等腰三角形的性质篇（1）

1、等腰直角三角形的性质：

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为

2、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

（来源：文章屋网 ）

等腰三角形的性质篇（2）

张昆（《数学教学论》的教师）老师出示的问题：请同学们设计“等腰三角形两底角相等”这个知识点的教学.半小时后，请两位同学作15分钟的汇报（下面是模拟课堂，其中，我们选择了两位设想为“教师”的卓越师范生的教学设计与实施的过程，其中的“学生”为课堂现场中的其他“卓越师范生”）.

（1）陈帅（卓越师范生之一）的教学设计及其实施汇报如下：

师：大家通过等腰三角形的定义，知道等腰三角形中有两条边相等.同学们看，这里有一个在小学学习过的矩形BCDE（其中BE>BC），请完成下面的任务：以B、C为两个顶点（如图2），第三点在这个矩形的边DE上，构造一个等腰三角形.

课堂活动记录：有的学生用铅笔尖在长方形的边DE上不断地试探，有的学生在思考.总之，他们都紧张地活动了起来.

生1：取DE的中点A，连接AB，AC，所得到的ABC（如图3）就是一个等腰三角形.

师：很好！你是如何知道ABC为等腰三角形的呢？为什么要取DE的中点A呢？

生2：因为要得到等腰三角形只需使AB=AC，而当且仅当A为DE的中点时有AE=AD，又由矩形的性质（小学已经学习过，学情分析提供），知BE=CD，∠D=∠E=90°，则由三角形全等的判定（“SAS”）公理，可知ABE≌ACD.则可知AB=AC，即ABC是等腰三角形.

师：如此，我们知道了ABC是等腰三角形.那么，请大家思考，在图3中，∠1与∠2有什么关系呢？

生3：∠1与∠2应该相等.

师：为什么？

生4：上面我们知道ABE≌ACD.在图4中由三角形全等的性质可知∠3=∠4，矩形中有∠EBC=∠DCB=90°，由“等角的余角相等”这一性质，知∠1=∠2，即等腰三角形两底角相等.

师：非常好！以上的探究过程就是我们今天所要学习的内容，等腰三角形的性质“等腰三角形两底角相等”，简称“等边对等角”.

张昆老师发问：请注意，对陈帅的教学设计及其实施过程大家作何评价？哪些地方是令人满意的，还有哪些地方不尽人意，需要改进呢？

（2）孙培磊（卓越师范生之二）的教学设计及其实施汇报如下：

师：陈帅所提供的教学设计与教学实施过程，让我们发现了“等腰三角形两底角相等”这一性质的知识.大家有没有认识到在证明∠1=∠2的过程中是借助了矩形的性质来达到发现证明思路这一目的的.但是，在实际证明的过程中，我们并不容易构思出如此的矩形来辅助证明思路的发现.那么，应该如何直接在等腰三角形中证明两底角相等呢？

师：也就是说，在图5中，根据已知条件AB=AC，证明等腰ABC中两底角相等，即∠B=∠C.

生5：我们可以考虑利用三角形全等来证明.

生6：想要用这种知识就必须有两个三角形，我想通过添加辅助线把这个ABC分割成两个全等的三角形.

师：很好，添加辅助线有很多不同的方法，下面请同学们讨论如何添加辅助线.

课堂活动记录：经过激烈的讨论之后，各小组同学都用铅笔画出了各自的讨论结果.

生7：我添加的辅助线如图6所示，任意在AB上取一点D，连接CD就可以出现两个三角形ADC和BDC.

师：很好，生7用CD成功将ABC分割成了两个三角形.但是，这种辅助线破坏了∠C与线段AB这两者的完整性，从而无法利用已知条件AB=AC.所以该辅助线的添加不利于解题，故此方法不可取.还有其他更好的方法吗？

生8：我添加的辅助线如图7所示，任意在AB上取一点E，在AC上取一点F，连接EF就可以出现两个三角形ABC和AEF.

师：很好，生8的做法保留了∠B，∠C的完整性.但是，依然无法利用AB=AC这一条件，故这种添置辅助线的想法仍不可取.

生9：我添加的辅助线如图8所示，任意在BC上取一点G，连接AG，就可以出现两个三角形ABG和ACG.

师：很好，生9的做法保留了∠B，∠C的完整性，且可以利用已知条件AB=AC，但仍然无法证明∠B=∠C.为什么这条辅助线在满足保留不破坏题目条件的要求后，还是不能证明∠B=∠C呢？

生10：我的想法和生5一样是利用全等这一知识点，且由生9中的辅助线的可行性知在BC上取点时，绝不能任意取点，应带有利用全等思想的目的性作辅助线，故我取BC的中点H，连接AH，则得到ABH和ACH（如图9所示）.

师：非常好，这种做法既保留了∠B，∠C的完整性，可以利用已知条件AB=AC.又通过H点的选取，得到新的条件：BH=CH.下面请同学们思考，根据图8中的条件能否证明∠B=∠C呢？

生11：由图8中可知，H点为BC的中点，则ABH与ACH的三组对应边具有以下几何关系：AB=AC，BH=CH，AH=AH.则由三角形全等的判定（“SSS”）公理知ABH≌ACH.由全等三角形的性质可知∠B=∠C.

师：在这种证明过程中同学们会发现，我们利用了添加辅助线这一思想.并且通过四位同学的辅助线之间的对比，结合不同作法的辅助线对解题过程产生的不同影响，最后选出合理有效的辅助线，迅速准确的证明了等腰三角形的两底角相等.同时，也附带地得出了“等腰三角形”的“三线合一”的性质.

（3）张昆老师补充一种证明过程

师：以上证明的各种方法都各有特点，在孙培磊的这种证明方法中，在辅助线的帮助下利用了全等的思想构造新的三角形进行证明，实际上我们还可以直接利用全等三角形的知识解题.在ABC中（如图10）已知AB=AC，证明∠B=∠C，要证两角相等只要两角能够重合即可.即∠B与∠C重合，那么我们不妨将ABC通过翻转得到ACB（如图11），在图9与图10这两个三角形中，由于AB=AC，AC=AB，∠A=∠A故有ABC≌ACB（“SAS”）.由全等三角形的性质可知：∠B=∠C.

反思：这种方法能够更加直观地利用全等三角形的知识，避免了构造矩形和添加辅助线的复杂性，但这种翻转的思想也不容易构思，并且证明过程不能得出“三线合一”的性质.

