一元一次方程教案汇总十篇
一元一次方程教案篇（1）
本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．难点是了解二元一次方程组的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作二元一次方程组的解．用大括号来表示二元一次方程组的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．
二、知识结构
本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、二元一次方程组（用描述的语言）以及二元一次方程组的解等概念．
三、教法建议
1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．
2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．
3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．
4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如
和矛盾方程组如
等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似
之类的二元一次方程组是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．
教学设计示例
一、素质教育目标
（－）知识教学点
1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．
2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．
3．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．
（二）能力训练点
培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．
（三）德育渗透点
培养学生严格认真的学习态度．
（四）美育渗透点
通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．
二、学法引导
1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．
2．学生学法：理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（－）重点
使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．
（二）难点
了解二元一次方程组的解的含义．
（三）疑点及解决办法
检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．
2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．
3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．
（二）整体感知
由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．
（三）教学过程
1．创设情境、复习导入
（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？
回答老师提出的问题并自由举例．
【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫．
（2）列一元一次方程求解．
香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：思考，设未知数，回答．
设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，
根据题意，得
解这个方程，得
答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．
上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？
设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程
观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？
观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．
方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．
这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．
【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．
2．探索新知，讲授新课
（1）关于二元一次方程的教学．
我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．
练习一
判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．
①②③
④⑤⑥
练
分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．
学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．
【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．
练习三
课本第6页练习1．
提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．
练习四
填表，使上下每对、的值满足方程．
师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．
【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．
（2）关于二元一次方程组的教学．
上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成
这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．
练习五
已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？
①②
③④
【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．
对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说
是二元一次方程组
的解．
学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．
教师纠正、指导后板书：
使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
例题判断是不是二元一次方程组的解．
学生活动：口答例题．
此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．
3．尝试反馈，巩固知识
练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．
（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．
4．变式训练，培养能力
练习：（1）P84．
【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．
（2）P8B组1．
【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．
（四）总结、扩展
1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．
2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．
3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．
八、布置作业
（一）必做题：P73．
（二）选做题：P8B组2．
一元一次方程教案篇（2）
(2)重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识(这里也表现为一种方法)，有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减(消元)法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
(1)本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
(2)讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
(3)讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
(第一课时)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤.
2.能运用加减法解二元一次方程组.
(二)能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
(三)德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
(四)美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
(-)重点
使学生学会用加减法解二元一次方程组.
(二)难点
灵活运用加减消元法的技巧.
(三)疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
(四)解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗?从而导入新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
(二)整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
(三)教学过程
1.创设情境，复习导入
(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第(1)题，在练习本上完成第(2)题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢?这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第(2)题的两个方程中，未知数的系数有什么特点?(互为相反数)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①+②，得
把代入①，得
学生活动：比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同.(相同)
上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了.观察一下，的系数有何特点?(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去?(相减)
学生活动：观察、思考，尝试用①-②消元，解方程组，比较结果是否与用①+②得到的结果相同.(相同)
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单?(加减法)
②在什么条件下可以用加减法进行消元?(某一个未知数的系数相等或互为相反数)
③什么条件下用加法、什么条件下用减法?(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1解方程组
哪个未知数的系数有特点?(的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去?(相减)
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)检验一下，所得结果是否正确?
(2)用②-①可以消掉吗?(可以)是用①-②，还是用②-①计算比较简单?(①-②简单)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①计算简单还是代入②计算简单?(代入系数较简单的方程)
练习：P23l.(l)(2)(3)，分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2解方程组
(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件?(不符合)
(2)如何转化可使某个未知数
系数的绝对值相等?(①×2或②×3)
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P231.(4)(5).
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
(1)选择：二元一次方程组的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
学生活动：第(1)题口答，第(2)题在练习本上完成.
【教法说明】第(1)题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性;第(2)题通过分析，学生可得方程组从而求得、的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
(四)总结、扩展
1.用加减法解二元一次方程组的思想：
2.用加减法解二元一次方程组的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.用加减法解二元一次方程组的步骤：
八、布置作业
(一)必做题：P241.
(二)选做题：P25B组1.
(三)预习：下节课内容.
