离散数学论文篇（1）

2、复杂系统基本特征

近几十年来，以具体应用的系统工程开始，逐步发展了一门新的现代科学技术---系统科学。对于一个系统，根据组成子系统以及子系统种类的多少和它们之间的关联复杂程度，可分为简单系统、简单巨系统和复杂巨系统。其中，子系统种类很多并有层次结构，且关联关系很复杂的，称为开放的复杂巨系统（或简称复杂系统）。

虽然目前关于复杂系统的认识与定义尚未统一，但是对复杂系统的基本特征的认识却比较一致.一般认为复杂系统具有以下特征：

（1） 自适应性/自组织性（self-adaptive/ self- organi-zation）。

（2） 不确定性（uncertainty）。

（3） 涌现性（emergence）。

（4） 预决性（Finality）。

（5） 演化（Evolution）。

（6）开放性（opening）。

3、离散数学课程中的知识关系

对于以有限或可数个元素为研究对象的离散数学课程而言，它以研究离散量的结构、离散数据模型以及它们之间的相互关系为主要目标.计算机科学与技术领域中的许多离散量模型，需要采用离散数学所涉及的内容、方法以及理论做出深入的描述和优化处理.

同时，离散数学课程中所涉及到的的知识要点体系，有助于学生概括抽象能力、逻辑思维能力以及归纳构造能力的提高，强有益于学生的严谨、完整、规范的科学态度的培养.离散数学课程所包含的多个要点分支，如逻辑推理、集合关系论、图论、代数系统等，都与计算机科学与技术专业的后续核心专业课程有紧密的关系。表 1给出了离散数学课程同计算机专业后续课程相关核心知识要点之间的对应关系。

由于离散数学课程分类为四大模块，模块之间的知识点分散，有的模块理论性强且高度抽象如代数系统模块，若仅仅采用传统的教学方法来完成教学任务，学生将难于理解和掌握，不能达到预期的教学效果.为此，在传统的离散数学教学过程中引入一些经典有意义的复杂系统相关知识模型，用系统的方法实施教学，既可达到对离散数学的基本理论作验证的目标，也有助于巩固先导的学习内容，同时实现为后续课程的学习打下基础的目的。此法，不仅能够有效的激发学生对该类课程学习的积极性、主动性，也有助于培养学生的创新意识及创新能力。同时也可以达到锻炼学生的大局观、系统观分析解决实际问题的目标.

4、离散数学课堂融入系统理论模型的过程分析

（1）天气预报、大气模型成因等系统模型在逻辑推理相关模块中的作用分析.

若单纯采用传统的教学手段，讲解逻辑推理相关知识模块，很难达到理想的教学效果.为此，在实际的教学过程中我们结合采用倒推式系统模型，如大气成因模型、天气预报模型，将有效结论作为推理问题处理的核心要点，进而抛出范式问题求解的必要性，最后引出命题公式中的一系列零碎知识要点.法此，可快速有效的将命题逻辑相关问题掌握。

（2）百度推广公交换乘等系统模型在集合关系模块中的作用分析。

关系的本质是集合，关系问题讲解的要点及学习的难点，在于关系性质的判断以及关系闭包问题的求解，而关系的传递性以及传递闭包问题讲解的一大突破口在于掌握好关系的幂运算，有效采用百度推广公交换乘等系统模型，讲实关系运算中的合成运算，可以有效突破关系的幂运算，进而解决关系的传递性及传递闭包这一教学难点。

（3）信息安全群论模型系统在代数系统教学中的应用分析.

通信过程中错误不可避免，快速的发现错误并及时的改正错误，是一急需解决的问题。良好的代数系统结构可以提供这一问题的解决方案。因此，在代数系统相关内容的讲解过程中，及时将典型的代数系统结构，以安全系统模型为出发点，对学生有效地掌握好该模块知识点起到良好的促进作用.

（4）动态规划图模型在图论教学中分析。

离散数学论文篇（2）

之前是以微积分连续数学作为时代主流，随着科学技术的不断发展和计算机技术的广泛应用，离散数学逐渐出现在人们视野范围内并被重新认知。离散数学课程教学中所阐述的数学思想和数学学习方法被应用到计算机技术中并起到关键性作用。本文针对计算机离散数学发展现抓，对计算机科学中离散数学的应用进行具体分析和阐述，希望为我国计算机事业领域的发展的贡献出一份力量。

1.计算机科学中离散数学在关系数据库中的应用要点分析

1.1数据子语言

众所周知，我们通常所说的数据子语言就是关系数据库当中相应数据管理系统为计算机用户提供有利的数据库语言。而数据子语言以关系代数作为主要表示手段，其中谓词逻辑也是数据子语言表达的一种表达形式。上述内容主要是由数学方法进行详细阐述，并在此过程中使语言研究信息为关系代数研究以及相关逻辑谓词研究提供有利契机。

1.2笛卡儿积原理

因为在数据库子语言中会运用到数学表示方法，并且数学表示方法会使关系数据库条件变得更为优越，所以关系数据库的发展已是当前计算机信息时代中一种必然发展趋势。另外需要提到的一点是，离散数学学科中的笛卡儿积原理是一种较为正规的纯数学理论，并且迪卡儿积原理也是研究关系数据库系统中的一种极为重要的使用方法，其不可替代性是毋庸置疑的。

笛卡儿积可以为离散数学提供数学理论以及数学方法上的支持，更为重要的却是其也在一定程度上推动了数据库技术的研究以及数据库技术的发展等。此时相应关系数据模型是建立在有关集合代数基础之上的，且关系数据模型中的数据逻辑结构是由二维表来进行数据模型关系具体描述，而二维表则是由行和列进行表格组成。图为笛卡儿积关系代数运算示意：

图1 笛卡儿积关系代数运算示意图

各个实体集中域之间的可能性条件关系确定数据查询和各集中域域表结构设计维护功能以及各实体集中域件关系操作数据关系分析三者的查询实现与维护功能关系分解等问题都是由二元关系理论进行具体解决的。

2.离散数学在相关数据结构中具体应用要点分析

2.1数据结构知识应用

要想使得计算机正常平稳运行并能够合理解决其中要点问题，首先要做到的一点就是应该合理应用数据结构知识。而在处理问题信息数据问题的过程中，我们应从具体问题中进行详细数学模型抽取，之后在此基础上设计出能够解答数学模型问题的相应算法，只有这样才能对最后程序进行科学合理编排并能够通过测试环节以及调整环节等得到最后答案。

2.2数据模型选取

在对数据模型进行选取的过程其实质上就是对数据结构内容进行具体研究的一个过程，而对数据结构模型进行分析才是其中重点，从实质问题中进行操作对象提取并找出各个对象之间所包括的关系用数学语言对操作对象进行细节描述。我们通常所说的操作对象被相应数据结构将其关系分为四个种类，具体包含集合结构、线性结构和树形结构以及网状结构等。对数据库进行研究的过程中其内容主要包括数据逻辑结构和数据物理存数结构以及数据基本运算操作流程等。广义来讲，数据逻辑结构式数据结构操作对象中的重点针对环节，数据逻辑结构和数据基本运算流程二者操作方法是由离散数学理论中的数学离散结构来决定的。

2.3离散数学具体结构中结构知识要点

离散数学集合论、离散数学关系和离散数学图论以及离散数学树集体反映出了离散数学具体结构中的结构知识要点。最为重要的一点就是，离散数学集合元素组成中其元素实际上其是指较为客观的具体事物，离散数学关系则是指所集合各个离散数学元素之间所存在的一种特定关系。离散数学图论中的大多数古老题目还被现代离散数学所应用。离散数学树则是以反映事物对象关系为主的，离散数学树模型是组织结构图和二进制编码工作工程中主要模型基础，只有依照相应离散数学树型理论才能在一定程度上完备相应结构模型。