2课堂讨论的进一步深入

我们合众人之力，发现了“等腰三角形的两底角相等”这个性质定理的教学设计及其实施过程的三种方案.在这三种发生认识方案中，都是学生可以接受的，但各有利弊.其实，实际的教学设计与实施的过程，为我们提供了鲜活的材料与资源，那么，大家在真正的教学设计时，如何利用我们所获得的这些材料呢？下面选择了部分师范生课堂发言的要点摘录：

陈帅的教学设计流程是不可能作为“等腰三角形”性质证明的现实教学的.因为，其一，在小学时，学生没有学习严格的矩形性质，在严格的平面几何证明中，不宜于使用它作为理论基础；其二，正如孙培磊的分析，学生不可能想到利用矩形作支架来证明这个性质；因此，这种发生知识的过程对学生作相关辅助线的经验与能力都没有多大帮助.就是说，陈帅的教学知识分析是清楚的，但是，学情分析不够，没有估计好学生发生认识的心理过程.

张老师（张昆）提供的证明方法具有较大的创造性，需要从图10中想象出图11，事实上，这是适应了等腰三角形特殊性质的特殊想法，这种解法对学生形成辅助线的认识与能力没有多大关系，因此，这种证明方法可以在完成教学任务后，针对学有余力的学生，通过合适的设计手段启发他们发现，使学生体会思路发现的奇异之美.然而，对于我们师范生（将来的数学教师）而言，这一证明过程必须要考虑到，收入囊中，才能为我们今后的教学更好地发挥知识的价值提供帮助.

孙培磊的教学设计是优质的，她设法描摹学生产生这条合适的辅助线的心理过程，而不是将自己知道的这条辅助线的结果直接“奉献”给学生.作为教师，对这条辅助线的添置几乎已经出于一种本能，但是，对于八年级的学生而言，刚接受平面几何证明的学习，他们不可能直接就作出图9中的AH，必然有一个审视图形、思考、判断与选择的过程.事实上，对于我们有了学习平面几何证明的师范生来说，图9辅助线的想法近乎于一种直觉了，但是，也确实具有一种审视与选择的过程.孙培磊采用了将学生发生辅助线的心理活动过程通过设计的手段，细心地展示在学生的面前，用此行为促进学生观察自己的思考过程，并从这一活动过程中获得体验，形成经验.尽管这种发生知识的过程是常规的，但是，通过学情分析，加深对学生发生认识过程的认识，就可以设计出符合学生认知方式的教学设计，由此，可以看出学情分析的重要性.

由这些同学的发言，师范生们得出了结论，应当选择孙培磊提出的教学设计方案来实施教学.此时，张昆老师又提出问题，那么，陈帅与张昆老师提出的这种发生知识（或证明结论）的过程对孙培磊提出的教学设计是否具有帮助呢？或者说，陈帅与张昆老师提供的这些作为原料的想法可以为孙培磊的教学设计增色吗？

关于这一点，需要师范生提出自己的见解，孙培磊可能想得更为深刻些，我们摘录她的发言：陈帅提出的矩形内的等腰三角形可以作为探究等腰三角形的存在，并且非常直观地给出了等腰三角形性质的证明.因此，我们在课的起始时，引进等腰三角形性质时利用它作为情境，可以不作出证明的依据（当然，像我们前面的安排，带领学生由此探究证明也没有关系，可以过渡到我所提供的添加辅助线的证明过程）.张昆老师提出的证明方法可以安排在我所提供的性质证明之后，引导学生思考，因为这种方法具有较大的创造性，也可以开阔学生的视野，应用时，不能仅靠学生的想象力，而一定要给出另一个与之完全一样的等腰三角形，正如张老师所提供的这一个虚线等腰三角形加以辅助.

3一点说明

等腰三角形的性质篇（3）

由等腰三角形的一些性质，通过师生对话及一系列问题的提出，逐步把问题引向深入．促使学生根据已学的有关知识，运用一般化、特殊化等思想方法，在自主探索过程中不断地发现一些有趣的性质，最后得到三角形的费马点。

例题：已知：ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线.求证：BD=CE。

在给出了以上例题后，教师与学生一起由浅入深、由此及彼，逐步探讨如下一系列问题：

问1：题设、结论各是什么？你能按题意画出图形吗?

问2：如何来证明？

问3：有另外的证法吗？

问4：题中条件不变，你还能推出什么结论？

问5：回到原题，你能用文字语言叙述一下吗？

问6：如题中条件稍作变化，你能否得到相应的结论呢？

问7：刚才，我们证明了等腰三角形两腰上的高相等，试问，点B到直线AC的距离与点C到直线AB的距离相等吗？

问8：固定三角形，让点B移动到点P（底边BC上一点），试问，点P到AC的距离与点C到AB的距离有何关系？若PN、PM分别是P到AB、AC的距离，那么PN、PM与CE之间有何关系？

问9：能否证明你的猜想？

问10：你能想出几种不同的证法？

问11：若点P继续运动到BC的延长线上，又会有什么结论呢？

问12：若ABC是等边三角形，你又有什么新发现？

问13：若ABC中AB>AC，点P在边BC上，你有什么猜测？

问14：若点P为任意ABC内一点，它到三边距离之和为PD+PE+PF，对此，你又有什么认识？

问15：若改为点P到ABC三顶点的距离之和，你又有什么想法？什么时候PA+PB+PC为最小？能证明吗？

二、 活动过程设计

“问1”、“问2”意在培养学生的审题、画图、证明等基本素养。活动过程中应重视学生“双基”的训练。

“问3”“问4”则重在培养学生的发散性思维。“问3”是解法开放，应积极引导学生调动自己头脑中已有的知识经验，探寻多种解法。“问4”也就是结论开放，应引导学生展开联想，大胆猜想。

“问5”在于培养学生的语言转换能力。让学生换个角度去叙述问题，把数学符号语言转换成文字语言，学生就较容易想到相应的线段如中线、高是否有同样的等量关系。于是，学生就可能会思考如“问6”的问题。

“问6”与“问7”之间，教师把学生引导到“距离”这一概念上去，加深学生对“距离”概念的认识，另一方面，把问题从“高”这一角度转移到“距离”这一角度，也是一种语言转换。这一转换，“问7”、“问8”也就顺应而出。在此，应使学生意识到问题的不断转换，将有助于新问题的提出，有助于获得新发现。

“问9”、“问10”应使学生通过探寻不同的解法，让学生回顾复习证两线段之和等于一条线段的常用方法（或一般规律）：截取、延长、平移、对称等等，从中探寻一般规律。

“问11”渗透运动的观点，用动态的观点去处理点P跃过点C时的情况。教学中可通过多媒体辅助手段显示点P的运动及PN、PM的变化，让学生通过观察，得出相应猜测及证明。

“问12”、“问13”让学生从特殊化、一般化的角度去加强或减弱条件，并猜测其可能的结果。学会特殊化，学会一般化，学会类比，学会联想，学会猜测。

“问14”中的点P更富有一般性。此时，使学生认识到其结论一般也更具不确定性，但应引导学生思考“是否具有最大值与最小值呢？”

等腰三角形的性质篇（4）

师：这是一个什么三角形？为什么？

生：这是等腰三角形，因为AB=AC.

