课外生活的感知

课外生活感知数的例子很多，但有一个前提，即大多数学生或多或少接触过这类现象，师在课堂提出这类问题，才能引起学生的共鸣。这类问题要教师细心观察、精心设计，一样能取得很好的效果。

案例一：根据我们这里很多家长骑电动三轮车接送学生，引导学生思考行程问题。某一学生上学和回家的路程是一定的，他爷爷骑电动三轮车的速度是5米/秒和6米/秒，你估计一下他家到学校的距离，你计算一下，他爷爷分别以5米/秒和6米/秒速度骑车回家所需要的时间。如果他爷爷以5米/秒的速度骑车回家，骑完一半路程，遇上堵车，停车2分钟，剩下路程应该以什么速度骑车，才能保证按时回家？

案例二：根据我们这里绝大多数人家种棉花，引导学生思考百分数问题。某人家出售棉花400千克，一级花占75%，每100千克价格是500元，剩下为二级棉花，每100千克价格是420元，如果不分级出售，每100千克价格是440元。那么分级比不分级多收入多少元？

案例三：因为种棉花要经常喷洒农药，可以引导学生思考百分比浓度问题。棉花喷洒农药有的是2000倍，有的是3000倍和4000倍，现以每桶水重为20千克，所喷洒农药为2000倍，求这桶农药的百分比浓度是多少？（注：2000倍是指水是农药的倍数）

二、讨论数的运算规律

感知数的本来面目，只是一个较浅的层次，理解和掌握数的运算规律，才是知识的本。

过去，都是师说生听，有时师并不了解生的认识误区，很难说到点子上。充分让学生通过讨论发表自己的看法。其一，学生能够通过讨论，相互纠正，认识误区。其二，师能够发现他们在认识上存在较为普遍的误区，给予及时的纠正。

案例一：圆柱体表面积计算，当师把圆柱体的侧面揭下来后，提问：“圆柱体的侧面积实际上是什么面积？又如何计算？请大家发表自己的意见。”有生说：“就是一个长方形面积。”师说：“说得很对，有没有不同意见？”有不少学生感到茫然不理解。师提示学生用纸把你自己手中的圆柱体侧面遮起来，再打开看看。同桌之间可以互相帮助，不理解的学生感到恍然大悟。师又如何计算圆柱体的侧面积呢？为了帮助学生理解，师板书圆柱体侧面积。

课堂上有的学生已明白，就是圆周长乘以圆柱体的高，但仍有许多学生不理解。师请不理解的学生说出自己的困惑，大家再讨论。师为了帮助这部分不理解的学生，可把实验再做一次，予以点拨。不但克服了少数学生理解困难，而且使这类认识困难的学生都解决了问题。

案例二：百分比浓度计算问题。以往学生习惯于计算百分比浓度，用溶质除以溶剂，这一次上课，师准备溶质、溶剂，并把一部分溶质倒入一部分溶剂里，制成溶液。

师要求学生读课本，讨论溶质、溶剂和溶液的概念，分小组说出老师所做实验，哪个是溶质，哪个是溶剂、溶液。由于学生相互讨论，少数学生不明确的问题得到及时纠正，但也有个别学生相互争论不休。教师请他们把自己的想法说出来，再对照课本给溶质、溶剂和溶液所下的定义，及时解决了他们认识的误区。教师再引导学生读课本百分比浓度计算公式，并板书。师进一步点拨该计算公式的含义与计算过程中的注意事项。为了加深学生对该公式的理解与掌握，除了师生互动、合作学习，探究课本上例题解答方法之外，还推出一些典型例题，请学生自行计算，并请做得好的学生说出自己的理由。

例题：有10克盐溶于250克水中，求该盐水百分比浓度是多少？现有500克水，要配成和前面相同浓度的盐水，需多少克盐？课堂上大部分学生对前面问号都能做对，而对后面问号做对的则少得多。教师安排请做得不对的学生说出自己的想法，也请做得对的学生说出自己的理由。经过讨论，及时解决了学习上的困难。

三、总结规律

和学生一起归纳数学计算方法和过程的规律，对提高学生的计算速度和寻找正确的计算方法是有很大帮助的，当然也提高了他们的能力。

案例一：计算圆锥体体积。首先要识别哪些是圆锥体。师先请学生思考生活中有哪些是圆锥体，生可以举出各种圆锥体，如，堆起的沙子、尖帽子等。当然有些举出的不是圆锥体，师可以和学生一起分析符合圆锥体的一些条件，得出正确的圆锥体形状。要计算圆锥体的体积，就要想办法计算它的底面积和高，再应用公式，可得出圆锥体的体积。

圆的面积教案篇（10）

初中数学教材中的例（习）题，在解题的思路和方法上，具有典型性和代表性，在由知识转化为能力上，又具有示范性和启发性，因此，在教学中不应只满足于得到正确解答，而应在不超出教纲要求的情况下，不失时机地对这些题目加以挖掘和延伸，加深学生对问题的理解，以打破学生思维的局限性，有助于培养学生探究创新的能力。

一、利用一题多解，改变学生思维的单一性

对一道典型题目，仅局限于会做是远远不够的，这样做对学科尖子的培养也是非常不利的，而应引导学生从多角度，多途径去分析、思考，以培养学生创新思维能力。

例1 二次函数图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0）且函数有最小值为-1，求二次函数的解析式。

