统计学的标准差篇（1）

[中图分类号]O 212 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432（2013）10-0023-011

1 引 言

在科学实验中，测量可分为常量测量和变量测量两大类。物理量的变化量远小于测量仪器误差范围的测量称为常量测量（又称经典测量、基础测量），其核心理论是误差理论[1-3]，误差理论的基本单元是误差元（测量值减真值）。测量仪器误差范围远小于物理量的变化量的测量称为变量测量（又称统计测量），其核心理论是数理统计理论（概率论是其理论基础），数理统计理论的基本单元是偏差元（又称离差元，测量值减数学期望）。标准差（standard deviation，又称标准偏差、均方差，其英文缩写词为SD，此术语1893年由卡尔·皮尔逊首创）是用来衡量一组测量数据的离散程度的统计量，它反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度。经典测量学只能处理常量测量问题，而当今频域界的频率稳定度测量（常用阿伦方差表示）则属于变量测量。

等精度测量（equally accurate measurement）是指在测量条件（包括测量仪器的准确度、观测者的技术水平、环境条件影响及测量方法等）不变的情况下，对某一被测物理量所进行多次测量的一种方法。在实际测量工作中，由相同设备、相同人员、相同环境和相同方法所获得的各测量值可视为是等精度测量值。文献[4]介绍了流量计量中的计量学基本原则——等精度传递理论。

在测量实践中，有时为了获得准确度更高的测量结果，往往要求在不同的测量环境条件下，使用不同的测量仪器，选用不同的测量者和不同的测量次数，采用不同的测量方法进行对比测量，这种测量方法称为不等精度测量（unequally accurate measurement）。不等精度测量的不确定度应采用加权方式计算[5-6]。

若无特别说明，本文中所涉及的测量均指等精度测量。

2 误差的种类和应用

误差公理认为误差自始至终存在于一切科学实验和测量之中，是不可避免的，即误差无处不在，真值是不可知的。在实际应用工作中，可用约定真值或相对真值来代替理论概念中的理想真值。约定真值一般包括约定值、指定值和最佳估计值三种类型。

测量误差最基本的表示方法有如下三种：①绝对误差=测量值-真值，绝对误差通常简称为误差（即真误差）；②相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测量值；③引用误差=示值误差/测量范围上限（或全量程）。残差（又称剩余误差）=测量值-估计值，残差可认为是真误差的估计值。绝对误差和相对误差通常用于单值点测量误差的表示，而对于具有连续刻度和多档量程的测量仪器的误差则通常采用引用误差来表示。

按误差的特点和性质可将其分为粗大误差（parasitic error）、系统误差（systematic error）和随机误差（random error）三大类。可消除的粗大误差（又称过失误差，没有规律可循）应予全部剔除，系统误差（又称规律误差、理论误差或方法误差，一个定值或服从函数规律）反映测量的正确度（correctness），随机误差（旧称偶然误差、不定误差，服从统计规律，大多数服从正态分布规律）反映测量的精密度（precision），测量的准确度（accuracy，又译为精确度）则是用综合误差（即测量不确定度）来衡量的，有时也用极限误差来衡量测量的准确度。逐项获得测量的系统误差和随机误差，采用误差合成的方法（各系统误差绝对值相加得系统误差范围，各随机误差均方根合成则得随机误差范围。系统误差范围加随机误差范围可得综合误差范围）合成综合误差，它表征了测量结果与真值的不一致程度。

泛指性的“精度”一词常被用作“精确度（即准确度）”或“精密度”的替代词，因其并无明确和严格的科学定义，故在学术论文中应慎用或弃用。

下面简要介绍一下随机误差所遵循的一些基本统计规律，首先需要介绍中心极限定理：

当测量次数n无限增大时，在真误差序列中，若比某真误差绝对值大的误差和比其绝对值小的误差出现的概率相等，则称该真误差为或然误差（probable error，又称概率误差，它在衡量射击精密度时尤其显得重要），记作ρ。

作为精密度的评定指标，中误差最为常用，因为它反映了真误差分布的离散程度。

通常以2倍或3倍的中误差作为随机误差的极限误差（limit error），其置信概率分别是9544%（2σ准则）和9973%（3σ准则）。如果某个误差超过了极限误差，就可以认为它是粗大误差而被剔除，其相应的测量值应舍弃不用。

对于某个测量值，通常采用相对中误差（即中误差和测量值之比，又称相对标准差）配合中误差来衡量，它能更全面地表达测量值的好坏。

英国物理学家、化学家和数学家瑞利勋爵（Lord Rayleigh，1842—1919）以严谨、广博和精深而著称，他善于利用简单的设备做实验而能获得十分精确的数据。他因对气体密度的精确研究并因此参与发现稀有气体（旧称惰性气体）氩而荣获1904年诺贝尔物理学奖。1892年瑞利在研究氮气时发现[7]：从液态空气中分馏出来的氮，其密度为12572 kg/m3，而用化学方法直接从亚硝酸铵中得到的氮，其密度则为12508 kg/m3（现在的最权威数据125046 kg/m3是基于0 ℃和01 MPa时），前者比后者大05117%，因实验中已排除了粗大误差的可能，这一差异已远远超出随机误差的正常范围（现在通过t检验准则可以判定当时瑞利测得的空气中氮的密度数据是存在系统误差的）。英国物理化学家和放射化学家拉姆赛（Sir William Ramsay，1852—1916，1904年诺贝尔化学奖获得者）注意到这个问题并要求与瑞利合作对此问题展开共同研究，最终他们利用光谱分析法于1894年8月13日发现了第一种稀有气体─氩（Ar）。氩元素的发现是科学家们注意测量结果中的微小误差（实际上是系统误差）而取得重大科学发现的经典范例，是名副其实的“第三位小数”的胜利[8]。随后，其他稀有气体氦（He，1895年3月）、氪（Kr，1898年5月）、氖（Ne，1898年6月）、氙（Xe，1898年7月）、氡（Rn，1899年，继钋Po、镭Ra和锕Ac之后第4个被发现的天然放射性元素）陆续被拉姆赛等人所发现，稀有气体的发现完善和发展了俄国化学家门捷列夫（1834—1907）的元素周期表（1869年）。

3 统计量的概率分布类型

离散型统计量服从的概率分布类型主要有：①退化分布（又称单点分布）；②伯努利（瑞士数学家，Jocob Bernoulli，1654—1705）分布（又称两点分布）；③二项分布：包括超几何分布（又衍生出负超几何分布）、β-二项分布和离散均匀分布；④泊松分布：包括帕斯卡（法国数学家和物理学家，Blaise Pascal，1623—1662）分布（又称负二项分布）和几何分布；⑤对数分布等。