师：你怎么知道AB和AC的长度相等呢？

生1：因为ABD≌ACD，AB与AC是对应边，所以AB=AC.

生2：因为AB与AC重合，所以它们的长度相等。

师：很好，请你们观察图形，折痕左右两边重合吗？等腰三角形是轴对称图形吗？

生：折痕左右两边重合，等腰三角形是轴对称图形。

师：你认识等腰三角形的腰、底边、顶角、底角吗？（展示教具，学生回答）虽然前面我们学习了等腰三角形的知识，但是有关它的性质、判定都没有涉及，这节课我们进一步学习等腰三角形。（板书：等腰三角形）

【评析】教学伊始，执教老师就创设情境，让学生观察老师的操作过程，得到研究对象――等腰三角形后，再请学生观察图形，回顾等腰三角形的相关概念如腰、底边、顶角、底角以及等腰三角形的对称性，引导学生学会观察并发现问题，让学生感受到重合即相等，为后面探究等腰三角形的性质奠定基础。

二、实践操作，发现性质

活动2：请学生用纸剪出一个等腰三角形。

师：仔细观察剪好的等腰三角形，你发现这个等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？

生独立观察，指出等腰三角形中相等的线段和相等的角。

师：请同桌之间互相交换等腰三角形，再次观察，你发现等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？说一说这些线段和角在等腰三角形中的名称。

生1：等腰三角形的两条腰相等。

生2：等腰三角形的两个底角相等。

教师板书，等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。简写为：等边对等角。

【评析】教师让学生通过操作、观察、发现、归纳，得出等腰三角形的两个底角相等这一性质，体现了学生的学习主体地位。这样做有利于学生从研究一个等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，从而发现等腰三角形的特征，归纳得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。

三、关注折痕，引出三线

教师在剪好的等腰三角形的折痕上画一条虚线（见图2），请学生仔细观察等腰三角形，注意折痕，并思考还能发现哪些线段相等？哪些角相等？

学生先观察图形，然后分小组讨论，最后展示分享结果。

生1：BD=CD.

生2：∠BAD=∠CAD.

生3：∠ADB=∠ADC.

师：假如BD=CD，那么AD与BC是什么关系呢？

生：AD是BC的中线。

师补充说明AD是等腰三角形底边BC的中线。

师：刚才有位同学说∠BAD=∠CAD，想一想，AD与∠BAC是什么关系？

生：AD是∠BAC的平分线。

师补充说明AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线。

师：请同学们思考∠ADB=∠ADC等于多少度？为什么？

生：∠ADB=∠ADC=90°，因为∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.

师：AD与BC是什么关系？

生4：AD是BC边上的高。

生5：AD是等腰三角形底边BC上的高。

师：我们在表达线段的关系时要准确、完整，综上所述，AD是等腰三角形的什么？

生：AD是等腰三角形底边BC上的中线，是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，是等腰三角形底边BC上的高。

【评析】教师让学生观察、发现，然后准确全面地归纳出等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。

四、推理证明，验证性质

题目：利用实验操作的方法，我们发现并概括得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。你能运用逻辑推理来证明这个命题吗？

生：根据命题，我们可以画出图形（见图3），写出已知、求证。

已知：在ABC中，AB=AC.

求证：∠B=∠C

教师引导学生思考：结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形？从剪图、折纸的过程中你能够获得什么启发？

生1：我认为可以画一条辅助线（见图4），把三角形ABC分为两个三角形，通过证明两个三角形全等，可以得到∠B=∠C.

证明：作底边BC的中线AD，在ABD与ACD中，

因为：AB=AC

BD=CD

AD=AD

所以：ABD≌ACD（SSS）

∠B=∠C

师：这位同学使用的方法很正确，思路清晰，板书规范。请你们再想一想，还有别的证明方法吗？请结合图形说明你的思路。

生2：我的思路是作底边BC上的高AD，然后运用“HL”证明直角三角形ADB与直角三角形ADC全等，从而得到∠B=∠C.

生3：我的思路是作顶角∠BAC的平分线AD，然后运用“SAS”证明ABD与ACD全等，从而得到∠B=∠C.

师：这3位同学的证明思路、推理方法都是对的。通过学习等腰三角形的性质，我们又掌握了证明两个角相等、两条线段相等以及线段互相垂直关系的新方法。

【评析】教师让学生体验证明两个角相等到证明两个三角形全等的过程，了解添加辅助线与解决问题思路的相关性，进一步理解等腰三角形的性质及意义――它既是三角形全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的更为简捷的途径和方法。

五、解读性质，注重表达

师：等腰三角形性质2的“三线合一”是指什么？对此，我们可以将其分解为下面3个结论：①等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高；②等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线；③等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线。

师： AB=AC，∠BAD=∠CAD

BD=CD，ADBC

请同学们用符号语言表达第②、③两个结论。

生1： AB=AC，BD=CD

ADBC，∠BAD=∠CAD

生2： AB=AC，ADBC

∠BAD=∠CAD，BD=CD

【评析】教师让学生在反复比较的过程中概括得出等腰三角形共同的、本质的特征，进一步培养了学生运用数学语言符号进行表达的能力，使学生真正理解“三线合一”的含义。

六、学以致用，巩固新知

（一）填空。

1.如图5，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，则

∠B= .

2.如图6，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，则

∠A= .