分析：此题是考查用待定系数法求函数的解析式问题，可根据题目已知条件中不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解。

解法一：由图象与x轴交于A（1，0）和B（3，0），可得抛物线的对称轴为直线x==2，由此可知顶点坐标为（2，-1），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（1，0）、B（3，0）和顶点（2，-1）分别代入，得

解得

抛物线的解析式为y=x2-4x+3

解法二：设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）（a≠0），由抛物线的对称性可得对称轴为直线X=2，

顶点坐标为（2，-1），

把顶点（2，-1）代入，得-1=a（2-1）（2-3），解得a=1

抛物线的解析式为y=（x-1）（x-3），即y=x2-4x+3

解法三：由图象与X轴交于A（1，0）和B（3，0），由抛物线的对称性可得对称轴为直线x=2，

顶点坐标为（2，-1）

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把A（1，0）代入，得0=a（1-2）2-1，

解得a=1

抛物线的解析为y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3

解法四：图象过A（1，0）和B（3，0），可设解析式为y=a（x-1）（x-3）=ax2-4ax+3a （a≠0），

函数有最小值为-1

=-1，解得a=1

抛物线的解析式为y=x2-4x+3

说明：解法一是教纲所要求掌握的一般做法，但解方程组较慢且容易出错，而解法二、解法三、解法四则抓住了问题的本质，拓宽了学生思维，且解法简捷。

二、利用一题多变，延伸学生思路

对一道题，有时可着眼于原题型中所特有的基本点，侧重于解题的思路方法，知识的纵横联系，图形的运动组合方式等，适当改变题设、结论或图形，可使学生全方位、多角度地了解知识内涵，对问题有更深层次的理解，本文现以题设不变，延伸结论为例分析一下这个问题。

例2 如图1，圆内接三角形ABC中，AB=AC，弦AE与弦BC交于点D。

求证：ABD∽AEB。

证明思路：由题设易得∠ABC=∠C=∠E，又知∠BAE为两个三角形的公共角，从而不难推证ABD∽AEB。

本题在题设不变的前提下，可对其结论作适当延伸，延伸方案如下：

方案1，求证：∠ADB=∠ABE，

方案2，求证：AB是AD和AE的比例中项。

方案3，求证：BD2：BE2=AD：AE。

说明：方案1、方案2只比原题型证两个三角形相似后再多一步，方案1多它们的对应角相等，而方案2则多它们的对应边成比例，得到比例中项关系；方案3则是由它们的对应边成比例的关系式

及AB2=AD・AE得，

从而得出结论。

三、抓住问题本质，挖掘解题规律

思维是能力的核心，应变是技巧的法宝，我们对教材中公式、定理的研究使用是比较多的，但对课本例题结论的巧用，在教学中也必须引起我们注意，现就以求圆环面积为例谈一下这个问题。

例3 如图2，已知正三角形的边长为a，求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积。

解：设大、小圆半径分别是R、r，面积为S1、S2，则圆环面积S=S1-S2=πR2-πr2=π（R2-r2）=π（）2 =a2

圆环面积一般都要知道两圆半径才能求出，但通过对本例的学习，应该向学生传达这样的一个信息，只要我们能知道这样一条线段的长：它是圆环中大圆的弦、小圆的切线，就能把圆环面积求出。这种规律性的，不管图形怎样变动，我们都能很快地求出圆环面积，如：

题1如图3，已知两个同心圆，AB是大圆的弦、小圆的切线，且AB=10cm，则圆环面积是____。

题2如图4已知两个同心圆，点A在大圆上，AC为小圆的割线，交小圆于B、C两点，若AB・AC=8，求圆环面积。

说明：（1）题可直接运用例3结论求出圆环面积

S=・AB2=×102=25π（cm2）

（2）题2需过点A作小圆的切线AD交大圆于E，由切割线定理得AD2=AB・AC=8，同样可求出圆环面积：

S=・AE2=（2AD）2=π・AD2=8π 。

四、巧设题目，拓展学生逆向思维

数学的核心是问题，善于解题的关键在于灵活运用“执因寻果”和“由果索因”的思维方法，注意正向思维和逆向思维的结合。解题过程中，若正面解题（即平时从左到右的习惯思维方式）有困难或无法舒展思维，则转向逆面（即从右到左）或倒过来思考，这就是逆向思维。

如：已知三个方程（1）x2+4ax+3-4a=0，（2）x2+（a-1）x+a2=0，（3）x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。分析：本题如果从反面考虑，方程全无实数根，则易解决，由1

因此，在教学中，通过引导学生正正难则反的思维方式去思考解答问题，常常收到事半功倍的解题效果。

五、巧设探究问题，拓宽学生思维的创造性

设疑是培养学生独立探究问题能力的突破口。鼓励学生发现问题，提出问题，引导学生寻找解决问题的途径与方法，有效地激发学生的学习兴趣。如在讲授“直角三角形全等的判定定理”时，我一开始就向学生提出了问题：“在我们学完了全等三角形判定‘SSS’定理后，课本曾证明过：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形，不一定全等（即SSA命题不成立），那么，SSA是否有全等的可能呢？在什么条件下‘SSA’命题才成立？”让学生带着问题作图探究。通过动手、动脑，大多数学生发现了当此角为直角时，两三角形全等，因为所画出的直角三角形是唯一确定的，于是得到了“HL”公理。