随机误差大多服从正态分布或标准正态分布，服从正态分布的随机误差具有单峰性、对称性、有界性和抵偿性。正态分布是随机误差遵循的最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。随机误差服从的常见非正态分布（又称偏态分布）主要有：①均匀分布（又称矩形分布、等概率分布）；②伽马分布（Γ-分布）：包括指数分布（两个相互独立且都服从指数分布的随机变量之和服从广义指数分布）、厄兰（丹麦数学家和统计学家，Agner Krarup Erlang，1878—1929）分布和τ-分布（χ2-分布是其特例）等特例；③χ-分布：包括反射正态分布、瑞利分布和麦克斯韦（英国物理学家和数学家，James Clerk Maxwell，1831—1879）分布等特例，广义瑞利分布又称莱斯（美国通信理论专家，Stephen " Steve" Oswald Rice，1907—1986）分布（Rice distribution or Rician distribution），当v=0时莱斯分布退化为瑞利分布；④贝塔分布（B-分布）；⑤F-分布：1934年美国数学家和统计学家斯内德克（George Waddel Snedecor，1881—1974）首创，为彰显英国统计学家和遗传学家费歇尔（Sir Ronald Aylmer Fisher，1890—1962，方差分析的发明者）的贡献，后来以其名字命名；⑥t-分布（又称学生氏分布）：1908年由英格兰统计学家戈塞特（William Sealy Gosset，1876—1937）首创，因他以Student为笔名而得名；⑦对数正态分布；⑧极值分布：包括重指数分布和威布尔（瑞典数学家，Ernst Hjalmar Waloddi Weibull，1887—1979）─格涅坚科分布（参见本文第73节“极差法”）等；⑨柯西（法国数学家，Augustin Louis Cauchy，1789—1857）分布；⑩辛普森（英国数学家，Tomas Simpson，1710—1761）分布（又称三角形分布）等。此外还有反正弦分布、截尾正态分布、双峰正态分布、梯形分布、直角分布、椭圆分布和双三角分布等。多维概率分布则主要有：①多项分布；②均匀分布；③n（n≥2）维正态分布等。

因彼得斯公式法、极差法、最大误差法、最大残差法和最大方差法均只给出了正态分布下的标准差估计的系数因子，故它们一般不适用于非正态分布时的情形。

4 统计推断

统计推断是指根据随机性的观测数据（样本）以及问题的条件和假设（模型），对未知事物作出的、以概率形式表述的推断。统计推断是由样本的信息来推测总体（又称母体）性能的一种方法，它是数理统计学的主要任务，其理论和方法构成数理统计学的主要内容。统计推断分为参数估计和假设检验两大类问题。参数估计是假设检验的前提，没有参数估计，也就无法完成假设检验。

41 参数估计

运用从总体独立抽取的随机样本对总体分布中的未知参数做出估计，称为数理统计学上的参数估计，它是统计推断的一种基本方法。参数估计方法主要分为点估计法（根据样本构造一个统计量，用以对总体参数进行估计）和区间估计法（又称范围估计法，主要是根据置信度求置信区间）两大类。点估计构造统计量（估计量）的常用方法有：①顺序统计量法（又称次序统计量法）：主要包括最大顺序统计量法和最小顺序统计量法两种。②贝叶斯法（又称贝叶斯公式、逆概率公式、事后概率公式或原因概率公式）：1763年英国统计学家贝叶斯（Thomas Bayes，1702—1761）在其遗作《论有关机遇问题的求解》一文中首先提出。③最小二乘估计法（又称最小平方估计法）：它可使残差的平方和为最小，1795年德国数学家、天文学家和物理学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）首先提出其方法，1806年法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）首先用公式表示出最小二乘原理，1900年由俄国数学家马尔科夫（Andrey Andreyevich Markov，1856—1922）加以发展。④矩估计法（又称矩法估计、数字特征法）：以样本矩的某一函数代替总体矩的同一函数来构造估计量的方法称为矩估计法，1894年英国数学家和统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson，1857—1936，被誉为“现代统计学之父”）首先提出。一个样本可确定一个经验分布函数，由这个经验分布函数可确定样本的各阶矩。称统计量S=1nni=1Xi为子样一阶原点矩（简称一阶矩，即子样均值）；称统计量Sk=1nni=1Xki为子样k阶矩；称统计量S=1nni=1（Xi-）2为子样二阶中心矩（即子样方差）；称统计量Sk=1nni=1（Xi-）k为子样k阶中心矩。⑤最小χ2法：χ2检验由卡尔·皮尔逊于1900年首先提出，故χ2统计量又称皮尔逊公式。⑥最大似然估计法（maximum likelihood estimation method，又称极大似然估计法）：一种重要而普遍的统计量估计方法，其基本思想始于1821年高斯提出的误差理论，1912—1922年英国统计学家和遗传学家费歇尔首先将其应用于参数估计并证明了它的一些性质[9-10]，其后他在工作中加以发展并使其臻于完善[11]。该估计方法在统计推断中无须有关事前概率的信息，克服了贝叶斯法（Bayes estimation method）的致命弱点，是统计学史上的一大突破。标准差σ的最大似然估计值是=1nni=1（xi-）2=1nni=1v2i， 其中=1nni=1xi。与最大似然估计法相类似的统计估计方法还有极小极大后验估计法、最小风险法和极小化极大熵法等。

常用于衡量点估计法是否优良的五大准则是：无偏性[12]、有效性、一致性（又称相合性）[13]、渐近性和充分性。无偏估计和一致估计（又称相合估计、相容估计）都属于优良点估计法。衡量区间估计法的优良准则有一致最精确准则、一致最精确无偏性准则和平均长度最短准则等。如果把参数估计用于统计决策，还可采用统计决策理论中的优良准则（如容许性准则、最小化最大准则、贝叶斯准则和最优同变性准则等）。

标准差的现代统计估计方法通常可将其归纳为一般估计方法和稳健估计（robust estimation，又称抗差估计）方法两大类[14]。一般估计方法（均属标准不确定度分量的A类评定方法）主要包括贝塞尔公式法、彼得斯公式法、极差法、最大误差法、最大残差法、较差法和最大方差法等，其中贝塞尔公式法最为常用，极差法、彼得斯公式法和最大残差法次之，最大误差法特别适用于比较特殊的场合（如一次性破坏实验等），较差法和最大方差法的应用场合则相对较少。稳健估计方法基本上可分为三类：M估计（经典最大似然估计法的推广，称为广义最大似然估计法）、L估计（即顺序统计量线性组合估计）和R估计（即秩估计，来源于秩统计检验）。