（二）自制水平仪。教师选用教学时用的等腰三角板一个，铅垂一个，1米长的细绳一根，展示：用水平仪测量讲台是否处于水平状态，请学生说明测量时用到了什么数学知识？学生回答，相互补充，并说明理由。

【评析】教师设计角度计算题，学生需要综合运用等腰三角形、三角形的内角和等知识解决问题，这样做有利于学生进一步掌握等腰三角形的性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，有助于学生优化知识结构。此外，教师设计活动操作题，能够让学生体会到数学知识在生活中的实际应用，体现了学习数学的价值。

七、学会总结，提高更快

师：我们是如何探究等腰三角形的性质呢？

生：动手操作，通过观察、发现、归纳性质，最后证明性质。

师：你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？

生1：在同一个三角形中，相等的边所对应的角相等。

生2：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）也是底边上的中线，从而有线段相等。

生3：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或底边上的中线）也是顶角平分线，从而有角相等。

【评析】通过小结，学生掌握了本节课所学的核心知识――等腰三角形的性质及应用。

【总评】这节课，学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形――等腰三角形。学习目标是：探索并证明等腰三角形的两个性质；能够利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。

等腰三角形的性质篇（5）

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质.等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”，是等腰三角形的重要性质，是今后证明角相等、线段相等及两条直线垂直的重要依据，这也是全章的重点之一.教材通过剪纸、折叠、观察、思考等一系列的探究活动，在问题串的引导下，由学生发现并概括出这些性质，这都是要求学生必须牢固掌握的.

本节内容分两小节，其中第一小节等腰三角形分两课时，第一课时主要研究等腰三角形的性质.本节课，让学生通过折纸、剪纸等实验活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程.在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形证明有机整合.

在对教材作以上分析的基础上，可以确定出本节课的教学目标是：

1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.

2、经历探索等腰三角形性质的过程，掌握这个性质，并能给出证明.

3、在经历探索等腰三角形性质的过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力.

4、在运用等腰三角形性质解决问题的过程中，发展应用意识.不断增强学好数学的自信心.

教学重点：等腰三角形的性质.

教学难点：探索并证明等腰三角形的性质.

2 学情和学法分析

2.1 学生在学习中常见的认识误区和思维障碍

（1）对等腰三角形的轴对称性理解不深刻

关于等腰三角形的轴对称性要求学生做到全面理解，既要认识到它是轴对称图形，又要说出其对称轴来，为此，学生应明确以下两点：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.对于第①点，学生通过动手操作可以很容易发现，而对于第②点则往往出现认识、理解不深刻的现象，从而导致错误.常出现下面的错误认识“等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高”.

（2）不能正确理解“三线合一”的性质

等腰三角形的“三线合一”的性质是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线重合.这里的“线”都是指线段，对于这一点，初学的同学往往出现认识上的问题，如出现类似下面的错误判断：

因为等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，所以也是底边上的垂直平分线.

事实上，在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高和底边上的中线是同一条线段，它垂直于底边，而底边的垂直平分线是垂直于底边的直线，这是两个不同的概念.

2.2 学法指导

（1）鼓励学生自主探究，自己归纳、总结、发现等腰三角形的性质.对于等腰三角形的性质，教师可通过适当的素材（问题串），给学生提供思考的空间，鼓励学生自己独立解答，然后进行相互交流，在相互交流中加深对等腰三角形性质的理解.

（2）引导学生在独立思考的基础上进行合作交流.为防止出现对等腰三角形的性质理解不深刻的现象，可在同学们总结、归纳出等腰三角形的性质后，给出一些判断性的问题，让学生去甄别真假.

（3）注重认识结构的优化.关于等腰三角形的概念在七年级下册已经学过，学完等腰三角形的性质以后，引导学生进一步加深对等腰三角形有关概念的认识，以扩充学生原有的数学认识结构.

3 导学过程设计

3.1 创设情境，激发兴趣

出示一些精美的建筑图片（金字塔、房屋侧面、高架桥等），让学生仔细观察图片中显示的主要是一些什么图形？

点评 爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.由于学生在小学已经接触过等腰三角形，他们能比较容易的从建筑图片中抽象出等腰三角形.该设计能激发起学生的学习兴趣，在最短的时间内把学生的注意力吸引到课堂中来，这是提高课堂教学效率的第一步.

教师此时板书题目：1231等腰三角形（1）.

3.2 问题引导，探究发现

（1）引导学生进行实验操作

把一张长方形的纸按图1中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？

点评 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手操作、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.”在引起学生学习兴趣的基础上，教师及时安排一个动手操作的实验活动，让学生通过折纸、剪纸、观察得到等腰三角形，使学生感知等腰三角形的特征是两边相等，培养了学生观察分析、概括总结的能力.

教师画出ABC并标出腰、底、顶角、底角，为后面探究等腰三角形的性质做准备.

（2）合作交流，自主探究.

引导学生仔细观察图2中的ABC，折痕记作AD，思考下面的问题：

①等腰三角形ABC是轴对称图形吗？

②∠BAD与∠CAD相等吗？为什么？

③∠B与∠C相等吗？为什么？

④折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系？

⑤线段BD与线段CD的长相等吗？

⑥你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗？

点评 学生通过观察、思考等探究活动，在以上6个问题的引导下，能自主发现并概括出等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”等重要性质，这是今后证明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.这样安排学生便经历观察、实验、探究、归纳、推理等认识图形的全过程，对于培养学生自主探究的学习品质和观察分析问题、概括总结、合情推理的能力都是非常有益的.

此时，教师板书：等腰三角形的两个底角相等.

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）尝试证明，规范格式

①语言叙述性命题的证明步骤有哪些？

②你能证明等腰三角形的两个底角相等吗？（画图，写出已知、求证，写出你的证明过程.）

③与同组的同学交流证明方法.

点评 问题（1）复习巩固了语言叙述性命题的证明步骤，为把问题（2）的文字语言正确转化成图形语言做准备，进一步引导学生回顾证明角相等的方法，分析选择怎样的证明方法，如何添加辅助线，让学生体会数学具有严密的逻辑性.（3）利用投影仪展示学生的三种不同的证法：①作BC边的中线，用“SSS”证明全等；②作ADBC于D，用“HL”证全等；③作角平分线，用“SAS”证明全等.针对不同的证明方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.同时，师生共同纠正错误，规范证题格式，由辅助线的不同作法，也为性质2“三线合一”的教学作铺垫.

（4）用数学符号表示等角对等边.

点评 培养学生的文字语言、符号语言及图形语言之间相互转化的能力.真正掌握等边对等角.

（5）学以致用，巩固练习

1.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长是 .