3.离散数学在社会编译原理中的相关应用要点分析

3.1编译系统程序

一般而言，编译系统程序中的计算机操作流程相对较为复杂，常用编译程序一般分为语法分析编译程序、中间代码生成编译程序和词法编译分析程序以及语义分析编译程序四种主要类型。需要提到的是，代码优化编译程序和错误检查处理编译程序以及目标代码生成编译程序等都是计算机编译程序中的重要组成部分。图为编译原理结构图示意：

图2 编译原理结构图示意

3.2文法计算模型

文法计算模型和有限状态机计算模型以及图灵机计算模型是离散数学计算模型中的主要模型讲解章节，而计算模型知识则是由语言识别知识、有限状态机知识、图灵机知识和语言知识以及文法知识等。短衣结构文法是按照相应生产类型来进行具体结构分类的，一般分为0型文法、1型文法和2型文法以及3型文法。综上所述，在运用上述知识点进行编译原理语法分析的过程中皆会起到关键性作用，所以我们应该了解到，要想对编译原理进行深入学习探究就必须对离散数学知识进行整体掌握。

结束语

综上所述，在我们进行语言程序设计、编译技术和数据结构以及相应算法设计分析时都会运用到离散数学。对离散数学进行具体学习，可以在对离散数学基本机构以及离散数据基本学习方法掌握的同时也可以为相应后续课程学习创造有利学习条件。其在关系数据库中和数据库结构中以及编译原理中都有着重要应用，本文根据离散数学在多个技术领域中的应用要点进行分析和阐述，希望为离散数学的探究和发展提供一些合理化建议。

参考文献

离散数学论文篇（3）

【关键词】离散数学 计算机学科 应用探究

在离散数学的应用中，离散对象是离散数学中常见的内容，离散是指元素不能有效连接的元素，由于计算机学科的发展以及离散数学的独特性，离散学科的可行性研究是一个重要的研究领域，在离散数学的的研究中，需要进一步找出离散变量的存在性，并根据该变量的存在特点，找出该问题有规则的计算步骤，由于计算机属于一个离散结构，其研究对象均为离散式，因此，需要离散数学知识的支持，以便促进计算机学科的发展。

1 离散数学应用于计算机学科中的必要性

离散数学作为计算机学科应用数学的一种有效工具，对于整个计算机学科的发展研究起着重要的推动作用，在计算机学科的形式语言中，可以通过离散数学的自动机理论来研究整个形式语言的发展，并且可以对计算机学科中的程序进行适当的探索产生灵感，在离散数学中的谓词演算、代数结构等理论，都可以为计算机学科的进一步发展提供相关的理论依据，促进计算机学科的研究进程，但是，如果对离散数学的内容没有清楚的理解，在计算机的学科研究中，可能会失去这一灵感来源。因此要重视离散数学对于计算机学科应用的重大意义。

2 离散数学在计算机学科的内部具体应用

2.1 在数据结构中的应用

在计算机的数据结构中，计算机内部操作对象之间的关系可以分为集合、树形结构、线性结构、图状结构、网状结构等，由于计算机学科中，需要利用这些计算机数据结构进行问题研究和决策，以解决数据结构中出现的具体问题，在离散数学具体问题中逐渐归纳演绎出一个合适的计算机数据操作模型，然后根据这个操作模型运行的规则，设计、编出相应的程序，并对先行程序进行测试和调整，形成完善的数据结构模型，然后，对数学模型实质进行分析，并提取出操作的对象，了解之间的关系，使用数学的语言对其进行描述。数据结构操作模型根据逻辑结构、基本运算规则、物理存储等内容，建立比较完善的数据结构运行规则。而离散数学中的离散结构深刻影响了这一系列的逻辑结构和运行操作规则，因此可以说，离散数学中的集合论、关系、树以及图论等知识内容充分反映出数据结构的结构知识。

2.2 在数据库中的应用

计算机学科中的数据库是应用离散数学最明显的地方，在计算机学科的数据库建立中，关系数据库是最流行的关系模式，比如，离散数学中的笛卡尔数学理论，对计算机学科中的关系数据库形成具有关键作用，并且在相关离散数学理论的应用中，不仅促进了关系数据库的不断完善和发展，同时也有利于促进计算机学科理论的完善。再比如，集合代数可以为关系数据模型的建立提供基础条件，其数据的逻辑结构需要以行与列组成的二维方式来描述。并且通过相关的二元关系理论帮助计算机学科中建立查询、维护功能。

2.3 在编译原理中的应用

计算机学科中的计算机的编译程序是比较复杂的操作之一，这些编译程序包括词法、语句、语义、代码优化、错误信息检查与处理等各个部分，而在离散数学的计算模型内容中，有关的有效状态、文法、图灵机等内容为这些程序的编译提供了可靠的研究来源，这些内容的具体内涵包括语言与文法、有限状态机、图灵机与有限状态等知识结构内容，采用这些离散数学知识可以有效的形成罗塑形术，运用此种方法，可以让逻辑语文的内容更加详实，从而架构起图款存库与语言演绎的关联，最后，对所有具有关联性的内容进行逻辑推理测试，核实编译程序的正确性和操作的便利性。因此，在离散数学的框架内，逐渐形成了对问题进行自动分析、解决的计算机编译程序。

3 离散数学在计算机学科的外延具体应用

3.1 在人工智能中的应用

在计算机学科的离散数学研究应用中，计算机外延的结构系统人工智能就是很好利用离散数学的例子，其逻辑推理同样是人工智能利用的重点，首先是可以改善人工智能的实际作用。通过将微词逻辑语言进行逻辑推理式的演绎过程，为接下来的程序构造做好的流程疏通的作用，而这些逻辑的规则赋予了数学语句更加精确的定义。其次是离散数学图例对人工智能的影响，这些离散数学的图例为早期的人工智能发展起了很大作用，促进整个早期人工智能研究方法和理论的成熟。最后是离散数学的布尔代数章节为人工智能的提供了方法管理的依据，同时也很好的奠定了护理基础的研究。因此，可以说大多数离散数学的内容，可以很好的促进人工智能技术的改善和发展。这都要求有着更深刻的推理机制起着重要作用，起到了降低专家思维机制的错误率，提高分析问题的准确度，从而实现机器的智能化。

3.2 在计算机体系结构中的应用。

指令系统的设计与改进是计算机学科体系的重要内容，良好的指令系统设计与改进可以明显提高整个计算机体系的性能，而指令系统的优化和改进几乎都是通过对离散数学某些概念、理论的应用才能实现的。比如，对指令格式的优化，如果系统的指令在指令的操作码和地址码不能有效的运转时，根据离散数学中哈弗曼压缩的概念，将指令的平均字长进行无损压缩，从而减少该问题出现的概率，因此，适当的使用优化技术对发生概率最高的事件使用最短的时间来处理，达到了优化指令格式的目的。此外，当对位数缩短时，同样可以利用离散数学中的哈弗曼算法，将指令系统中的指令操作频率进行结构优化，构建出哈夫曼树叉图形，将这些分叉上的频率分析归类，应用到计算机体系结构中。

4 结束语

在计算机学科迅速发展的今天，对于离散数学的进一步研究分具有很深远的意义，因为离散数学可以为计算机学科发展，提供有效的逻辑推理依据，帮助计算机学科学生发展逻辑推理能力，并将这些离散数学概念逐渐应用到计算机学科的方方面面，在提高学生逻辑思维能力的同时，强化了学生的创新思维，同时更好的掌握现代化计算机学科知识，需要对离散数学进行有效的掌握，以便促进计算机学科更好的发展。

参考文献

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[2]陈敏，李泽军.离散数学在计算机学科中的应用[J].信息技术与课程整合，2013，28（12）：893-894.