估计量的数学期望等于被估计参数，则称其为无偏估计，否则就是有偏估计。无偏估计的系统误差为零，其误差用随机误差来衡量；有偏估计的误差则用系统误差和随机误差的合成（即综合误差）来衡量。如今，随着计算机的日益普及和各类数学统计软件（包括专用数学统计软件，如SPSS、SAS和BMDP等）的广泛应用，数据计算繁琐一些已无技术障碍可言。实验测量数据的获得都要付出一定的人力、物力和财力，追求其准确可靠才是其最高目标，因此有偏估计的系统误差应尽可能地予以剔除。对于无偏估计来说，其统计量的方差越小则越好（表示其精密度和有效性越高）。

42 假设检验

假设检验（又称显著性经验、统计检验）一般分为参数检验（适用于总体分布形式已知的情形）和总体分布类型检验（又称分布拟合检验）两大类。参数检验方法主要有u检验法（又称z检验法，即正态分布检验法）、t检验法、χ2检验法（又称皮尔逊检验法）和F检验法（又称费歇尔检验法）等；总体分布类型检验方法主要有概率纸法（包括正态概率纸、对数正态概率纸、威布尔概率纸和二项概率纸等）和χ2检验法（适用于任意分布）等。在正态性检验法中，以夏皮罗（美国统计学家，Samuel Sanford Shapiro，1930—）─威尔克（加拿大统计学家，Martin Bradbury Wilk，19221218—）检验法（1965年，又称W检验，适用于样本数n≤50时的情形）[15]、达戈斯提诺（美国生物统计学家，Ralph BDAgostino， Jr，19290331—20010818）检验法（1971年，又称D检验，一种比较精确的正态检验法）[16]和夏皮罗─弗朗西亚（Shapiro-Francia）检验法（1972年，又称W′检验，适用于样本数50 两个样本是否来自于同分布总体的假设检验方法主要有符号检验法和秩和检验法等。

当未知总体标准差σ时，判别粗大误差的准则（即异常数据取舍的检验方法）主要有：①格拉布斯准则：1950年由美国统计学家格拉布斯（Frank Ephraim Grubbs，1913—2000）首创[18]，并于1969年加以发展[19]；②狄克逊准则（又称Q检验准则）：1950年由美国统计学家狄克逊（Wilfred Joseph Dixon，1915—2008）首创[20]，并于1951年和1953年加以改进[21-23]；③偏度─峰度检验准则：偏度检验法适用于单侧情形，峰度检验法则适用于双侧情形[24]；④罗曼诺夫斯基准则（又称t检验准则、3S检验准则）：前苏联数理统计学家、塔什干数学学派创始人罗曼诺夫斯基（Vsevelod Ivanovich Romanovsky，1879—1954）首创，其检验效果最好[25]；⑤3σ准则：仅早期采用，只适用于大样本数时的情形，因其理论上欠严谨且样本数n

估计标准差s=1n-2ni=1（y-）2主要应用于回归分析和假设检验中[34]。

5 测量不确定度

测量不确定度（measurement uncertainty，简称不确定度）是测量结果带有的一个非负参数，用以表征合理地赋予被测量值的分散性。它是说明测量水平的主要指标，是表示测量质量的重要依据。不确定度越小，测量结果的质量就越高，使用价值就越大。“不确定度”一词起源于1927年德国理论物理学家和哲学家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901—1976，1932年度诺贝尔物理学奖获得者）在量子力学中提出的不确定度关系，即著名的测不准原理（uncertainty principle）。自国际计量委员会CIPM（法文Comité International des Poids et Mesures）授权国际计量局BIPM（法文Bureau International des Poids et Mesures）于1980年10月提出《实验不确定度表示建议书INC-1》（1992年被纳入国际标准ISO 10012，1997年和2003年分别予以修订，中国国家标准GB/T 19022—2003等同采用ISO 10012 ∶ 2003[35]）以后，经过30多年的研究和发展，现代不确定度理论现已形成较为完整的理论体系。

根据2008年版《测量不确定度表示指南》（GUM=Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）中的规定：不确定度可以用测量结果的标准差（即标准不确定度，它具有可传播性。当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，这就是不确定度的可传播性）表示，也可以用标准差的倍数或说明其置信水平区间的半宽度（即扩展不确定度expanded uncertainty，曾译为延伸不确定度、伸展不确定度）表示。无论采用哪种方法，都需要获得标准差的数值。

不确定度一般由若干分量组成，其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布，按不确定度的A类评定方法进行评定（标准不确定度基于统计方法所进行的评定称为A类评定，又称统计不确定度），并用实验标准差（即有限次测量时总体标准差的估计值，又称样本标准差、子样标准差，主要应用于抽样推断和假设检验中）和自由度表征（必要时应给出其协方差）。而另一些分量则可根据经验或其他信息假设的概率分布，按不确定度的B类评定方法进行评定[标准不确定度基于非统计方法（技术规范、实践经验和科学知识等）所进行的评定称为B类评定，又称非统计不确定度]，也用实验标准差表征（必要时应给出其协方差），一般情况下可以不给出其自由度。

贝塞尔公式法和极差法是两种主要的标准不确定度分量的A类评定方法[36-43]，其中文献[39]给出的结论是：①当A类评定不确定度分量不是合成标准不确定度中唯一占优势的分量时，则无论测量次数多少（笔者注：因合成时采用方差相加的方法），（修正前）贝塞尔公式法优于极差法。②当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中唯一占优势的分量时，则两种方法的优劣与测量次数有关：当测量次数n10”则更为准确），（修正前）贝塞尔公式法优于极差法。

标准不确定度分量的B类评定方法主要有倍数法、正态分布法、均匀分布法（修约误差、修约前的被修约值、数字仪表的量化误差等均服从此类分布）、反正弦分布法、二点分布法、梯形分布法、三角分布法和投影分布法等[44-46]，它更多的是依赖于经验的积累和判断。B类评定方法常应用于计量基准标准、仪器研制和在无法对比测量的情况下。

不确定度报告应该包括测量模型、估计值、测量模型中与各个量相关联的测量不确定度、协方差、所用的概率密度函数的类型、自由度、测量不确定度的评定类型和包含因子等。

在实际应用工作中，有效数字的正确取位十分重要，但这个问题却往往被忽视。测量结果总是以数字形式出现的，而能准确反映测量结果的是其有效数字。有效数字的末位数总是由下一位数进位或舍去而得来的，这就是数字修约。有效数字的定义是：一个数的修约误差不大于其末位数的半个单位，则该数的左边第一个非零数字起至右边最末一位数字都是其有效数字。不确定度的有效数字只能取1位或2位[47-49]。