2.已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为

（ ）

A.40° B.80° C.40°或100° D.100°

点评 本组练习考察学生掌握等腰三角形的性质1的情况，看学生是否能和三角形三边关系、三角形内角和综合运用，培养学生应用知识的能力.重视对数学基本思想的渗透是《标准》的要求，学生在解答问题2的过程中，能体验到分类讨论的思想在解题中的应用.

3.3 合作交流，再探新知

（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.可转化成几个命题？

点评 引导学生把结论2这个复杂的命题，转化成三个命题，降低了难度，使学生真正理解等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的真正含义，也锻炼了学生的语言表达能力.教学中注意强调这三种线段的定语，可以让学生画图说明.

（2）请选择一个你喜欢的命题，并写出证明过程

点评 让学生选择一个自己喜欢的命题证明，为不同层次的学生提供了参与数学活动的平台，充分发挥了学生的积极性、主动性.符合《标准》提出的让“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求

（3）根据图2填空

①在ABC中，因为AB=AC，ADBC，所以 （或 ）

②在ABC中，因为AB=AC， ，所以ADBC（或BD=DC）

③在ABC中，因为AB=AC， ，所以ADBC（或AD平分∠BAC）

点评 进一步巩固“三线合一”，培养学生三种语言的转化能力，增强理性认识，提高演绎推理的能力.完成填空后，同桌间叙述、交流，进一步从理性上认识“三线合一”，形成知识体系.

（4）学以致用，巩固练习

①在ABC中，AB=AC，ADBC，∠BAD=40°，BD=2cm，则BC= ∠C= ；

点评 以填空的形式出现，让学生再次理解等腰三角形的“三线合一”性质的内涵.加深对性质2的理解，学会性质的应用.

②如图3，已知在ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，AD=AE，求证：BD=CE.

点评 等腰三角形的“三线合一”性质，包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法.本题在进一步巩固“三线合一”性质的基础上，引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案.在对“三线合一”的认识不断深化过程中，提高了学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构.在体验解决问题方法的多样性的过程中，逐步发展了创新意识.

3.4 拓展提高

如图4，线段OB的一个端点O在直线a上，以OB为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？

点评 由于学生的层次不同，掌握知识的能力也不同，设计拓展提高题，满足学有余力的学生的发展需求，进一步提高学生的发散思维能力，实现由知识到能力的转化.

3.5 梳理反思，总结升华

畅所欲言，共同分享：

（1）你有哪些收获？还有哪些不足？（知识技能、解题方法、数学思想、解题技能，辅助线的添加、情感态度、合作学习等.）

（2）写出本节课的学习反思.

点评 数学家弗赖登塔尔指出：“反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力，必须教育学生对自己的判断与活动进行思考并加以证实，以便使他们学会反思.”这就要求培养学生具有严密的、全面的能自我反省的思维品质以及在问题面前迅速作出正确判定的思维品质.学生在学习过程中不断反思自己的学习行为、学习方法、自我评价等，以此来指导今后学习活动，不仅加强了知识的深化与内化，提高了学生良好的思辨思维习惯，而且是提高数学素养的一种重要手段.

3.6 布置作业：（省略）

点评

1.充分尊重了学生的主体地位

本节课注重探索等腰三角形性质的形成过程，先让学生通过折叠剪纸来认识等腰三角形，再观察折叠的等腰三角形，猜测它的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生经历了一个观察、实验、探究归纳、推理、认识图形的全过程，由发展学生的合情推理能力到发展学生的演绎推理能力，真正实现学生为主体的教学宗旨，培养学生自主探究学习的优秀品质和严谨的逻辑思维能力.

2.注重了学习方式的转变

《标准》特别强调要转变学生的学习方式，本设计在探究等腰三角形性质的过程中较好的体现了这一理念.对于问题（1），先由学生自己思考、猜想，然后相互交流自己的看法，师生共同总结出等腰三角形的性质——等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.这个性质包含两部分，前面的部分说明等腰三角形是轴对称图形，后面的部分是说明对称轴的位置或是怎样形成的，这一点同学们往往不够重视，从而出现这样或那样的错误.一个图形的对称轴是一条直线，既然等腰三角形是轴对称图形，就需要进一步明确对称轴的位置.这条直线就是等腰三角形底边的垂直平分线.一定要向同学们交代清楚等腰三角形的对称轴是一条直线，而不是线段，这样学生就不会误认为等腰三角形的对称轴是底边上的中线了.

问题（2）—（5）反映了等腰三角形的“三线合一”和“底角相等”的性质.这些结论的获得过程都可以采用合作交流的学习方式，可在学生充分思考、猜想、讨论的基础上，通过全班交流加以肯定.

在引导学生“已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形”时，应先引导学生回顾已经学过的四种基本尺规作图，然后就本作图题展开讨论，通过交流使学生认识到：问题的关键是作出等腰三角形的三个顶点，在作出线段AB=a后，关键是确定顶点C的位置.

等腰三角形的性质篇（6）

反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.

运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.

（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.

（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.

3. 直角三角形

直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.

4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形

这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：

5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法

等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：

通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位线定理

等腰三角形的性质篇（7）

2、 能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.

教学重点： 等腰三角形的判定定理及推论的运用

教学难点： 正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.

教学过程：

一、复习等腰三角形的性质

二、新授：

I提出问题，创设情境

出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度.

学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”.

II引入新课

1.由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗?

作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系?

2.引导学生根据图形，写出已知、求证.

2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称).

强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”.

4.引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据.

III例题与练习

1.如图2

其中ABC是等腰三角形的是 [ ]

2.①如图3，已知ABC中，AB=AC.∠A=36°，则∠C______(根据什么?).

②如图4，已知ABC中，∠A=36°，∠C=72°，ABC是______三角形(根据什么?).

③若已知∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______.

④若已知 AD=4cm，则BC______cm.

3.以问题形式引出推论l______.

4.以问题形式引出推论2______.

例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形.

分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明.

练习：5.(l)如图6，在ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?

(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗?

练习：P53练习1、2、3。

IV课堂小结

1.判定一个三角形是等腰三角形有几种方法?