离散数学论文篇（4）

关键词：离散数学；计算机专业；实验教学

中图分类号：G642.423 文献标识码：B

1引言

离散数学课程内容概念多、理论性强、高度抽象，致使在实际教学中出现了学生学习兴趣不高、学习目的不明确、学习效果不理想等现象。因此，如何激发学生对这门课程的兴趣，从而调动学生的学习积极性，进而提高课程的教学质量，对学生后续课程的学习和进一步的科学研究都有重要的现实意义。

本文结合课程组近年来离散数学课程的教学实践，分析了离散数学课程教学现状和在教学中增加实验环节的必要性，讨论了实验教学具体安排。

2离散数学教学现状

目前国内离散数学课程大致可以分为三个层次：一、少数顶尖院校(清华，北大、南京大学等)为强化基础理论，将离散数学课程分拆为多门课程，如北大分成三门：集合论与图论、数理逻辑、代数系统与组合数学，他们的学时达200学时左右。二、大多数部属重点院校的离散数学课程，兼顾信息科学技术所涉及的离散结构数学模型的讲授，内容较为宽广深入，讲授课时大约在80～120学时。三、相当一部分院校要求略低，只讲授和信息技术应用有关的离散结构数学模型。经过调查，目前大多数院校是属于第三种情况。教学模式大多数以“课堂讲授+课后作业+习题课”为主，部分学校引入了网络教学交流平台和实验环节。

我校计算机与通信工程学院下设三个专业：计算机科学与技术、软件工程专业和通信工程专业，都将离散数学列为专业基础必修课程。计算机科学与技术专业从2003级开始将离散数学拆分为集合与图论、代数结构与数理逻辑，学时达到102个学时，其中集合与图论增加了12学时的上机实验。

3离散数学增加实验环节的必要性

作为一门专业基础课程，离散数学有着自身的特点：定义定理多、方法性强、有穷性。在教学过程中，学生普遍质疑学习这门课程到底有什么用，反映求解方法灵活，不易掌握。笔者在教学实践中，不断总结教学经验，积极探索教学方法，在提高自身素质的同时，力求有效激发学生学习积极性和能动性，从而提高教学质量。经调研，针对离散数学课程的教学研究多数侧重教学内容探讨和教学方法及手段的改进，对于实践教学涉及的很少。

通过几年的教学实践，笔者深刻体会到将实验环节引入离散数学课程理论教学有以下几方面优势：

(1) 符合认知事物的规律

从学生的认知规律可以知道，学生学习理解知识，总是从感性认识到理性认识，从实践升华到认识，再实践，再认识的螺旋式上升，渐渐推进和深入的。离散数学课程很多知识点过于抽象，学生难以理解。通过上机实验可以帮助学生加深对相应知识点理解与消化，进一步加深理解离散数学在计算机解决问题中的重要作用，提高利用计算机解决问题的能力和软件开发的能力。

(2) 学生成为教学活动中的主体

在实验教学活动中，学生的学习由以老师讲授为主，被动的接受老师的思想和知识，变为主动的学习，有助于提高学生学习积极性，更有利于学生创新能力的培养。教师角色将逐步发生变化，由传统的课堂教学中的知识讲授者变成信息组织、编织者，成为学生学习的引导者、帮助者、促进者。

(3) 增强了课程之间的衔接，有助于学生对课程体系的了解与认识

以离散数学与数据结构为例。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。离散数学中集合与图论的各章节就反映了数据结构中四大结构的知识。通过相关实验设计再在计算机上加以实现，不仅巩固学生的理论知识，而且有助于学生对后续课程的学习。

(4) 有助于增进师生交流

教学是教师与学生互动的过程。通过面对面的实验辅导，特别是对于大课堂授课的情况，无形中增进了师生之间的认识和理解，从而缩短了师生间的距离。学生就在首先接受教师的前提下，接受其所讲授的课程，从而达到事半功倍的教学效果。

因此，改革离散数学课程，增加实验教学环节课时，已经成为迫切的需要。

4实验教学实践

我校计算机科学与技术专业将离散数学拆分为集合与图论、代数结构与数理逻辑分两个学期上。集合与图论总学时54学时，实验学时12学时。代数结构与数理逻辑总学时48学时，暂时没有开设实验。

(1) 集合论部分

二元关系是离散数学教学中的一个重要内容，也是数据结构、数据库、算法分析、计算机理论等课程的数学基础或数学工具。然而, 在实际教学中我们发现计算机专业学生对这部分知识很难深刻理解和掌握。原因之一是许多教材没有从计算机学科的角度进行考虑，偏重于从数学的层面进行理论描述。因此，在二元关系的教学中我们尝试引入了实验内容(见表1)，主要针对关系的性质(自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性) 和关系运算，以及等价关系相关知识点。让学生将已经学过的线性代数、程序设计等知识与关系的学习相结合，增加学生对关系知识的亲切感，降低学习过程的难度。

(2) 图论部分

图是一类相当广泛的实际问题的数学模型，有着极其丰富的内容。其应用已涉及计算机科学、信息论、控制论、网络理论等诸多领域。特别对于计算机专业学生来说图论是直接后继课程数据结构中树与图的理论基础。这部分上机实验设计结合数据结构相关内容进行设计(见表2)，主要针对图的表示与基本性质、树的表示与性质等知识点，一方面帮助学生理解难点，另一方面直接为数据结构课程打下基础。

课程组从我校计算机科学与技术专业2002级开始试行实验教学，从2003级开始正式执行实验教学大纲。从学生的反馈信息来看，增开学生上机实验，大大提高了学生学习积极性，增进了对相应知识点的理解，同时有效提高了学生的编程能力。尤其是本专业继本课程之后紧接着开设了数据结构课程，该课程授课教师也反映图论部分的上机安排有助于数据结构课程中树形及图状结构部分的教学。

课程组下一步计划在此基础上改进实验设计，结合相关后续课程，以利用理论知识解决实际问题的形式来组织实验项目。同时准备将代数结构与数理逻辑部分的上机实验纳入新的教学计划，完善实验教学环节。

4结论

如何激发学生对课程的兴趣，从而调动学生的学习积极性，进而提高课程的教学质量，是教学研究的核心问题之一。对于理论性强、内容抽象的离散数学课程来说，增加上机实验环节能够充分调动学生学习积极性，加深学生对知识的理解，同时对后续专业课程的学习奠定了基础。同时我们充分利用现有的多媒体与网络技术，逐步形成“抓好课堂讲授、上机实验、课后作业三个基本环节，采取多种形式课后辅导与交流”的教学模式。课程组将在完善实验环节的基础之上，进一步加强课程体系建设，不断改进离散数学教学模式，深化教学改革。

参 考 文 献

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离散数学论文篇（5）

中图分类号：G642 文献标识码：A

文章编号：1672-5913 (2007) 24-0062-03

1引言

“离散数学课程”是介绍“离散数学”各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，现已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程，IEEE&ACM的CC2001教程更是以十分显著的方式强调了这一点。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在"数字电路"、"编译原理"、"数据结构"、"操作系统"、"数据库系统"、"算法的分析与设计"、"软件工程"、"人工智能"、"多媒体技术"、"计算机网络"等专业课程以及"信息管理"、"信号处理"、"模式识别"、"数据加密"等相关课程中；它所提供的训练，十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到分布式系统，无不与离散数学密切相关。