6 自由度

自由度（degrees of freedom）的定义是：在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数[36，50]。自由度反映了实验标准差的可信赖程度，自由度越大，实验标准差的可信赖程度就越高。由于不确定度是用标准差来表征的，故自由度可用于衡量不确定度评定的质量，它也是计算扩展不确定度的依据。当对标准差σ取A类评定的标准不确定度s的值时，不确定度的自由度计算公式为[46]：

式（6-1）是自由度估计值的计算公式（此估计值与理论值相比偏小，随着样本数n的增大，其估计值越来越接近于理论实际值），其中D（X）/E（X）为统计量X的相对标准差，u（x）为被测量x的标准不确定度，u[u（x）]为标准不确定度u（x）的标准不确定度。显然，自由度与标准不确定度的相对标准不确定度有关，即自由度与不确定度的不确定度有关，或者说自由度是一种二阶不确定度。

不确定度是测量结果的一个参数，而自由度则是不确定度的一个参数，它表征了所给不确定度的可信赖程度。算术平均值标准差的自由度和单次测量标准差的自由度是相同的。

自由度具有尺度变换下的不变性（即随机变量乘以非零常数，其自由度不变）。对于合并样本标准差，其自由度为各组自由度之和，即v=m（n-1）。当用测量所得的n组数据按最小二乘法拟合的校准曲线确定t个被测量值时，其自由度v=n-t；若t个被测量值之间另有r个约束条件，则其自由度v=n-t-r。

各种估计总体标准差方法的自由度如下表所示。

每个不确定度都对应着一个自由度，按A类评定的标准不确定度分量的自由度就是实验标准差的自由度。合成标准不确定度uc（y）的自由度称为有效自由度veff，它说明了评定uc（y）的可信赖程度，veff越大，表示评定的uc（y）越可信赖。一般情况下，按B类评定的标准不确定度分量可以不给出其自由度。但在以下情况时需要计算有效自由度veff：①当需要评定扩展不确定度Up为求得包含因子kp时；②当用户为了解所评定的不确定度的可信赖程度而提出此要求时。

7 标准不确定度的A类评定方法

标准差是评定测量结果精密度的一个极其重要的参数，关于各种估计总体标准差统计方法的精密度分析，前人已多有研究[52-56]，但都缺乏深度和广度，其系统性和准确性也不够（有时甚至出现一些差错和遗漏，详见下文中的相关描述）。下面笔者将详细阐述各种估计总体标准差统计方法的由来和原理，严谨推导出其标准差系数的计算公式，力图以科学、严谨和求实的态度，分别对其系统地做出全面而准确的评介、对比和分析。

71 贝塞尔公式法

贝塞尔公式法（Bessel formula method）[57-63]是一种最为常见的估计总体标准差的统计方法。根据nj， k=1j≠kδjδk=0来推导贝塞尔公式长期以来被一些学者所认同，现已证明其为伪证[64-65]。笔者现根据误差理论、概率论和数理统计学中的基础知识，从误差和标准差的本质和作用入手，利用数学期望和方差公式，采用算术平均值的标准差来推导出贝塞尔公式。

n次测量值的算术平均值为：=1nni=1xi

算术平均值是μ的一致最小方差无偏估计，且不存在比它一致性更好的其他估计量。

德国天文学家和数学家贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel，17840722—18460317）是天体测量学的奠基人之一，以其专著《天文学基础》（1818年）为标志发展了实验天文学，他重新订正布拉德雷（英国天文学家，James Bradley，1693—1762）星表并编制基本星表（后人加以扩充后成为《波恩巡天星表》），测定恒星视差（1838年）并预言暗伴星的存在，导出修正子午环安装误差的贝塞尔公式[即式（71-4）]，导出用于天文计算的内插法贝塞尔公式（此式中的系数被称为贝塞尔系数），编制大气折射表并导出大气折射公式。首创贝塞尔岁首（又称贝塞尔年首）、贝塞尔假年（又称贝塞尔年）、贝塞尔日数（又称贝塞尔星数）和贝塞尔要素等概念，沿用至今。其研究成果还有贝塞尔方程（1817—1824，一类二阶常微分方程）、贝塞尔不等式（1828年）和贝塞尔地球椭球体（1841年）等。1938年2月24日发现的国际编号为1552（1938DE）号的小行星后被命名为“贝塞尔星（Bessel）”，这是对他最好的纪念和褒奖。

贝塞尔方程两个独立的解分别称为第一类贝塞尔函数Jn（x）和第二类贝塞尔函数Yn（x），Hn（x）=Jn（x）±iYn（x）则称为第三类贝塞尔函数，其中第二类贝塞尔函数又称为诺伊曼（Carl Gottfried Neumann，1832—1925）函数或韦伯（Heinrich Martin Weber，1842—1913）函数，第三类贝塞尔函数又称为汉克尔（Hermann Hankel，1839—1873）函数。诺伊曼、韦伯和汉克尔均为德国数学家。

在规范化的常规测量中，若在重复性条件下对被测量X作n次测量，并且有m组这样的测量结果，由于各组之间的测量条件可能会稍有不同，因此不能直接用贝塞尔公式对总共m×n个测量值计算其实验标准差，而必须计算其合并样本标准差（又称组合实验标准差）[77]，即：

上式中，xjk是第j组第k次测量值，j是第j组n个测量值的算术平均值。

当各组所包含的测量次数不完全相同时，则应采用方差的加权平均值，权重（即自由度）为（nj-1），此时的合并样本标准差为：

上式中，nj是第j组的测量次数，s2j是第j组nj个测量值的样本方差。

在一些常规的日常校准或检定工作中，采用合并样本标准差往往会取得良好的效果[79-81]。

以下选用最为常用的修正前后贝塞尔公式法作为其他各种估计总体标准差统计方法的比较基准。

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统计学的标准差篇（2）

【关键词】  方差分析；效应量；标准均数差；假设检验

     0引言

    效应量（effect size）是一类用来描述处理效应的统计量. 在20世纪60年代，生物统计学家(cohen, 1965; hays,1963)就强调效应量的 应用 ，认为效应量是假设检验的补充［1］. 然而医学领域的绝大多数的研究者在报道结果时，往往仅提供假设检验的p值［2-3］. 1996年美国心 理学 会(apa)的统计推断机构tfsi建议报道研究结果时应同时提供处理效应的方向、大小及其的可信区间［4］. 1998年wilkinson和tfsi 建议对于主要结果必须报道效应量，即报道p值时同时应报道效应量［5］. 2001年美国心理学会(apa)科研手册上规定：论文的结果部分必须报道效应量［6］. 至今已有24种心理学、医学期刊要求研究者投稿时报道效应量［7］. 国内教科书对meta分析所涉及的效应量作了简单介绍，但对效应量的系统研究很少. 依资料类型和研究设计的不同，效应量又有很多种类，我们主要研究方差分析(anova)模型中常用的一类效应量-标准均数差(standardized mean difference).