等腰三角形的性质篇（8）

一.选择题（每题3分，共36分）1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（）　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16考点： 多边形内角与外角．专题： 计算题．分析： 多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．解答： 解：一个多边形的每个外角都等于24°，多边形的边数为360°÷24°=15．故选C．点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．　2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm考点： 三角形三边关系．分析： 此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．解答： 解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．点评： 本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．　3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题： 分类讨论．分析： 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．解答： 解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°； ②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：C．点评： 根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．　4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（） 　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去考点： 全等三角形的应用．分析： 根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．解答： 解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带Ⅱ去．故选：B．点评： 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．　5．在ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（）　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形考点： 三角形内角和定理．分析： 用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．解答： 解：∠A= ∠B= ∠C，∠B=2∠A，∠C=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，所以，∠B=2×30°=60°，∠C=3×30°=90°，所以，此三角形是直角三角形．故选B．点评： 本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．　6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（） 　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角考点： 三角形的稳定性．分析： 加上EF后，原图形中具有DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．解答： 解：这种做法根据的是三角形的稳定性．故选C．点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．　7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题： 常规题型．分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．解答： 解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选A．点评： 本题 考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．　8．如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）厘米． 　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28考点： 线段垂直平分线的性质．分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．解答： 解：DE是ABC中AC边的垂直平分线，AE=CE，AE+BE=CE+BE=10，EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，故选B．点评： 本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（） 　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处考点： 角平分线的性质．专题： 应用题．分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解答： 解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D． 点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．　10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）　 A． 4个 B． 3 个 C． 2个 D． 1个考点： 等边三角形的判定．分析： 根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．解答： 解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选B．点评： 本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．　11．ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19考点： 三角形三边关系；平行四边形的性质．分析： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得ABD≌ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．解答： 解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，ABD≌ECD（SAS）．AB=CE．在ACE中，根据三角形的三 边关系，得AE﹣AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19．则9＜AB＜19．故选D． 点评： 解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．12．已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（2）EBD≌FCD；（3）AED≌AFD；（4）AD垂直BC．（） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析： 在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．解答： 解：（1）如图，AB=AC，BE=CF，AE=AF．又AD是角平分线，∠1=∠2，在AED和AFD中， ，AED≌AFD（SAS），∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ABD≌ACD．又由（1）知，AED≌AFD，EBD≌FCD．故（2）正确；（3）由（1）知，AED≌AFD．故（3）正确；（4）如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ADBC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中线，角平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求一些简单的全等三角形．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．　二、填空题（每题3分，共24分）13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是　120　度．考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析： 知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．解答： 解：因为其底角为30°，所以顶角=180°﹣30°×2=120°．故填120．点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很 重要的方法，要熟练掌握．　14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　4cm　．考点： 含30度角的直角三角形．专题： 计算题．分析： 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．解答： 解：直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，斜边的长=2×2=4cm．故答案为：4cm．点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．　15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则　ABO　≌　DCO　，依据是　AAS　（用简写形式表示）． 考点： 全等三角形的判定．菁优网版 权所有分析： 题目中已有条件∠A=∠D，AB=CD，根据图形可知对顶角∠AOB=DOC，可以根据AAS定理判定ABO≌DCO．解答： 解：在ABO和DCO中， ，ABO≌DCO（AAS），故答案为：ABO；DCO；AAS．点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．　16．当m=　3　时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，再计算可得m的值．解答： 解：点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称，n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，解得：n=﹣4，m=3．故答案为：3．点评： 此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．　17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=　 　． 考点： 三角形的面积．分析： 首先利用勾股定理的逆定理得出ABC为RtABC，再利用SABC= AC×BC= AB×CD联立方程解答即可．解答： 解： AC=3，BC=4，BA=5，AC2+BC2=AB2，ABC为RtABC，CD是RtABC斜边上的高，SABC= AC×BC= AB×CD，AB×CD=AC×BC，即5×CD=3×4，CD=2.4．故答案为2.4．点评： 本题考查了三角形的面积计算公式以及勾股定理，利用这些知识点解决实际问题．　18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是　21cm或24cm　．考点： 等腰三角形的性质．分析： 等腰三角形两边的长为6m和9m，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解答： 解：①当腰是6cm，底边是9cm时，能构 成三角形，则其周长=6+6+9=21cm；②当底边是6cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=6+9+9=24cm．故答案为：21cm或24cm．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．　19．（3分） （2014秋•津南区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为　7cm或11cm　．考点： 等腰三角形的性质．专题： 分类讨论．分析： 根据题意画出图形，分情况讨论当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰长为xcm，底边长为ycm，根据等腰三角形的性质列出方程组，求出值后检验是否可以组成三角形．解答： 解：①当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意；②AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意．故答案为：11cm或7cm． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．列出方程组是正确解答本题的关键．　20．七边形的内角和是　900°　．考点： 多边形内角与外角．分析： 由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．解答： 解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．故答案为：900°．点评： 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n﹣2）实际此题的关键．　三.作图题（每题5分，共10分）21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 首先过点A作垂直于直线m的垂线，进而截取得出A的对称点．解答： 解：如图所示：对称点A′即为所求． 点评： 此题主要考查了轴对称变换，作 出过点A与直线m垂直的直线是解 题关键．　22．已知：如图，ABC，分别画出与ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 根据题意作出ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2即可．解答： 解：如图所示： 点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．　四.解答题（共6题，50分）23．如图，已知AEBC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数． 考点： 三角形内角和定理．分析： 先根据AEBC，∠CAE=20°求出∠C的度数，再根据∠ADB=110°求出∠DAE的度数，由AD平分∠BAE可得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠B度数．解答： 解：AEBC，∠CAE=20°，∠C=90°﹣20°=70°．∠ADB是ACD的外角，且∠ADB=110°，∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，解得∠DAC=110°﹣70°=40°，∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=40°20°=20°．AD平分∠BAE，∠DAE=∠BAD=20°．在ABD中， ∠BAD=20°，∠ADB=110°，∠B=180°﹣20°﹣110°=50°．点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．　24．已知：如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE． 考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．专题： 证明题．分析： 根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，即可求出答案．解答： 证明：ABC是等边三角形，BD是高，∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠CBD=30°，∠E+∠EDC=∠ACB=60°，CD=CE，∠E=∠EDC，∠E=30°=∠CBD，BD=DE．点评： 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理闹能力，解此题的关键是求出∠E=∠DBC=30°．25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：ABC≌CDA． 考点： 全等三角形的判定．专题： 证明题．分析： 由平行可得∠1=∠2，加上AB=CD，且AC为公共边可证得结论．解答： 证明：AB∥CD，∠1=∠2，在ABC和CDA中， ，ABC≌CDA（SAS）．点评： 本题主要考查三角形全等的判定，正确掌握三角形全等的判定方法是解 题的关键．　26．已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据垂直定义得出∠EAC=∠BAD=90°，求出∠EAD=∠BAC，根据SAS推出EAD≌BAC即可．解答： 证明：DAAB，CAAE，∠EAC=∠BAD=90°，∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD，∠EAD=∠BAC，在EAD和BAC中 EAD≌BAC，DE=BC．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．　27．如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论． 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明RtAED和RtAFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质解答即可．解答： 解：AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，DE=DF（角平分线的性质定理），在RtAED和RtAFD中， ，RtAED≌RtAFD（HL），AE=AF，又AD平分∠BAC，ADEF（等腰三角形的三线合一）．点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．　28．已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到ADC≌GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代 换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．解答： 证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．AD是BC边上的中线（已知），DC=DB，在ADC和GDB中， ADC≌GDB（SAS），∠CAD=∠G，BG=AC又BE=AC，BE=BG，∠BED=∠G，∠BED=∠AEF，∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，AF=EF． 点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．