一元一次方程教案篇（3）
（一）知识教学点：
1．了解根的判别式的概念．
2．能用判别式判别根的情况．
（二）能力训练点：
1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．
2．进一步考察学生思维的全面性．
（三）德育渗透点：
1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．
2．进一步渗透转化和分类的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．
三、教学步骤
（一）明确目标
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）a≠0，4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
学生板演、笔答、评价．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．
又不论k取何实数，≥0，
原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不论m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、布置作业
教材P．27中A1、2
五、板书设计
12．3一元二次方程根的判别式（一）
一、定义：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情况……练习：……
一元一次方程教案篇（4）
本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用.
1.幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
(都是正整数)
幂的乘方
的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质.
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成.
幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如.
2.积和乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即
(为正整数).
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如：
3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).
4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等.
三、教法建议
1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如
对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明
可以写成.这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基础上再导出性质.
2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明：
(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质.
(2)记清幂的运算与指数运算的关系：
(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);
幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.
3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么.三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因;要注意防止两个错误：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
幂的乘方与积的乘方(一)
一、教学目标
1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算.
2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力.
3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力.
4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神.
5.渗透数学公式的结构美、和谐美.
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、尝试指导法.
2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题.
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
准确掌握幂的乘方法则及其应用.
(二)难点
同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用.
(三)解决办法
在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质.
3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用
(二)整体感知
幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式.
(三)教学过程
1.复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示.
(2)计算：①②
2.探索新知，讲授新课
(1)引入新课：计算和和
提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法.计算过程按课本，并注明每步计算的根据.
观察题目和结论：
推测幂的乘方的一般结论：
(2)幂的乘方法则
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
字母表示：.(，都是正整数)
推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据.
(3)范例讲解
例1计算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2计算：
①
②
解：①原式
②原式
练习：①P971，2
②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()
A.B.
C.D.
(四)总结、扩展
一元一次方程教案篇（5）
1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.
2.通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；
3.通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.
2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.
3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.
4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.
三、教学过程
1．复习提问
（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？
（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？
（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？
（4）解方程组：.
（5）把下列各式分解因式：
①；②；③.
关于问题设计的说明：
由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由
两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接
受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.
2．例题讲解
例1解方程组
分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转
化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．
解：由（2）得
因此，原方程组可化为两个方程组
解方程组，得原方程组的解为
说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．
例2解方程组
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以
发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.
解：由（2）得
.
即，或.
因此，原方程组可转化为两个方程组
解这两个方程组，得原方程组的解为
巩固练习：
1．教材P60中1.此练习可让学生口答.
2．教材P60中2.此题让学生独立完成.
四、总结扩展