2离散数学的教学内容

由于计算机无论多么先进，都只能处理有限的离散数据，正因为如此，才使得离散数学和计算机有了莫大的联系。那么，是不是所有研究离散结构的数学都归于离散数学呢？基于各种原因，许多具有离散结构的数学，并不一定属于离散数学。离散数学可以说是和计算机一起发展起来的学科，是一门新兴的学科，对于究竟什么属于离散数学，人们也没有完全一致的看法。如同我们的教材，把数理逻辑、集合论、群论、图论都归为离散数学。另外，不少学者把组合学、计数、排列也归为离散数学。其实，数学本一家，精确划分没有必要。但我认为，离散数学的核心应是组合数学和图论。只可惜，我们的教材中几乎没有组合数学，这一点，实在是一大缺憾。

离散数学包括的教学内容，对每一个从事计算机技术的人都要求掌握和了解。因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。总之，为了适应计算技术的要求及将来的发展，学生需要对离散结构有比较深入的理解。

3离散数学的教学方法

离散数学作为一门计算机专业的核心基础课，往往开设的比较早，所以很多同学在学习这门课的时侯还缺乏对其价值的认识。再加上对数学的敏感性，所以很排斥它。如何教好这门课，除了让学生对这些内容感兴趣外，还要让他们对其在计算机中的应用有些感性认识。因此，在介绍离散数学的每一分支时，都要分三步走：

第一，先要了解这一分支的悠久历史；

第二，学习它的基本概念、基本理论和基本研究方法；

第三，了解它在计算机科学中的应用。

(1) 各分支的悠久历史

数学推理与逻辑之间，有着密切的联系，早在两千多年前的古希腊，就有了逻辑学的萌芽。不过那时的逻辑称为古典逻辑，属于哲学的范畴。数理逻辑诞生于十九世纪中叶，源于古典逻辑。

群论诞生于十九世纪二十年代，由法国天才数学家伽罗华创立。有趣的是，他创立群论的目的是为了解决高次方程求根问题，如果他知道群论与现代的计算机学科联系如此紧密，一定会惊叹不已。

图论最早起源于一些数学游戏，相信对数学感兴趣的同学一定都听说过哥尼斯堡的七桥问题。图论与几何不同，几何讨论图的长短大小，而图论是讨论图的边和顶点之间的位置关系，正因为如此，莱布尼兹把她称为“位置几何学”。图论的问题非常有趣，往往答案很简单，但却非常非常难以想到。尤其是其分支拓扑学，更是如此。你知道九联环也是图论问题吗？

集合论起源于十六世纪末期，开始是为了追寻微积分的坚实基础，后来，德国的数学家康托教授发表了一系列有关集合论的文章，奠定了集合论的基础，集合论也从此发展起来。现在，集合论已经渗透到泛函、概率、函数论等各门学科。

(2) 各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法

数理逻辑又名符号逻辑，是一门用数学方法研究推理过程的科学。主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这些规则，通常称为推理规则。在逻辑学中，与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式。

集合论主要研究了集合的基本概念和运算，关系的基本概念以及全序、偏序等概念，函数的定义与性质。重点研究了关系矩阵和关系图的表示，关系的性质及判别方法；复合关系和逆关系的概念及其求法，关系的自反、对称、传递闭包的概念及其求法；等价关系的判定与相关等价类的求法、偏序关系的判定以及哈斯图的表示法。

代数系统部分需要了解代数系统以及同态、同构的概念，掌握代数系统运算的性质及各种特殊元素，几种特殊代数系统的判定及其性质和简单运算。

图论部分了解有关图的基本概念、图的同构，掌握图的表示方法，欧拉图及哈密顿图的判别方法，最小生成树的求解方法。

(3) 各分支在计算机科学中的应用

数理逻辑的学习，可以在形式证明、验证、密码学的研究与学习中增强理解形式证明的能力；用关系代数、谓词逻辑研究数据库等。

集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。

图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；近期，还研究用图论研究数据结构、操作系统的结构和死锁问题。

在计算机发展初期，利用命题逻辑，布尔代数理论研究开关电路，从而建立起一门完整的数字逻辑理论，对计算机的逻辑设计起了很大作用。在近期，利用代数结构研究编码理论，利用谓词逻辑研究程序正确性问题，利用能行性理论(如递归函数论)研究计算机中的可计算性理论。

4离散数学的学习

作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就这门课的特点做一个简要的分析。

(1) 定义和定理多

离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。

离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。

(2) 方法性强

离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。

(3) 有穷性

由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化得来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”因此，要学好离散数学，就应该在平时多做些题目，强化对知识的理解。

5 结束语

以上是我关于离散数学这门课的一点教学心得，几轮的教学下来，我深深觉得我们要注意培养学生掌握获取知识、科学研究和发现新知识三种方法。在传授知识的过程中，要教会学生学习的方法和研究问题的方法，同时还要通过课内课外的各种教学活动来提高学生的能力，培养学生的素质。关于离散数学这门课程，可以让学生完成离散数学在计算机科学中的应用的相关论文，内容选择

• 可以是下列应用介绍之一:

C 群与编码.

C 鸽笼原理(pigeonhole principle)

C 传递闭包和Warshall 算法

C 布尔代数和电路设计

C 图和运输网

C 半群与机器简化

C 使用数论理论解释公共密钥技术(public key cryptography)

• 可以是离散数学难题, 如: 较难的思考题的解答

• 可以是与离散数学有关的趣味问题的考察

• 可以是任何您高兴研究的离散数学相关问题

这样，才能将僵化的知识与实践结合起来，才能激发学生的创造力，从而使学生真正认识到它的重要意义。

Talk About Discrete mathematical Teach And Study

Abstract: This paper discusses the important of Discrete Mathematics mainly from there aspects: teaching methods

teaching content and how to study. Based on this, Author proposes combine knowledge and ability, stimulating students' interest in learning and improves student’s creativity.

Keyboard:Discrete mathematics, base, study

参考文献

[1] 徐洁磐，惠永涛编著. 离散数学及其在计算机中的应用[M]. 北京：人民邮电出版社，1988.

[2] 徐洁磐. 离散数学导论[M]. 北京：人民教育出版社，1982.

离散数学论文篇（6）

【中图分类号】O158-4

On the Teaching "Discrete Mathematics" in

Chenxue Gang Zhou Jiquan

（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）

Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.

Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.然而采用以往的教学方法，教学效果往往不够理想.一方面，离散数学知识的分散性令许多学生感到无从下手.另一方面，在传统的离散数学教学中，往往采用“纯数学”教学方法，学生不能很好地体会离散数学对计算机科学的重要意义，所以学习积极性不高.因此，通过教学方法和手段的改革来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养学生的创新思维和综合能力，是离散数学教学中非常迫切的需求.本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的经验，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨.

1精选教学内容

《离散数学》教学内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构及图论等几大分支.各分支均有悠久历史.如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及，所以在在教学过程中对讲授内容的选择应当有所侧重.比如简单介绍集合论的理论基础，重点是如何利用集台论的方法解决实际应用问题.在二元关系这部分，重点是二元关系的几个与性质相关问题的论证方法的训练.在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力.图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法.代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫.

2 教学方法探讨

2.1 增加讨论课

老师首先选定讨论的课题，学生分组准备查询相关的文献，并形成自己观点.在讨论课上大家共同交流探讨，从而加深对这门课程的认识.最后各小组完成论文的书写.该方法不仅可以提高学生对离散数学重要性的认识，还可以提高学生互相协作的能力以及书写论文的能力.

2.2 增加趣味性，激发学生的学习兴趣.

“兴趣是 最好的老师”，只有激发起学生的学习兴趣，他们才有真正自主学习的欲望.在教学过程中，根据具体的知识点，介绍它的发展史或者引入趣味问题，增加了学生学习离散数学的兴趣，拓宽了学生们的知识面，提高了学生对离散数学课程学习的积极性与主动性.