等腰三角形的性质篇（9）

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学方法，同时也是一种重要的解题策略。这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。下面我以特殊三角形为例，浅显地谈谈分类法的应用。

一、等腰三角形的腰或底边不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边长时，要看给出的边长是否确定为腰长或底边，若已确定，则直接利用等腰三角形的性质定理求解；若没有指出所给的边是腰还是底边，要分两种情况讨论，并三角形内角和三边的关系检验其是否能构成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一边长等于4 cm，另一边等于5 cm，求它的周长；（2）若周长为20 cm，一边长为5 cm，求它的三边长。

分析：不能确定已知边是腰还是底边，因此分两种情况讨论：

（1）若底边长为4 cm，则腰长为5 cm，这时它的周长为4+5+5=14 cm；若腰长为4 cm，则底边长为5 cm，这时它的周长为4+4+5=13 cm，所以这个三角形的周长等于14 cm或13 cm.

（2）若底边长为5 cm，则腰长为7.5 cm.

（3）若长为5 cm的边是腰，则底边长为10 cm，因为5+5=10 cm，即两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，因此三角形不存在，所以它的边长为5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：已知条件并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形。

若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长为y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm。

二、等腰三角形的顶角或底角不定时需要分类讨论

在等腰三角形中求边角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质定理1（等边对等角）求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理。

例3.已知等腰三角形的一个内角度数，计算三角形的另外两个角的读数。

（1）已知一个角是30°；（2）已知一个角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一个内角是锐角，可分两种情况，顶角是已知锐角或者底角是已知锐角；如果已知一角是钝角或者直角，那么它一定是等腰三角形的顶角。

（1）若已知角是顶角，则另外两个角是底角，度数为 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，则顶角度数为180°-2×30°=120°，另一个底角为30°。

（2）由于已知等腰三角形的一个角是160°，又由于两个底角相等，因此这个角只能是顶角，因此这个角只能是顶角，因此两个底角度数都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形状不定时需要分类讨论

由于等腰三角形类型的不同，高线所处的位置也不同。如果是锐角三角形则高线在三角形内部；如果是直角三角形，高线就是一条直角边；如果是钝角三角形，高线在三角形外部。所以在等腰三角形中求高线时，要看给出的三角形是否确定，若已确定，则直接利用三角形高线的位置进行求解；若没有指出则要分三种情况讨论。

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。

解析：题目没有确定三角形的类型，所以这个等腰三角形需分三种情况进行讨论。

（1）如图1，若ABC是锐角三角形时，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。

因为腰长为a，∠ABE=30°，故腰上的高为 a，且顶角为60°，从而ABC是等边三角形，所以底边上的高为 a。

（2）如图2，若是钝角三角形，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。

因为∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因为AB=AC，所以∠BAC=30°。因为ADBC，所以AD= AC= a。