本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？
这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解.
关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.
五、布置作业
1．教材P61A1，2，3.
六、板书设计
探究活动
若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．
解：化简原方程，得（1）
当时，原方程有惟一解，符合题意．
当时，方程（1）根据的判别式
一元一次方程教案篇（6）
（一）知识教学点：
1．熟练地运用公式法解一元二次方程，掌握近似值的求法．
2．能用公式解关于字母系数的一元二次方程．
（二）能力训练点：培养学生快速准确的计算能力．
（三）德育渗透点：
1．向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法．
2．渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b2－4ac的正负．
3．教学疑点：对于首项系数含有字母的方程的解要注意分类讨论．
三、教学步骤
（一）明确目标
公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不仅可以求得方程中x的准确值，也可以求得近似值，不仅可以解关于数字系数的一元二次方程，还可以求解关于字母系数的一元二次方程．
（二）整体感知
这节内容是上节内容的继续，继续利用一元二次方程的求根公式求一元二次方程的解．但在原来的基础上有所深化，会进行近似值的计算，对字母系数的一元二次方程如何用公式法求解．由此向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法，通过字母系数一元二次方程的求解，渗透分类的思想，为方程根的存在情况的讨论等打下坚实的基础．
（三）重点，难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式．
一般式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
（2）说出下列方程中的a、b、c的值．
①x2-6＝9x；
②3x2＋4x＝7；
③x2＝10x-24；
通过以上练习，为本节课顺利完成任务奠定基础．
2．例1解方程x2＋x-1＝0（精确到0.01）．
解：a＝1，b＝1，c＝-1，
对于近似值的求法，一是注意要求，要求中有精确0.01，有保留三位有效数字，有精确到小数点第三位．二是在运算过程中精确的位数要比要求的多一位．三是注意有近似值要求就按要求求近似值，无近似值要求求准确值．练习：用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精确到0.01）
学生板演、评价、练习．深刻体会求近拟值的方法和步骤．例2解关于x的方程x2-m（3x-2m＋n）-n2＝0．
分析：解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数．解：展开，整理，得
x2-3mx＋2m2-nm-n2＝0．
a＝1，b＝-3m，c＝2m2-mn-n2，
又b2-4ac＝（-3m）2-4×1×（2m2-mn-n2），
＝（m＋2n）2≥0
x1＝2m+n，x2＝m-n．
分析过程，b2-4ac＝（m＋2n）2≥0，此式中的m，n取任何实
详细变化过程是：
练习：1．解关于x的方程2x2-mx-n2＝0．
解：a=2，b=-m，c=-n2
b2-4ac＝（-m）2-4×2（-n2）
＝m2+8n2≥0，
学生板书、练习、评价，体会过程及步骤的安排．
练习：2．解：于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．
解：A＝ab，B＝-a4-b4，C＝a3b3
B2-4AC＝（-a4-b4）2-4ab•a3b3
＝（a4＋b4）2-4a4b4
＝（a4-b4）2≥0
学生练习、板书、评价，注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的变化过程．注意ab≠0的条件．
练习3解关于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．
分析：此方程的字母没有任何限制，则m，n为任何实数．所以此方程不一定是一元二次方程，因此需分m＋n＝0和m＋n≠0两种情况进行讨论．
解：（1）当m＋n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可变为
（4m＋2m）x-m-5m＝0．
m≠0解得x＝1，
（2）当m＋n≠0时，
a＝m＋n，b＝4m-2n，c＝n-5m，
b2-4ac=（4m-2n）2-4（m＋n）（n-5m）＝36m2≥0．
通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想．
（四）总结、扩展
1．用公式法解一元二次方程，要先确定a、b、c的值，再确定b2－4ac的符号．
2．求近似值时，要注意精确到多少位？计算过程中要比运算结果精确的位数多1位．
3．如果含有字母系数的一元二次方程，首先要注意首项系数为不为零，其次如何确定b2－4ac的符号．
四、布置作业
教材P．14练习2．
教材P．15中A：5、6、7、8。
五、板书设计
12．1一元二次方程的解法（五）
一元二次方程的一般形式及求根公式例1．……例2．……
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)…………
练习．……
六、作业参考答案
教材P．14
教材P．15A：5（1）x1≈4.54，x2≈-1.54
（2）x1≈3.70x2≈0.54
6、（1）x1＝3，x2＝-3；
（2）x1＝7，x2＝3；
（4）x1＝-29，x2＝21；
教材P．17B4
解：由题得3x2＋6x-8＝2x2-1
一元一次方程教案篇（7）
（一）知识教学点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．
（二）能力训练点：通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．
（三）德育渗透点：通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：熟练掌握用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：用配方法解一元二次方程．
3．教学疑点：对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解．
三、教学步骤
（一）明确目标
解一元二次方程有四种方法，四种方法各有千秋，究竟选择什么方法最适当是本节课的目标．在熟练掌握各种方法的前提下，以针对一元二次方程的特点选择恰当的方法或者说是用简单的方法解一元二次方程是本节课的目的．
（二）整体感知
一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法．
在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，符合形如（ax＋b）2＝c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的方程均适合用直接开平方法．直接开平方法为配方法奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）3x2＝x＋4；
（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；
（3）（x＋3）（x-4）＝-6；
（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．
此组练习尽量让学生眼看、心算、口答，使学生练习眼、心、口的配合．
（2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点．
直接开平方法：适合于解形如（ax＋b）2＝c（a、b、c为常数，a≠0c≥0）的方程，是配方法的基础．
配方法：是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法．
公式法：是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．
直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法．
2．练习1．用直接开平方法解方程．
（1）（x-5）2＝36；（2）（x-a）2＝（a＋b）2；
此组练习，学生板演、笔答、评价．切忌不要犯如下错误
①不是x-a=a+b而是x-a=±（a+b）；
练习2．用配方法解方程．
（1）x2-10x-11=0；（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
配方法是解决代数问题的一大方法，用此法解方程尽管有点麻烦，但由此法推导出的求根公式，则是解一元二次方程最通用也是最常用的方法．
此练习的第2题注意以下两点：
（1）求解过程的严密性和严谨性．
（2）需分b2-4ac≥0及b2-4ac＜0的两种情况的讨论．
此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透．
练习3．用公式法解一元二次方程
练习4．用因式分解法解一元二次方程
（1）x2-3x＋2＝0；（2）3x（x-1）＋2x＝2；