    1材料和方法

    1.1材料为研究不同的实验设计类型的标准均数差的计算方法，我们采用了bauman等［1］人的实验数据(表1). 该实验采用前后测量设计研究了66名四年级学生不同阅读习惯对理解能力的 影响 . 阅读习惯（研究干预）分为：单纯朗读(ta)，阅读并积极思考(drta)，阅读(dra)，其中dra为对照组. 理解能力用错误检测任务(edt)的得分表示，干预前后两次测量结果用edt1, edt2表示. 该研究考虑了一个控制因素（即研究前的理解能力）：各组前两列的学生研究前理解能力较低，后两列理解能力较高.

    1.2方法在统计分析中，需要解决均数的对比(contrast) 问题 ，即一个研究有j个处理组，则均数的对比可以表示为：

    ψ=c1μ1+c2μ2+…+cjμj(1)

    其中， c1+c2+…+cj=0. ψ=μi-μj是最常见的对比. 对比含有量纲，与反应变量的量纲相同，不能直接用于不同研究间比较；而标准均数差无量纲，可用于不同研究间比较的效应量. 按反应变量的不同，可将标准均数差分为单变量和多变量标准均数差. 不同设计标准均数差计算方法如下：表166名四年级学生接受不同干预后edt得分情况

    1.2.1单变量标准均数差

    1.2.1.1单因素完全随机设计该设计的处理因素有j个水平，实验拟研究的问题可表示为对比(1)，其标准均数差为：

    δ=ψ〖〗σ(2)

    总体参数δ的估计方法：用样本均数x估计总体均数μ， σ可以用准则一中的一种方法进行估计. 准则一：a设计中的某个处理组的标准差，常用对照组的标准差；b对比中所有处理组的合并标准差；c设计中所有处理组的合并标准差.

    当对比中包含所有的处理组时，b, c得到的σ估计值相同，并与anova分析中误差均方(mse)正的平方根相等. 当所有处理组满足方差齐性条件时，c法是估计σ的最佳方法；当不满足时，用a法估计. hedges指出按照准则一估计的标准均数差是δ的有偏估计，需要乘以系数1-3/(4df-1)进行校正，其中df为用于估计σ的标准差或合并标准差的自由度［8］.

    1.2.1.2多因素设计该设计的因素可为干预因素(处理因素)和控制因素(非研究因素、混杂因素). 当所有因素均为干预因素时，标准均数差的计算与单因素完全随机设计相同. 多因素实验中若含有控制因素，如将控制因素与干预因素不加区别，按照准则一计算标准均数差时，会出现相同干预的效应量在不同实验设计间不可比的问题［1］. 根据所研究对比的特征，标准均数差的计算方法不同，如以2×2析因设计为例，见表2. 设实验含有：处理因素a(a1,a2)，控制因素b(b1,b2).

    表2含有控制因素的多因素设计标准均数差的计算方法

    分析目的〖〗对比〖〗标准均数差的计算方法干预因素a的主效应〖〗ψ=1〖〗2(μa1,b1+μa1,b2)-1〖〗2(μa2,b1+μa2,b2)〖〗准则二：a. 按照干预因素分组，计算各组的标准差；b. 用准则一中的一种方法估计σ.干预因素a在b1水平

    的单独效应〖〗ψ=μa1,b1-μa2,b1〖〗同准则二.因素a与b的交互作用〖〗ψ=(μa1,b1-μa2,b1)-(μa1,b2-μa2,b2)〖〗同准则二.控制因素b的主效应〖〗ψ=1〖〗2(μa1,b1+μa2,b1)-1〖〗2(μa1,b2+μa2,b2)〖〗准则三：a. 按照干预因素及对比中含有的控制因素分组，计算各组的标准差；b. 用准则一中的一种方法估计σ. 控制因素b在a1水平的

    单独效应〖〗ψ=μa1,b1-μa1,b2〖〗同准则三.

    多因素实验研究的对比可能仅含有控制因素，不含有处理因素，如在2×2×2析因设计中，对比为：

    ψ=1〖〗2(μb1,c1+μb1,c2)-1〖〗2(μb2,c1+μb2,c2)(3)

    其中，a为处理因素，b, c为控制因素. 仅含有控制因素对比的标准均数差计算方法：a按照实验研究的控制因素分组，计算各组的标准差，在对比(3)中，按照因素b分组；b用准则一估计σ.

    1.2.1.3含有协变量的多因素设计协方差分析(anocva)通过建立协变量与反应变量的线性回归关系，对各组的反应变量的均数进行校正后，再进行假设检验. anocva标准均数差的计算方法为：用样本校正均数xc估计总体均数μ，将协变量作为控制因素，按照准则二来估计σ.

    1.2.1.4含有重复测量因素的多因素设计含有重复测量因素的设计可分为：①仅含有1个或多个重复测量因素的设计；②含有重复测量因素和观测间因素的设计. 因为重复测量因素为处理因素，所以①中不存在控制因素引起的相同处理的效应量在不同实验设计间不可比的问题，标准均数差的计算方法，与因素为处理因素的设计相同. 含有重复测量因素和观测间因素的设计计算标准均数差时，将重复测量因素作为处理因素，如观测间因素含有控制因素按照表2中准则二或三计算.

    1.2.2多变量标准均数差马氏距离在多元方差分析中即是一种多变量标准均数差. 马氏距离公式为：

    d=d′r-1d

    其中，d为单变量标准均数差向量，r为合并的组内相关矩阵. 实际计算中，马氏距离可以由多元检验统计量wilkss λ计算得到：

    d=df(1-λ)σk〖〗i=1c2i/ni〖〗λ(4)

    其中：k为处理组数， ci, ni分别为i组对比系数和样本量. df的计算公式为：df=σni-k.

    1.2.3标准均数差的解释标准均数差的解释准则不多，因为医学 研究 领域所涉及的 内容 很广泛，想给出普遍适用的准则，需要冒很大风险. cohen建议标准均数差为0.2时，效应为小，0.5为中等，0.8为大. 如果样本满足正态分布，总体间重叠的比例(percent of overlap, ol%)，有助于标准均数差的解释. 若处理组与对照组的标准均数差为0.70，那么可认为处理组50％的研究对象反应变量值大于对照组76％的研究对象的值(图1).