2.3 注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳和小结，可以用一条主线贯穿始终.离散数学讨论的内容主要包含系统中涉及到的静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理）.如集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）.通过归纳与小结，学生能够理清头绪，提高学习效率.

3 教学手段改革

3.1 教学网站建设

信息技术对提高教学质量具有重要的影响，必须予以高度重视.为了提高教学质量，我们建设了一个教学支撑网站，一方面大力推进信息技术在教学中的实际运用，促进教学手段和教学方法现代化；另一方面以此提高教与学的效率.

3.2 重视学生作业，定时测验

离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题.但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅.这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题.对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评.通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识.

3.3 新的考核方式

传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力.我们尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一， 即添加了一个新的内容：写离散数学的论文.把它的评定结果作为成绩的一个重要部分.所写论文必须要求观点明确、主题鲜明和论述严谨，并且具有一定的创新.

4 结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法和手段，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，提倡“启发”式教学.教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够达到良好的教学效果.

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳.关于离散数学教学改革的思考[J].忻州范学院学报，2005，21（5）：6 .

[2]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]翁梅，刘倩，冯志慧等.“离散数学”课程教学实践与探索[J].计算机教育，2004（12）：62―63.

离散数学论文篇（7）

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）14-0148-02

离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识结构和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学则提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计则提供处理随机型数学问题的数学工具。

正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机紧密关联之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文探讨离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而达到解决学生学习困难的目的。

离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容如果能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进行研讨，本文就数理逻辑与集合论的教学内容进行深入分析，弄清它们的数学本质和相互联系，理清教学思路。教学实践表明，这些教学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线清晰、教学目标明确，进而有效提高教学质量和学生的数学素质。

一、数理逻辑部分的数学本质

其一，命题逻辑部分的数学本质是逻辑数学化。

在教学过程中，在引入命题逻辑的教学之前，可以让学生比较“人”与“计算机”各自的长处。大部分学生都能得出这样的结论：人长于“智能”而计算机长于“计算”。那么，要让计算机增长“智能”，主要方向就是把“智能”计算化：把通过“智能”思考的问题转化为通过计算进行判定的问题。而智能的基础是逻辑推理，于是“智能”计算化首先就是要逻辑数学化。因此，数理逻辑是计算机的“人工智能”重要的基础之一。

离散数学中命题逻辑这部分内容的数学本质是逻辑数学化，或者具体地说是逻辑代数化。代数方法的基本要素是对象和运算，代数化的基本过程模式是：符号化（对象）、运算、运算律、演算、标准型、应用。这种思想方法只要提醒学生回顾在中学学过的代数内容就能很快接受。再看命题逻辑这部分的教学内容，基本就是按照这样的模式展开的：命题符号化（对象）、逻辑运算（联结词）、运算律（基本等值式）、等值演算、标准型（范式）、应用（解判定问题、证明等值式、实际应用、推理理论等）。因而，命题逻辑这部分内容的知识点并不零散，贯穿着代数化这条主线。

教学实践表明，通过逻辑代数化这个主线串联命题逻辑这部分主要内容，教学目标清晰，能得到很好的教学效果；同时学生还能从中学习领会代数化的思想方法，提高了他们的数学素质和应用数学解决实际问题的能力。

在命题逻辑的教学过程中，除了强调代数化的思想方法，还必须强调“标准型”（范式）是这部分的核心内容。一方面范式是等值演算的终极目标，另一方面范式是介于命题公式和真值表之间的桥梁，因此有着极高的理论与应用价值。

其二，谓词逻辑部分的数学本质是引入变量与函数的思想。

从数学本质上看，谓词逻辑就是把变量与函数的思想引入逻辑。在这样的视觉下，那些基本概念就变得很清晰：个体变项是变量、谓词是函数、个体域是定义域、属性谓词是一元函数、关系谓词是多元函数...。然后再一次进行代数化过程：符号化（谓词）、运算（联结词）、运算律（主要增加了量词等值式）、等值演算、标准型（前束范式）、应用（判定问题、证明等值式、实际应用、谓词逻辑推理理论等）。

当然，谓词逻辑内容远比命题逻辑深刻和复杂，在本科的离散数学中，这部分内容只能算是谓词逻辑的基础了。

二、集合论部分的数学本质

通常离散数学中集合论部分也包含两章：集合论基本概念、二元关系与函数。由于中学阶段已经有集合论的简单内容，所以这部分内容学生并不会觉得陌生。

集合论是整个数学的基石，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学在集合论基础上形成了一个独立的科学体系。实际上从集合和二元关系这部分内容基本上也可以看出数学这个科学体系的构建过程。

首先集合论这章内容也是一个代数化的过程：对象（集合）、运算（集合运算）、运算律（集合恒等式）、演算、应用（计数、证明恒等式、实际应用等）。这里缺少了一块标准型，实际上集合的演算也是可以有标准型的，只是这里的标准型没有逻辑演算的范式那么重要而已。从内容与结构都可以看出，集合论与命题逻辑这两部分内容有很大的相似性，这会在后文进行探讨。

有了集合这个基本语言，就可定义二元关系。接着是关系的运算与运算性质（这部分又是代数化方法）。然后是三种特殊的关系：等价关系、偏序关系与函数。等价关系的意义在于“分类”，这既是数学的基本思想方法之一，也是数据挖掘的常见任务；而偏序关系的意义在于“排序”，这是计算机算法中最基本的研究对象。

有了函数的定义，分析学可以就此展开；而用函数定义二元运算后，于是代数学的基础有了。有了分析学、代数学，数学这个科学体系的基本框架也就基本搭建好了。

集合论是数学之本。从集合到关系、再到函数与运算，构建了数学学科基础。这就是集合论这部分的数学本质。弄清楚这些，教师就能做到胸中有“数”、总揽全局。而给学生介绍这些数学本质，学生也能初步了解这部分内容的结构、意义和价值，对这部分内容的学习和掌握是有很大帮助的。而且经过这两个部分的学习，学生逐步熟悉和掌握代数的思想和方法，对后续抽象代数部分的学习在心理上和知识上都有了一定的准备。

三、数理逻辑与集合论基本内容的内在联系

前文提到，命题逻辑和集合论这两部分内容有很大的相似性。具体地说，这两部分的运算与运算律具有很强的对应关系。比如，逻辑运算{？劭，∧，∨}与集合运算{～，∩，∪}之间的一一对应关系。大多数教师都能认识这点并在教学中加以利用。例如，在讲授逻辑运算的运算律时提醒学生注意观察逻辑运算的运算律与集合运算的运算律之间的对应关系，这有助于学生理解并掌握逻辑运算的运算律。有的离散数学的教材也把集合论这部分内容放在数理逻辑之前，这样做虽然破坏了逻辑-集合-代数这样的连贯性，但从学生有初步认知的集合论开始，然后再利用集合论与命题逻辑在内容上的相似性辅助逻辑部分的教学，也是有其可取之处的。

实际上，用命题逻辑的工具可以推导出集合运算及其一些运算律：给定集合A和B，假设全集是E。对于任意给定的元素x∈E，用p表示命题“x∈A”，q表示命题x∈B，则命题公式？劭p表示的命题是“x∈～A”、p∧q表示“x∈∩A”、p∨q表示“x∈A∪B”。这就是逻辑运算与集合运算的对应与转换关系。进一步地，永真式（重言式）1表示x∈E、永假式（矛盾式）0表示“x∈Φ”，那么从命题逻辑的一些基本等值式就能直接推导出集合论中的一些基本恒等式（如结合律、交换律、分配律、德・摩根律等）。

当然，要更深入地探讨集合论的恒等式和逻辑运算的等值式之间的关系，需要用到谓词逻辑工具，不过这已超出了教学研究范畴，因此本文不在此进一步展开阐述，有兴趣的读者可自行探究。

四、结语

笔者认为，强调离散数学在计算机科学领域的应用是必要的，有助于提高学生的学习积极性和应用意识，但离散数学本身承载的数学本质也不应被忽视，毕竟它是一门重要的数学类课程。本文从数理逻辑与集合论模块的教学谈离散数学的一些数学本质，目的是在离散数学的教学过程中在把握其数学本质的基础上充分结合其应用性，这样既能有效提高教学效果，又能培养学生的代数思维习惯，提高他们的离散建模能力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 徐洁磐.应用型计算机本科中离散数学课程目标定位与课程改革的探讨[J].计算机教育，2010，（5）：6-9.