解（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，
（x-1）（3x＋2）＝0，
x-1=0或3x+2=0．
如果将括号展开，重新整理，再用因式分解法则比较麻烦．
练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．
解：由题意得3x2＋6x-8＝2x2-1．
变形为x2＋6x-7=0．
（x＋7）（x-1）＝0．
x＋7＝0或x-1＝0．
即x1＝-7，x2＝1．
当x＝-7，x＝1时，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等．
学生笔答、板演、评价，教师引导，强调书写步骤．
练习6．选择恰当的方法解下列方程
（1）选择直接开平方法比较简单，但也可以选用因式分解法．
（2）选择因式分解法较简单．
学生笔答、板演、老师渗透，点拨．
（四）总结、扩展
（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．
（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．
四、布置作业
1．教材P．21中B1、2．
2．解关于x的方程．
（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，
（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．
4．（1）解方程
①（3x＋2）2＝3（x＋2）；
（2）方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程．
五、板书设计
12．2用因式分解法解一元二次方程（二）
四种方法练习1……练习2……
1．直接开平方法…………
2．配方法
3．公式法
4．因式分解法
六、作业参考答案
1．教材P．2B．1（1）x1=0，x2=；（2）x1＝，x2=；
2：1秒
2．（1）解：原方程可变形为[x-（a＋b）][x-（a-b）]＝0．
x-（a＋b）＝0或x-（a-b）＝0．
即x1=a＋b，x2=a-b．
（2）解：原方程可变形为（x+2p）（x-2q）＝0．
x＋2p=0或x-2q=0．
即x1＝-2p，x2=2q．
原方程可化为5x2+54x-107=0．
（2）解①m2-3m＋2≠0．．
m1≠1，m2≠2．
一元一次方程教案篇（8）
（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
二、教学重点、难点
1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．
2．教学难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
三、教学步骤
（一）明确目标
在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
（二）整体感知
通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？
（2）平方根的概念及开平方运算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移项，得x2＝4．
两边开平方，得x＝±2．
x1＝2，x2＝-2．
分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．
练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
3．例1解方程9x2-16＝0．
解：移项，得：9x2=16，
此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题
负根．
练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一个整体y．
例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，
两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．
练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．
例3解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移项，得：（2-x）2＝81．
两边开平方，得：2-x=±9
2-x＝9或2-x＝-9．
x1=-7，x2＝11．
解法（二）
（2-x）2＝（x-2）2，
原方程可变形，得（x-2）2=81．
两边开平方，得x-2＝±9．
x-2＝9或x-2＝-9．
x1＝11，x2＝-7．
比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．
练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．
那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．
（四）总结、扩展
引导学生进行本节课的小节．
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．
3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
四、布置作业
1．教材P．15中A1、2、
2、P10练习1、2；
P．16中B1、（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0
解：…………
……例2解方程（x＋3）2＝2
此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法
形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c为常数，a≠0，c≥0）可用直接开平方法
六、部分习题参考答案
教材P．15A1
一元一次方程教案篇（9）
（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．
（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点
1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根
的简单延续．
三、教学步骤
（一）明确目标
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．
（二）整体感知
由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．
求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．
通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．
2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移项，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．
教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．
3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，
a≠0，4a2＞0当b2－4ac≥0时．
①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．
从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1解方程x2－3x＋2＝0
解：a＝1，b＝-3，c＝2．
又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，
x1=2，x2=1．
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝
由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
练习：P．16中2（8）．
（四）总结、扩展
引导学生从以下几个方面总结：
≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．
2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如
a≠0，4a2＞0．当b2－4ac≥0时，……
（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．
（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．
四、布置作业
教材P．14练习1
教材P．15习题12、1：4．
参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1一元二次方程的解法（四）
1．求根公式：例：用配方法推导出一元例1……
二次方程ax2+bx+c=0……
(a≠0)的根．练习……
2．公式法及其步骤解：解：…………
（1）……
（2）……
（3）
（4）
一元一次方程教案篇（10）
)
A．3＋2＝5
B．x＝1＋4x
C．2x－3
D．a2＋2ab＋b2
2．下列方程中，解为x＝1的是(
)
A．2x＝x＋3
B．1－2x＝1
C.