（3）若顶角为直角，显然是不成立的。

综上所述，底边上的高为 a或 a。

由以上的几个例子我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

等腰三角形的性质篇（10）

一.选择题（每题3分，共36分）1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（）　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16　2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm　3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°　4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（） 　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去　5．在ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（）　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形　6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（） 　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角　7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）　8．如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）厘米． 　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28　9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（） 　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处　10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个　11．ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19　12．已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（2）EBD≌FCD；（3）AED≌AFD；（4）AD垂直BC．（） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个二、填空题（每题3分，共24分）13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是度．　14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是．　15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则≌，依据是（用简写形式表示）． 　16．当m=时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．　17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=． 　18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是．　19．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为．　20．七边形的内角和是．三.作图题（每题5分，共10分）21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点． 　22．已知：如图，ABC，分别画出与ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2． 四.解答题（共6题，50分）23．如图，已知AEBC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数． 　24．已知：如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE． 　25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：ABC≌CDA． 　26．已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC． 　27．如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，连接 EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论． 　28．已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． 2014-2015学年天津市津南区东南学区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一.选择题（每题3分，共36分）1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（）　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16考点： 多边形内角与外角．专题： 计算题．分析： 多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．解答： 解：一个多边形的每个外角都等于24°，多边形的边数为360°÷24°=15．故选C．点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．　2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm考点： 三角形三边关系．分析： 此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．解答： 解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．点评： 本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．　3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题： 分类讨论．分析： 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．解答： 解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°； ②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：C．点评： 根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．　4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（） 　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去考点： 全等三角形的应用．分析： 根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．解答： 解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带Ⅱ去．故选：B．点评： 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．　5．在ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是（）　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形考点： 三角形内角和定理．分析： 用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．解答： 解：∠A= ∠B= ∠C，∠B=2∠A，∠C=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，所以，∠B=2×30°=60°，∠C=3×30°=90°，所以，此三角形是直角三角形．故选B．点评： 本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．　6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（） 　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角考点： 三角形的稳定性．分析： 加上EF后，原图形中具有DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．解答： 解：这种做法根据的是三角形的稳定性．故选C．点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．　7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题： 常规题型．分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．解答： 解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选A．点评： 本题 考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．　8．如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为（）厘米． 　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28考点： 线段垂直平分线的性质．分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．解答： 解：DE是ABC中AC边的垂直平分线，AE=CE，AE+BE=CE+BE=10，EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，故选B．点评： 本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（） 　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处考点： 角平分线的性质．专题： 应用题．分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解答： 解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D． 点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．　10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）　 A． 4个 B． 3 个 C． 2个 D． 1个考点： 等边三角形的判定．分析： 根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．解答： 解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选B．点评： 本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．　11．ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19考点： 三角形三边关系；平行四边形的性质．分析： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得ABD≌ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．解答： 解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，ABD≌ECD（SAS）．AB=CE．在ACE中，根据三角形的三 边关系，得AE﹣AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19．则9＜AB＜19．故选D． 点评： 解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．12．已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（2）EBD≌FCD；（3）AED≌AFD；（4）AD垂直BC．（） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析： 在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．解答： 解：（1）如图，AB=AC，BE=CF，AE=AF．又AD是角平分线，∠1=∠2，在AED和AFD中， ，AED≌AFD（SAS），∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ABD≌ACD．又由（1）知，AED≌AFD，EBD≌FCD．故（2）正确；（3）由（1）知，AED≌AFD．故（3）正确；（4）如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，ADBC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中线，角平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求一些简单的全等三角形．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．　二、填空题（每题3分，共24分）13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是　120　度．考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析： 知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．解答： 解：因为其底角为30°，所以顶角=180°﹣30°×2=120°．故填120．点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很 重要的方法，要熟练掌握．　14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　4cm　．考点： 含30度角的直角三角形．专题： 计算题．分析： 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．解答： 解：直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，斜边的长=2×2=4cm．故答案为：4cm．点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．　15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则　ABO　≌　DCO　，依据是　AAS　（用简写形式表示）． 考点： 全等三角形的判定．菁优网版 权所有分析： 题目中已有条件∠A=∠D，AB=CD，根据图形可知对顶角∠AOB=DOC，可以根据AAS定理判定ABO≌DCO．解答： 解：在ABO和DCO中， ，ABO≌DCO（AAS），故答案为：ABO；DCO；AAS．点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．　16．当m=　3　时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，再计算可得m的值．解答： 解：点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称，n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，解得：n=﹣4，m=3．故答案为：3．点评： 此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．　17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=　 　． 考点： 三角形的面积．分析： 首先利用勾股定理的逆定理得出ABC为RtABC，再利用SABC= AC×BC= AB×CD联立方程解答即可．解答： 解： AC=3，BC=4，BA=5，AC2+BC2=AB2，ABC为RtABC，CD是RtABC斜边上的高，SABC= AC×BC= AB×CD，AB×CD=AC×BC，即5×CD=3×4，CD=2.4．故答案为2.4．点评： 本题考查了三角形的面积计算公式以及勾股定理，利用这些知识点解决实际问题．　18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是　21cm或24cm　．考点： 等腰三角形的性质．分析： 等腰三角形两边的长为6m和9m，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解答： 解：①当腰是6cm，底边是9cm时，能构 成三角形，则其周长=6+6+9=21cm；②当底边是6cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=6+9+9=24cm．故答案为：21cm或24cm．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．　19．（3分） （2014秋•津南区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为　7cm或11cm　．考点： 等腰三角形的性质．专题： 分类讨论．分析： 根据题意画出图形，分情况讨论当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰长为xcm，底边长为ycm，根据等腰三角形的性质列出方程组，求出值后检验是否可以组成三角形．解答： 解：①当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意；②AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则： ，解得： ，经检验符合题意．故答案为：11cm或7cm． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．列出方程组是正确解答本题的关键．　20．七边形的内角和是　900°　．考点： 多边形内角与外角．分析： 由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．解答： 解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．故答案为：900°．点评： 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n﹣2）实际此题的关键．　三.作图题（每题5分，共10分）21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 首先过点A作垂直于直线m的垂线，进而截取得出A的对称点．解答： 解：如图所示：对称点A′即为所求． 点评： 此题主要考查了轴对称变换，作 出过点A与直线m垂直的直线是解 题关键．　22．已知：如图，ABC，分别画出与ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2． 考点： 作图-轴对称变换．分析： 根据题意作出ABC关于x轴、y轴对称的图形A1B1C1和A2B2C2即可．解答： 解：如图所示： 点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．　四.解答题（共6题，50分）23．如图，已知AEBC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数． 考点： 三角形内角和定理．分析： 先根据AEBC，∠CAE=20°求出∠C的度数，再根据∠ADB=110°求出∠DAE的度数，由AD平分∠BAE可得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠B度数．解答： 解：AEBC，∠CAE=20°，∠C=90°﹣20°=70°．∠ADB是ACD的外角，且∠ADB=110°，∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，解得∠DAC=110°﹣70°=40°，∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=40°20°=20°．AD平分∠BAE，∠DAE=∠BAD=20°．在ABD中， ∠BAD=20°，∠ADB=110°，∠B=180°﹣20°﹣110°=50°．点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．　24．已知：如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE． 考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．专题： 证明题．分析： 根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，即可求出答案．解答： 证明：ABC是等边三角形，BD是高，∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠CBD=30°，∠E+∠EDC=∠ACB=60°，CD=CE，∠E=∠EDC，∠E=30°=∠CBD，BD=DE．点评： 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理闹能力，解此题的关键是求出∠E=∠DBC=30°．25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：ABC≌CDA． 考点： 全等三角形的判定．专题： 证明题．分析： 由平行可得∠1=∠2，加上AB=CD，且AC为公共边可证得结论．解答： 证明：AB∥CD，∠1=∠2，在ABC和CDA中， ，ABC≌CDA（SAS）．点评： 本题主要考查三角形全等的判定，正确掌握三角形全等的判定方法是解 题的关键．　26．已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据垂直定义得出∠EAC=∠BAD=90°，求出∠EAD=∠BAC，根据SAS推出EAD≌BAC即可．解答： 证明：DAAB，CAAE，∠EAC=∠BAD=90°，∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD，∠EAD=∠BAC，在EAD和BAC中 EAD≌BAC，DE=BC．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．　27．如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论． 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明RtAED和RtAFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质解答即可．解答： 解：AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，DE=DF（角平分线的性质定理），在RtAED和RtAFD中， ，RtAED≌RtAFD（HL），AE=AF，又AD平分∠BAC，ADEF（等腰三角形的三线合一）．点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．　28．已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到ADC≌GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代 换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．解答： 证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．AD是BC边上的中线（已知），DC=DB，在ADC和GDB中， ADC≌GDB（SAS），∠CAD=∠G，BG=AC又BE=AC，BE=BG，∠BED=∠G，∠BED=∠AEF，∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，AF=EF． 点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．