[2] 耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学（第四版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

离散数学论文篇（8）

1.离散数学在计算机数据结构中的应用

计算机科学中，计算机问题的解决往往需要借助数据机构的帮助，从而建立严格的数字模型。数据结构在计算机科学中发挥着重要的作用，它使计算机科学的数据模型得以建立，明确操作对象，并对操作对象进行分析，构建数字语言与计算机语言的契合点。计算机科学中，计算机数据结构主要分为树形结构、网状结构、现行结构以及图状结构，不同的结构有不同的数据结构形式，发挥着不同的作用。离散数学在计算机数据结构中的应用，能够为计算机处理员工绩效报酬以及相关事项提供有效帮助。

2.离散数学在计算机数据库中的应用

计算机数据库技术是进行数据处理和存储的重要技术，在社会生产生活的多个领域都有着广泛的应用。计算机数据库技术是计算机科学中的一项重要技术。离散数学在计算机数据库中的应用，主要是通过笛卡尔积这一重要理论有效地帮助数据库的建立。另外，离散数学中的理论也应用于数据库中的表结构设计以及域间关系，使数据库能够更加完善，能够在应用中具备更高的使用价值，提升数据库的整体质量。

3.离散数学在人工智能中的应用

人工智能的实现需要依赖于数学理论和数学推理，从而使人工智能能够通过逻辑推理产生作用。离散数学的逻辑推理在人工智能中的应用较为广泛，使人工智能能够实现正常的运行传导。离散数学在人工智能中的应用，体现为一种数学的分析过程和处理过程。离散数学中的布尔代数理论是一种数学逻辑语言，能够帮助人工智能实现逻辑的设计，帮助人工智能建立逻辑运转体系，促进人工智能实现智能化。

4.离散数学在计算机体系结构中的应用

在计算机的体系结构中，为了确保整体体系的结构性与有效性，需要进行科学的指令吸引设计，并对指令吸引设计进行内容的改进和完善。指令吸引设计能够通过操作码以及地址码来操作地址信息和相关的信息，实现指令的格式化。离散数学在计算机体系结构中的应用，应用了哈夫曼压缩概念进行问题的解决。哈夫曼压缩概念是对数学概率的加工利用，当事件发生的概率较低时，哈夫曼概念使用较长的位数进行相应的处理，当事件发生的概率较大时，哈夫曼概念则使用较短的位数进行相应处理。在应用中，哈夫曼算法能够建立哈夫曼树，从而使哈夫曼树发挥作用，对系统指令中的数据频度进行统计和分析，并进行适当的排列。另外，排列频度结点通过的序列则构成了哈夫曼编码，哈夫曼编码能够与指令编码相结合，最后达到使用目的。

5.离散数学在计算机科学中应用的发展趋势

在未来的发展过程中，计算机科学的硬件基础将会逐渐得到进步，离散数学的数学理论知识也将在计算机科学中得到更为广泛的应用，促进计算机科学实现更快更好的发展。离散数学的逻辑推理在计算机科学中的应用帮助着计算机的软件设计。离散数学的关联词概念则能够在计算机科学内用于二进制数据的运算。另外，离散数学在计算机科学中的应用，也通过数学集合论概念用于数据结构以及算法分析，帮助计算机数据库的建立和结构设计，使计算机数据库技术能够得到有效的进步发展。此外，离散数学中的布尔代数理论使计算机的网络通信系统得以建立，使计算机科学的人工智能得以实现。离散数学的逻辑推理理论使人工智能能够实现数学的分析和处理活动。离散数学在计算机科学中的应用会越来越广泛，在计算机科学的系统建立、逻辑设计等各方面都会充分发挥作用，实现与计算机科学的良好结合。在计算机科学中，人工智能会成为设计、发展和创新的一项重要理论，支撑着计算机科学的进步发展。

离散数学以离散性的结构以及相互间的关系作为研究对象，其在计算机科学中的应用，能够有效地指导数据库的建立，改进和完善计算机体系结构，提高计算机的运行效率与运行质量，未来应更加注重离散数学在计算机科学中的应用。

离散数学论文篇（9）

【教改项目】2015年，中国矿业大学校级教改项目：离散数学教学改革，项目编号：2015YB26.

一、引言

离散数学作为一门研究离散量的数学工具，主要研究离散量的关系和结构，计算机本身就是一个离散的结构，故离散数学对计算机的发展、计算机科学的研究起着非常重要的作用，是计算机专业的专业基础课.

离散数学分为集合论、代数系统、图论、数理逻辑四部分，其中布尔代数理论用于研究开关电路，对应的数字逻辑理论对计算机的逻辑设计起了很大的作用；用自动机理论研究形式语言；用代数结构研究编码理论；利用谓词验算研究程序正确性问题；利用能行性理论研究计算机中的可计算性问题等[1].这些内容旨在培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以适应后续的计算机专业理论和编写算法程序的学习.

二、离散数学教学现状

中国矿业大学计算机学院将离散数学开设在第二学期，离散数学之前开设的专业课只有高级语言程序设计，因此，专业知识不够充实再加上离散数学体系松散、理论性较强的特点，每一届学生在离散数学的学习上都会存在各种问题，本文分别对在校2013级、2014级和2015级的300名学生进行问卷调查，考查学生对离散数学的认识，结果见下表.

结合表1和日常交流中学生们的反馈对离散数学教学中存在的问题总结如下：

（一）学生对离散数学的作用理解不到位，认为在专业学习中没有必要

针对该问题，各代课教师在绪论时就把离散数学的重要性、基本应用以及和其他后续课程的联系介绍得很清楚，但是学生没有接触过核心专业课，因此，专业知识基本上没有积累，不能很好地理解这一点.在授课过程中，因为离散数学概念定义多，抽象程度高，课程内容和实际结合不多，除了做题学生没有其他形式能看到学习成果，也缺乏趣味性.本科阶段的学生普遍认为计算机专业最直观的学习成果就是编程，离散数学的作用实际上体现在理论层次的研究和应用上，所以，学生的学习积极性不高，即便在课程结束后也有不少计算机专业的学生认为离散数学没有开设的必要性，究其原因，就是对离散数学课程的认识不深刻.

（二）离散数学注重方式方法，解题难度较大

离散数学题目逻辑性强抽象程度高，解题难度大，大一学生还没有完全脱离高中阶段的学习模式，没有完全掌握这种灵活深入注重方式方法的学习.下面举例子说明：

请证明：素数阶群必为循环群.

该题目已知条件很简单：群中元素个数为素数，要证明的是元素个数为素数的群是循环群.很多学生拿到题目无从下手，但是仔细分析就能得出很多其他条件，比如，素数和群这两个概念在一起会派生出什么，结合所学内容就是群和子群的联系，素数是只能被1和它本身整除的整数，因而，素数阶群只有两个子群：单位元群和素数阶群本身，然后怎么把这几个概念联系在一起从而得出结论呢，这里就要用到群的一个定义：群的任意一个元素a都能生成一个该群的循环子群.素数最小为2，所以，在群中存在一个非单位元元素a生成一个循环子群，综合以上得出该循环子群必是该群本身，题目也就得以证明.