    图1标准均数差与ol%示意图

    2结果

    bauman等人的研究关心阅读 方法 ta和drta的平均效应与dra的差别（对比ψ1）以及阅读方法ta与drta的差别（对比ψ2）.

    ψ1=1〖〗2(μta+μdrta)-μdra, ψ2=μdrta-μta.

    若仅考虑edt2和干预因素(阅读习惯)，本例的研究设计为单因素完全随机设计. 表3为各组的均数和标准差，表4为对比ψ1, ψ2的标准均数差. 按照cohen准则，两对比均为中等效应. 校正后ψ2的效应量为0.697，可认为50％阅读并积极思考的学生的edt成绩高于76％的单纯朗读的学生成绩.表3各组edt1, edt2成绩表4单因素完全随机设计标准均数差

    若将edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素a和控制因素b(阅读能力)，本例为析因设计. 为了便于公式的演算，假设干预因素为两水平(ta, drta)，本例研究干预因素、控制因素的主效应、单独效应及两因素的交互作用. 这些效应的可以用表2中相应的对比表示，其标准均数差的 计算 见表5.表5多因素设计各组edt2成绩及标准均数差

    若将edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素，并将干预前的测量结果edt1作为协变量，本例为含有协变量的单因素设计(协方差设计). 通过协方差 分析 ，各组校正后的均数见表6. 按照校正均数计算对比ψ1, ψ2的标准均数差，见表6.

    将edt作为研究的反应变量，考虑干预因素和重复测量因素，干预前后edt做了两次，重复测量因素有两水平，本例为含有1个重复测量因素的两因素设计. 不同阅读方式的效 应用 两次测量的差值表示，两对比ψ1, ψ2可以表示为：表6各组edt2成绩及标准均数差

    ψ1=1〖〗2(μedt2,ta-μedt1,ta)+1〖〗2(μedt2,drta-μedt1,drta)-(μedt2,dra-μedt1,dra),

    ψ2=(μedt2,drta-μedt1,drta)-(μedt2,ta-μedt1,ta).

    根据表3，可计算对比ψ1, ψ2的标准均数差分别为1.018, 0.439.

    将edt1, edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素，本例为多元单因素完全随机设计. 对比ψ1,ψ2中的μ为均数向量，检验统计量wilkss λ，可以用sas/glm contrast计算得到［9］. 由公式(4)可计算对比ψ1,ψ2的多元标准均数差d分别为1.228, 0.689.

    3讨论

    标准均数差是方差分析模型中常用的一类效应量，也是 目前 心 理学 、医学研究领域和meta分析中最常用到的效应量. 本文按照不同的实验设计，考虑相同干预不同设计间效应量的可比性，介绍了标准均数差的计算方法， 总结 给出了相应的计算准则，并给出了实例. meta分析常遇到研究干预相同、研究设计不同的情况下，效应量的计算 问题 . 本文介绍的标准均数差的计算方法可以很好的解决这一问题. 另外，本文介绍的标准均数差的计算可适用于两组和多分组的情况，有些资料和 文献 上针对两组资料的比较对标准均数差进行介绍. 专用于两组比较的标准均数差有：cohens d，glasss δ，hedgess g和cohens f2 ［10］.

    尽管apa和24种期刊要求研究者进行假设检验时，必须报道一种或多种效应量作为其补充，但是对效应量能否帮助研究者或读者提供有关干预效应有无实际意义的信息，也有统计学家提出疑问［1］. cohen对标准均数差解释制定的准则，能否适用医学研究领域，也存在争议. cohen也建议统计学者制定其他的准则来解释标准均数差. 目前，国内的生物医学期刊还未要求报道效应量，国外对效应量的研究和报道较多，尤其是在心理测量领域的研究，并有关于效应量误用的分析报道，因此我国生物医学论文要求报道效应量是未来的 发展 趋势.

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统计学的标准差篇（3）

【关键词】 方差分析；效应量；标准均数差；假设检验

0引言

效应量（effect size）是一类用来描述处理效应的统计量. 在20世纪60年代，生物统计学家(cohen, 1965; hays,1963)就强调效应量的 应用 ，认为效应量是假设检验的补充［1］. 然而医学领域的绝大多数的研究者在报道结果时，往往仅提供假设检验的p值［2-3］. 1996年美国心 理学 会(apa)的统计推断机构tfsi建议报道研究结果时应同时提供处理效应的方向、大小及其的可信区间［4］. 1998年wilkinson和tfsi 建议对于主要结果必须报道效应量，即报道p值时同时应报道效应量［5］. 2001年美国心理学会(apa)科研手册上规定：论文的结果部分必须报道效应量［6］. 至今已有24种心理学、医学期刊要求研究者投稿时报道效应量［7］. 国内教科书对meta分析所涉及的效应量作了简单介绍，但对效应量的系统研究很少. 依资料类型和研究设计的不同，效应量又有很多种类，我们主要研究方差分析(anova)模型中常用的一类效应量-标准均数差(stan?dardized mean difference).

1材料和方法

1.1材料为研究不同的实验设计类型的标准均数差的计算方法，我们采用了bauman等［1］人的实验数据(表1). 该实验采用前后测量设计研究了66名四年级学生不同阅读习惯对理解能力的 影响 . 阅读习惯（研究干预）分为：单纯朗读(ta)，阅读并积极思考(drta)，阅读(dra)，其中dra为对照组. 理解能力用错误检测任务(edt)的得分表示，干预前后两次测量结果用edt1, edt2表示. 该研究考虑了一个控制因素（即研究前的理解能力）：各组前两列的学生研究前理解能力较低，后两列理解能力较高.

1.2方法在统计分析中，需要解决均数的对比(contrast) 问题 ，即一个研究有j个处理组，则均数的对比可以表示为：

ψ=c1μ1+c2μ2+…+cjμj(1)

其中， c1+c2+…+cj=0. ψ=μi-μj是最常见的对比. 对比含有量纲，与反应变量的量纲相同，不能直接用于不同研究间比较；而标准均数差无量纲，可用于不同研究间比较的效应量. 按反应变量的不同，可将标准均数差分为单变量和多变量标准均数差. 不同设计标准均数差计算方法如下：表166名四年级学生接受不同干预后edt得分情况

1.2.1单变量标准均数差

1.2.1.1单因素完全随机设计该设计的处理因素有j个水平，实验拟研究的问题可表示为对比(1)，其标准均数差为：

δ=ψ〖〗σ(2)

总体参数δ的估计方法：用样本均数x估计总体均数μ， σ可以用准则一中的一种方法进行估计. 准则一：a设计中的某个处理组的标准差，常用对照组的标准差；b对比中所有处理组的合并标准差；c设计中所有处理组的合并标准差.