＝1
D.－＝0
3．如果方程(m－1)x2|m|－1＋2＝0是一个关于x的一元一次方程，那么m的值是(
)
A．0
B．1
C．－1
D．±1
4．已知x＝y，则下面变形不一定成立的是(
)
A．x＋a＝y＋a
B．x－a＝y－a
C.＝
D．2x＝2y
5．下列变形正确的是(
)
A．4x－5＝3x＋2
变形得4x－3x＝2－5
B.
x＝变形得x＝1
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6
D.
－＝1
变形得3x＝6
6.
方程5x－＝4x－的解是(
)
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．以上答案都不是
7．若方程3(2x－2)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为(
)
A.
B．－
C.
D．－
8．已知代数式－6x＋16与7x－18的值互为相反数，则x＝____．
9．小华同学在解方程5x－1＝(
)x＋3时，把“(
)”处的数字看成了它的相反数，解得x＝2，则该方程的正确解应为x＝____．
10．已知关于x的一元一次方程kx＝5，k的值为单项式－的系数与次数之和，则这个方程的解为x＝____．
11．如果x＝1是方程2－(m－x)＝2x的解，那么关于y的方程m(y－3)－2＝m(2y－5)的解是y＝____.
12．解方程：
(1)3x－5＝2x；
(2)x＝x－；
(3)4x－3(20－2x)＝10；
(4)10y－5(y－1)＝20－2(y＋2)；
(5)＝－1；
(6)＝；
13.
学校组织春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆汽车坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设汽车有x辆，可列方程(
)
A．45x－28＝50(x－1)－12
B．45x＋28＝50(x－1)＋12
C．45x＋28＝50(x－1)－12
D．45x－28＝50(x－1)＋12
14．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品的进价为(
)
A．140元
B．120元
C．160元
D．100元
15.
如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码，现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球的质量为(
)
A．10克
B．15克
C．20克
D．25克
16.
王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了____千克．
17．诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答尖头有：____盏灯．
18.
某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件．商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
19.
联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
(1)
这两次各购进电风扇多少台？
(2)商场以250元/台的售价卖完这批电风扇，商场获利多少元？
20.
甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200米，两人同时从起点同向出发，经过3分钟两人首次相遇，此时乙还需跑150米才能跑完第一圈．
(1)求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？
(2)若两人相遇后，甲立即以每分钟300米的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2分钟两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
21.
为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次
每户每月用电数(度)
执行电价(元/度)
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元，已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
答案：
1.
B
2.
C
3.
C
4.
C
5.
D
6.
B
7.
B
8.
2
9.
2
10.
3
11.
12.
(1)
解：x＝5
(2)
解：x＝－
(3)
解：x＝7
(4)
解：y＝
(5)解：y＝
(6)
解：x＝－
13.
C
14.
B
15.
A
16.
5
17.
3
18.
解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到45%的预期目标，则依题意，得
＝45%，解得x＝20.故每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标
19.
(1)解：设第一次购进电风扇x台，则第二次购进电风扇(x－10)台，依题意，得150x＝(150＋30)(x－10)，解得x＝60，所以x－10＝50.故这两次各购进电风扇50台、60台
(2)解：250×(50＋60)－150×60－(150＋30)×50＝9
500(元)．故商场获利9
500元
20.
解：(1)设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟(x＋200)米，依题意，有3x＋150＝200×3，解得x＝150，则x＋200＝350，故甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米；(2)设乙的速度至少要提高每分钟y米，根据(1)可知，跑道的长度为150×3＋150＝600(米)，依题意有1.2(300＋150＋y)＝600，解得y＝50，故乙的速度至少要提高每分钟50米