从这个题目可以看出，离散数学解题方法很强，要求学习熟练掌握教材内容及知识点之间的联系，如果没有对知识点的熟练掌握和思路，很难正确地解答问题.

（三）理论结合实践方面不到位，解决实际问题的能力较差

离散数学教学的最终目的就是为了提高学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，离散数学在计算机理论研究方面和实际生活中的应用非常广泛，其很大一部分是建模能力的培养，例如，请证明：在任何两个或两个人以上的组里，存在两个在组内有相同个数的朋友.这个题目重点和上个例子完全不同，@个题目关键需要将应用题和解题知识点对应起来，如果知识点掌握不扎实，解题基本上没有思路.这里将组看成一个图，组内的人为一个顶点，如两人为好友则在两点之间生成一条边，至此，该题的本意就是求证两个顶点以上的简单图中存在两个相同度的顶点.

该题求证用反证法，假设图G中所有顶点（顶点数v）度都不相同，简单图中顶点最大的度为v-1，那么最小顶点度为0才能满足所有顶点度互不相同的条件；但是度数为v-1的顶点又需要和其他每个结点都有联系，因此，和其中一个顶点度为0矛盾.故题目得证.离散数学中有很多该类型的题目，强调的不只是知识点本身，更重要的是抽象建模的能力，即解决实际问题的能力.

（四）例题和课后练习题偏少

离散数学教材中例题大同小异，课时受限制，学生接触的题量和题型都很受限制，再加上课后和代课教师的沟通较少，因此，学生学习的主动性和积极性都受到很大的影响，没有足够的练习，自然在理解上就不到位，对离散数学的精髓也就不甚明了.

三、拟采用改革措施

针对离散数学教学中存在的主要问题，课题组多次展开教学研讨，为了更好地提高课堂效果，提高课堂教学效果，为学生学习后续专业课程打下扎实的基础，课题组提出了以下解决方案.

（一）引导学生转变学习观念，激发学习兴趣

离散数学内容散、概念多、逻辑性强、知识关联度高，其教学目的除了提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力之外，还要使学生掌握这个数学工具，为后续计算机专业课程的学习做好准备，具有一定的思辨能力和专业基础.

因此，授课教师应转变教学观念，从机械式填鸭式、转变为重视理解思考和应用，注重理论体系的把握而不是把注意力仅仅集中在知识点本身上，对数学运算的理解进行再认识和深度提升，如，代数系统（S，+）中的“+”可以是任意满足条件的操作，对单位元1和零元0的认识要区别它们在整数集中的性质，深入理解代数系统之后学生可以根据实际需求构建自己的规则库以及在规则库上的操作；循环群同构可以简化对循环群的研究，无限循环群同构于整数加群，周期为m的循环群同构于剩余类加群，故而对于满足相同特征的循环群归结为对这两种群的研究上，强化了循环群之间的联系，同时也简化了研究的难度和强度；集合论中偏序关系用≥表示，和数学中的大于等于的含义完全不同；等价关系和相容关系主要研究个体间的同一性，给模式分类提供了理论模型；数理逻辑中对于日常生活中没有因果关系的命题也可以进行逻辑运算和推理等，通过对比分析让学生对离散数学的理解不再只局限于知识点本身而是建立完整的知识体系，强化例子的理解培养学生的抽象思维能力和针对实际问题的数学建模能力.

（二）离散数学中具体知识点和实际应用联系起来

图论、关系等应用在复杂网络和大数据研究中越来越广泛和深入.代数系统中群、环、域等理论知识应用在信道编码中纠错方面.图论中货郎担问题就是车间生产模具中走刀问题的数学模型；分组可用二分图，电路布图可用平面图，城市间建立高速网高铁网可用最优二叉树；图论中的哈夫曼压缩是一种无损压缩，可用于指令系统的设计与改进.离散结构和算法思想对应于数据结构中的逻辑结构和其基本操作[3].笛卡尔积和二元关系理论用于关系数据库的查询与维护功能、关系分解的无损连接性分析等.逻辑推理和布尔代数为人工智能研究领域打下了良好的数学基础.

（三）解题方法和技巧的培养

离散数学具有独特的特点，比较重视可行性问题的研究，课程中涉及很多原理，如，鸽巢原理、容斥原理、数的可数性问题等，除了强调这些原理的应用，还要在证明方法上再用另外的方法证明，引导学生从不同的角度理解问题，证明过程中注意引导学生主动思考，深入理解基本定理和结论；除此之外多学、多看，认真分析典型例题的解题过程，再加上多练习，逐步解决学生解题难的问题，也能激发学生的学习兴趣.

学习离散数学的最大困难是其抽象性和逻辑推理的严密性.解一道题或证明一个命题，应首先读懂题意，然后，寻找解题或证明的思路和方法，当找到了解题或证明的思路和方法，把它严格地写出来.下面举例说明.例如，集合A={a，b，c，d}上的划分是S={{a，c}，{b，d}}，求由S导出A上的等价关系.

这个问题考查的是对等价关系和等价类之间关系的理解，大部分学生能从集合的等价关系求出等价类，但是反过来从等价类求对应的等价关系就无从下手.教材中有一个定理：给定集合X的一个划分（覆盖）A={A1，A2，…，An}，由它确定的关系R=A1×A1∪A2×A2∪…∪An×An是等价（相容）关系.这个例题用该定理就很容易解决，只要将集合{a，b}和{c，d}相乘求笛卡尔积就是对应的等价关系，即等价关系R={a，b}×{c，d}={（a，a），（b，b），（c，c），（d，d），（a，c），（c，a），（b，d），（d，b）}.代课教师要对这一类的题目进行归类分析，引导学生多接触方法性解题思路，课堂积累到一定程度，再加上布置课后作I，慢慢地也就能掌握到一定的解题方法和技巧.

（四）提供多沟通渠道，扩展辅导与答疑途径

对于代课教师来说，可以从以下几个途径和学生进行沟通：课堂上对知识点特别是重要的知识点结合多个例题进行讲解，了解知识点的各种应用，加之接触的题量多、题型也多，对知识点的理解也就比较到位，相应的积累的解题经验也就丰富起来；课后对应每一章节布置作业，作业类型尽量覆盖各种题型，难度也要注意平衡，在学生作业中选择有代表性的解题方法对比讲解，让学生从不同角度理解知识点的应用和解题方法的变换，启发学生思维，激发学习的积极性；开展开放式自学平台，除了教材提供的例题和习题，课题组还按照章节整理大量习题以网页的形式面向学生开放，这部分习题都附带解题思路和答案，提供给学生充足的学习资源，提高学生解题的熟练度.

四、结束语

离散数学的教学对于信息类相关专业学生的专业学习非常重要，本文从四个大的方面入手，切实提高学生对离散数学课程的认识，激发学习兴趣，提高教学质量.该项目由中国矿业大学教务处资助，为学生更好地学习专业课程打下坚实的基础.