当对比中包含所有的处理组时，b, c得到的σ估计值相同，并与anova分析中误差均方(mse)正的平方根相等. 当所有处理组满足方差齐性条件时，c法是估计σ的最佳方法；当不满足时，用a法估计. hedges指出按照准则一估计的标准均数差是δ的有偏估计，需要乘以系数1-3/(4df-1)进行校正，其中df为用于估计σ的标准差或合并标准差的自由度［8］.

1.2.1.2多因素设计该设计的因素可为干预因素(处理因素)和控制因素(非研究因素、混杂因素). 当所有因素均为干预因素时，标准均数差的计算与单因素完全随机设计相同. 多因素实验中若含有控制因素，如将控制因素与干预因素不加区别，按照准则一计算标准均数差时，会出现相同干预的效应量在不同实验设计间不可比的问题［1］. 根据所研究对比的特征，标准均数差的计算方法不同，如以2×2析因设计为例，见表2. 设实验含有：处理因素a(a1,a2)，控制因素b(b1,b2).

表2含有控制因素的多因素设计标准均数差的计算方法

分析目的〖〗对比〖〗标准均数差的计算方法干预因素a的主效应〖〗ψ=1〖〗2(μa1,b1+μa1,b2)-1〖〗2(μa2,b1+μa2,b2)〖〗准则二：a. 按照干预因素分组，计算各组的标准差；b. 用准则一中的一种方法估计σ.干预因素a在b1水平

的单独效应〖〗ψ=μa1,b1-μa2,b1〖〗同准则二.因素a与b的交互作用〖〗ψ=(μa1,b1-μa2,b1)-(μa1,b2-μa2,b2)〖〗同准则二.控制因素b的主效应〖〗ψ=1〖〗2(μa1,b1+μa2,b1)-1〖〗2(μa1,b2+μa2,b2)〖〗准则三：a. 按照干预因素及对比中含有的控制因素分组，计算各组的标准差；b. 用准则一中的一种方法估计σ. 控制因素b在a1水平的

单独效应〖〗ψ=μa1,b1-μa1,b2〖〗同准则三.

多因素实验研究的对比可能仅含有控制因素，不含有处理因素，如在2×2×2析因设计中，对比为：

ψ=1〖〗2(μb1,c1+μb1,c2)-1〖〗2(μb2,c1+μb2,c2)(3)

其中，a为处理因素，b, c为控制因素. 仅含有控制因素对比的标准均数差计算方法：a按照实验研究的控制因素分组，计算各组的标准差，在对比(3)中，按照因素b分组；b用准则一估计σ.

1.2.1.3含有协变量的多因素设计协方差分析(anocva)通过建立协变量与反应变量的线性回归关系，对各组的反应变量的均数进行校正后，再进行假设检验. anocva标准均数差的计算方法为：用样本校正均数xc估计总体均数μ，将协变量作为控制因素，按照准则二来估计σ.

1.2.1.4含有重复测量因素的多因素设计含有重复测量因素的设计可分为：①仅含有1个或多个重复测量因素的设计；②含有重复测量因素和观测间因素的设计. 因为重复测量因素为处理因素，所以①中不存在控制因素引起的相同处理的效应量在不同实验设计间不可比的问题，标准均数差的计算方法，与因素为处理因素的设计相同. 含有重复测量因素和观测间因素的设计计算标准均数差时，将重复测量因素作为处理因素，如观测间因素含有控制因素按照表2中准则二或三计算.

1.2.2多变量标准均数差马氏距离在多元方差分析中即是一种多变量标准均数差. 马氏距离公式为：

d=d′r-1d

其中，d为单变量标准均数差向量，r为合并的组内相关矩阵. 实际计算中，马氏距离可以由多元检验统计量wilks?s λ计算得到：

d=df(1-λ)σk〖〗i=1c2i/ni〖〗λ(4)

其中：k为处理组数， ci, ni分别为i组对比系数和样本量. df的计算公式为：df=σni-k.

1.2.3标准均数差的解释标准均数差的解释准则不多，因为医学 研究 领域所涉及的 内容 很广泛，想给出普遍适用的准则，需要冒很大风险. cohen建议标准均数差为0.2时，效应为小，0.5为中等，0.8为大. 如果样本满足正态分布，总体间重叠的比例(percent of overlap, ol%)，有助于标准均数差的解释. 若处理组与对照组的标准均数差为0.70，那么可认为处理组50％的研究对象反应变量值大于对照组76％的研究对象的值(图1).

图1标准均数差与ol%示意图

2结果

bauman等人的研究关心阅读 方法 ta和drta的平均效应与dra的差别（对比ψ1）以及阅读方法ta与drta的差别（对比ψ2）.

ψ1=1〖〗2(μta+μdrta)-μdra, ψ2=μdrta-μta.

若仅考虑edt2和干预因素(阅读习惯)，本例的研究设计为单因素完全随机设计. 表3为各组的均数和标准差，表4为对比ψ1, ψ2的标准均数差. 按照cohen准则，两对比均为中等效应. 校正后ψ2的效应量为0.697，可认为50％阅读并积极思考的学生的edt成绩高于76％的单纯朗读的学生成绩.表3各组edt1, edt2成绩表4单因素完全随机设计标准均数差

若将edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素a和控制因素b(阅读能力)，本例为析因设计. 为了便于公式的演算，假设干预因素为两水平(ta, drta)，本例研究干预因素、控制因素的主效应、单独效应及两因素的交互作用. 这些效应的可以用表2中相应的对比表示，其标准均数差的 计算 见表5.表5多因素设计各组edt2成绩及标准均数差

若将edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素，并将干预前的测量结果edt1作为协变量，本例为含有协变量的单因素设计(协方差设计). 通过协方差 分析 ，各组校正后的均数见表6. 按照校正均数计算对比ψ1, ψ2的标准均数差，见表6.

将edt作为研究的反应变量，考虑干预因素和重复测量因素，干预前后edt做了两次，重复测量因素有两水平，本例为含有1个重复测量因素的两因素设计. 不同阅读方式的效 应用 两次测量的差值表示，两对比ψ1, ψ2可以表示为：表6各组edt2成绩及标准均数差

ψ1=1〖〗2(μedt2,ta-μedt1,ta)+1〖〗2(μedt2,drta-μedt1,drta)-(μedt2,dra-μedt1,dra),

ψ2=(μedt2,drta-μedt1,drta)-(μedt2,ta-μedt1,ta).

根据表3，可计算对比ψ1, ψ2的标准均数差分别为1.018, 0.439.