【参考文献】

离散数学论文篇（10）

摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的重要基础课程，但是传统的离散数学教学往往过于数学化。文章探讨如何针对计算机科学与技术专业的特点，在离散数学教学中强化对学生逻辑思维和计算思维能力的培养，提出一些课程教学改革的针对性措施。

关键词 ：离散数学；逻辑思维；计算思维

文章编号：1672-5913(2015)15-0027-04 中图分类号：G642

基金项目：中山大学2012年教学研究项目“计算机大类离散数学课程平台的整合优化”。

第一作者简介：周晓聪，男，副教授，研究方向为软件工程，isszxc@mail.sysu．edu．cn。

1 背景

离散数学是现代数学的一个重要分支，研究离散对象的结构及其相互关系。离散数学的主题包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学、数论、抽象代数、自动机理论等。离散数学被看做计算机的数学，是计算机类各专业的核心基础课程，也是计算机类专业许多核心课程（如数据结构、编译原理、数据库原理、人工智能等）的先导课程，因此，学好离散数学对于计算机类专业的学生具有重要意义。在实际教学实践中，学生要学好离散数学有一定困难，教师在选择教学内容和教学方法时也存在问题。

2 基本思路

离散数学是计算机类专业的核心基础课程，内容多且较抽象，学生学习离散数学时存在一定的困难。早期的离散数学教学过于数学化，如文献等都是从数学的角度展开离散数学的知识讲解，其内容与计算机专业知识联系不大。随着教育部计算机科学与技术专业规范的制定与推广，离散数学课程的教学内容逐渐加强了与计算机专业知识的联系。但在实际教学实践中，不同层次的院校仍然存在不少问题。

我们对离散数学课程的教学改革进行了一系列的探索。最初我们采用耿素云老师编著的教材，在大一年级上、下学期各开设4学分的离散数学课程，讲述包括数理逻辑、集合论与图论、组合数学以及抽象代数的知识；为强化学生离散数学基础，针对计算机科学与技术专业、网络工程专业和信息安全专业的不同需求，将离散数学课程分为3门课程（数理逻辑、集合论与图论、代数结构），分别在大一上、下学期开设，其中集合论与图论作为3个专业共同的必修课程，数理逻辑作为计算机科学与技术专业的必修课程、网络工程专业的选修课程，代数结构作为网络工程专业和信息安全专业的必修课程、计算机科学与技术专业的选修课程；为适应大类招生模式和计算类专业转型，我们在计算机大类的大一下学期开设了6学时的离散数学基础课程，并从大二开始开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列离散数学课程。

在这一系列探索中，我们遇到了一些问题：首先是课程教学目标定位的问题，其次是教学内容选择的问题，最后是教学方法与教学模式的问题。

在课程教学目标定位方面，作为研究型综合性大学的计算机专业，学生要夯实在数学方面的基本素养，这不仅需要掌握有关逻辑与证明、集合、函数与关系、组合计数、图与树等方面的基本知识，还需要提高数学思维能力，并且强化与计算机专业知识的联系。但是目前多数教材都增加内容广度，减弱内容深度，因此如何明确课程的教学目标是首要问题。为此我们在深入学习专业规范的基础上，对现有的国内外著名离散数学教材进行了调研与分析，并结合计算机大类培养的特点，选择Rosen编写的国外著名教材《离散数学及其应用》作为首选教材。为了进一步强化学生的离散数学基础，除了给大一下学期学生开设离散数学基础课程之外，我们还为大二至大三的学生开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列课程。我们将离散数学类课程的教学目标定位在不仅培养学生掌握离散结构的基础知识，还要培养学生在逻辑思维和计算思维方面的能力上，我们希望能将这两种思维能力的培养一直贯穿在离散数学类中。

在确定离散数学课程的教学目标后，我们立足于教材对教学内容进行精心选择，在与课程组老师多次研讨的基础上，形成了离散数学基础课程以及各门选修课程的详细教学大纲，列出了基本知识点与可选知识点。

3 措施与效果

由于离散数学课程对计算机专业很重要，高校对离散数学课程的教学改革做了许多探索，近年来教师对培养学生的逻辑思维能力、系统建模能力、计算思维能力也越来越重视。

首先，教材的选择最重要。我们经过对国内外著名教材的分析，最终选择Rosen编著的《离散数学及其应用》（英文影印版）作为首选教材。该教材的特点有：①内容比较全面，完全符合教育部计算机科学与技术专业规范对离散数学课程的要求；②例题、习题非常丰富；③每章后面有重要概念和总结；④“写作项目”( writingprojects)和“编程项目”(computer projects)可作为课程的实验和设计题目；⑤与计算机专业课程的联系非常紧密，列出了许多在计算机后续课程（如数字电路设计、数据库、人工智能等）应用离散数学知识的内容。

该教材有两个重要特点：其一，教材中不仅有一章专门讲述归纳证明和定义的基本知识，而且在组合计数、算法分析、集合与关系等多处介绍递归和证明的概念与应用；其二，教材讲解了有关算法的基本概念，给出了一种算法描述伪语言。

我们认为提高逻辑思维能力的基本要求应体现在思维严谨、条理清晰两方面。思维严谨要求在求解问题或推理时每一步都有逻辑依据；条理清晰要求学生在遇到问题时有比较清晰的求解思路。因此，教师在教学中要适当增加形式化推理的内容，对非形式化的证明技巧分门别类，从直接推理、间接推理、反证法、分情况证明、构造性证明、非构造性证明到归纳证明详细举例讲授；结合自顶向下的求解思路讲解数学证明中后向推理的分析方法，给学生讲清楚自顶向下分析与自底向上构造之间的异同，为学生理清问题求解思路，强化学生逻辑思维能力的培养。

在培养学生的计算思维方面，教师可要求学生在理解主要算法思想的基础上，结合程序设计课程的知识实现其中一些算法，还可结合教材中的“编程项目”指导学生编写一些程序。在教学实践中，为了让学生对教材中的主要算法有直观的认识，我们与学生一起编写了一些算法的演示系统。例如，图1给出了求从一个节点到所有节点最短路径的Dij kstra算法演示系统，它可给出该算法求解的每一步中间结果，从而使学生对该算法的运行有直观的理解。实践表明，这种演示对学生理解算法有比较大的帮助。

为了让学生更容易抓住重点，且有针对性地完成教材中的习题，教师可对教材中诸多知识点进行梳理，给出知识点之间的关联关系以及知识点与习题之间的覆盖关系。例如图2总结了逻辑等值这一节中重要知识点之间的关联关系，其中着色的是这一节的知识点，而没有着色的是前面章节的知识点。图3给出了部分知识点与习题之间的覆盖关系，其中菱形框中给出了这一节相应习题的编号。由于我们选择的是英文影印版教材，因此上述图中的知识点使用英文概括。初步调查表明，学生比较欢迎这种知识关联图，认为有助于梳理教材内容，便于复习和做习题。

基于这种知识点关联图，教师可进一步探讨课程的教学模式。在课程中，教师可利用这种知识点关联图向学生展示要讲授的知识点及其关联关系，对于细节则要求学生自己预习和复习；在课堂上可利用教材例题习题丰富的特点，精选一些相关的习题进行讲解。教学实践表明，这种方式有助于加深学生对知识点的理解，也有助于活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣。我们还对课程的考核做了一些改革，除了期中、期末考试之外，在教学过程中会不定期地进行小测验。

为了调查教学改革的效果，我们设计了问卷对2012级部分学生进行调研，回收75份有效问卷。37位学生（占50%左右）认为所选教材难度适中，52位学生（占70%左右）认为课程教学内容与计算机专业知识联系紧密，40位学生（占53%左右）认为提前接触算法知识对学习计算机专业课程最有帮助。以上结果表明该课程所选教材与教学内容比较符合学生的期待，引起了学生学习离散数学的兴趣。41位学生（占54%左右）非常认可我们的教学模式，40位学生（占53%左右）认为上课听讲很有收获。这些结果表明至少一半的学生认为课堂的教学效果良好。当然学生对幻灯片、作业批改、师生互动也提出不少建议，我们会借鉴并在今后的教学实践中做进一步的改进。

4 结语

课堂实践表明我们的教学内容与计算机专业知识联系比较紧密，很符合学生的期待，超过一半的学生认可我们的教学模式。未来我们将在实践中不断改进，继续把这种课程教学研究方法运用到其他课程中。

参考文献：

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