将edt1, edt2作为研究的反应变量，考虑干预因素，本例为多元单因素完全随机设计. 对比ψ1,ψ2中的μ为均数向量，检验统计量wilks?s λ，可以用sas/glm contrast计算得到［9］. 由公式(4)可计算对比ψ1,ψ2的多元标准均数差d分别为1.228, 0.689.

3讨论

标准均数差是方差分析模型中常用的一类效应量，也是 目前 心 理学 、医学研究领域和meta分析中最常用到的效应量. 本文按照不同的实验设计，考虑相同干预不同设计间效应量的可比性，介绍了标准均数差的计算方法， 总结 给出了相应的计算准则，并给出了实例. meta分析常遇到研究干预相同、研究设计不同的情况下，效应量的计算 问题 . 本文介绍的标准均数差的计算方法可以很好的解决这一问题. 另外，本文介绍的标准均数差的计算可适用于两组和多分组的情况，有些资料和 文献 上针对两组资料的比较对标准均数差进行介绍. 专用于两组比较的标准均数差有：cohen?s d，glass?s δ，hedges?s g和cohen?s f2 ［10］.

尽管apa和24种期刊要求研究者进行假设检验时，必须报道一种或多种效应量作为其补充，但是对效应量能否帮助研究者或读者提供有关干预效应有无实际意义的信息，也有统计学家提出疑问［1］. cohen对标准均数差解释制定的准则，能否适用医学研究领域，也存在争议. cohen也建议统计学者制定其他的准则来解释标准均数差. 目前，国内的生物医学期刊还未要求报道效应量，国外对效应量的研究和报道较多，尤其是在心理测量领域的研究，并有关于效应量误用的分析报道，因此我国生物医学论文要求报道效应量是未来的 发展 趋势.

【 参考 文献】

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［2］ glaser dn. the controversy of significance testing: misconceptions and alternatives［j］. am j crit care, 1999,8(5):291-296.

［3］ cohen j. the earth is round (p<0.05) ［j］. am psychol, 1994,49(12):997-1003.

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［5］ wilkinson l. task force on statistical inference apa board of scientific affairs. statistical methods in psychology journals: guidelines and explanations［j］. am psychol, 1999,54(8):594-604.

统计学的标准差篇（4）

对于日常生活中的一组数据（包括出现的样本和总体）来说，我们不但要关心它的集中程度，而且还要关心它的离散程度. 通过本章对极差、方差、标准差的学习，可以帮助同学们更加全面地认识数据，从而能够对数据做进一步的处理并做出一定的推断、评论和预测. 在学习本章时，要能够理解一组数据极差、方差、标准差的含义，知道三个统计量之间的区别与联系；会计算极差、方差、标准差并能用它们来比较不同样本的波动情况；通过实践、探索活动，体会用三个统计量表示数据波动情况的合理性，并能用它们解决有关实际问题. 因此，本章学习重点：会计算一组数据的极差、方差、标准差；本章学习难点：应用极差、方差、标准差来解决有关实际问题.

一、 了解极差、方差与标准差的概念

一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，这样的差叫做极差.

二、 理解极差、方差与标准差联系与区别

极差、方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度统计量，它们具有各自的特点：极差是一组数据中最大值与最小值的差，因此，极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况. 方差或标准差反映了一组数据的波动大小，方差或标准差越大，数据的波动越大；方差或标准差越小，数据的波动越小. 必须注意的是：当两组数据的平均数相等或比较接近时，才能利用方差或标准差比较两组数据的离散程度.

由此可以看出：平均数相同的两组数据，极差大的一组数据方差不一定大.

三、 灵活应用极差、方差或标准差解决实际问题

例 为了声援扬州“世纪申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包括9分）为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.

统计学的标准差篇（5）

（二）科学设置教学内容统计的目的是认识社会经济现象总体的数量方面，从中发现带有规律性的东西。为了达到这个目的，统计需要做一系列的工作。统计课的教学内容就是按照统计工作过程的每个阶段来安排的：统计设计、统计调查、统计整理、统计描述、统计推断、统计分析和数据积累。其中，统计设计和统计数据积累理论性较强，原则上让学生知道“是什么”、“怎么做”就行了。而对于统计调查、统计整理这两部分，内容虽然多，但容易理解，可以简单讲解，让学生多看，借此培养学生的自我学习能力。统计描述、统计推断、分析这几部分内容，要在学生对统计基本概念准确理解的基础上进行系统讲解。搜集统计数据的过程又称为统计调查，就是围绕统计指标及其体系搜集统计数据，特别是原始数据。主要方法包括直接观察法、报告法、采访法、邮寄法和实验设计调查法。统计整理，即对调查资料进行加工汇总。统计调查所获得的资料往往是分散的、不系统的原始资料，这就要求我们必须对统计调查所获得的资料进行科学的整理，并通过合适的形式把这些整理结果表述出来。具体来说，统计整理是根据统计研究的目的和要求，对统计调查所得到的原始资料进行科学分类、汇总，或对已初步加工的资料进行再加工，使之系统化、条理化，成为能够反映现象总体特征的综合资料的工作过程。统计整理主要讲方法，包括分组、汇总和编制统计表和绘制统计图。统计课的主要内容包括：统计描述（综合指标）、抽样推断、统计指数、时间数列（动态分析）和相关与回归分析。这也是重点和难点。

（三）注重学科知识的系统性统计各章节内容的安排是有逻辑性的，前面内容往往是后面内容的基础。学习过程环环相扣，不能跳越某一章节而直接进入后面的章节。总论部分是对统计课程教学内容的概括描述，通过学习，使学生了解统计学的基本框架体系，把握统计学的涵义、研究对象、研究方法及统计活动的过程，尤其要准确理解统计学的基本范畴（基本概念）。统计学基本范畴包括：总体、总体单位、标志、统计指标以及延伸出的小概念。如果把统计课的学习比喻为盖高楼大厦，那么这些基本范畴就是地基或基石。深刻理解领会这些基本概念的含义，准确把握基本概念之间的区别与联系，并能正确运用，就为这座高楼大厦夯实了地基、稳固了基石。教师讲解这些概念时，可结合生活中学生熟悉的例子深入浅出地讲解，课下布置练习进行巩固。

二、统计课重点、难点内容解析

（一）统计学的基本概念最基本的概念包括：总体、总体单位、标志、统计指标。如上所述，这是学好统计课的基础。例如，“总体”这个概念。毫不夸张地说，统计所有章节的内容都是围绕“总体”展开的。统计学的研究对象是大量的客观现象，特别是社会经济现象的数量方面，包括数量特征、数量关系和数量界限，目的是认识社会经济现象发展变化的规律性。而社会经济现象包罗万象，种类繁杂，包括社会的政治、经济、文化、人民生活等领域的各种现象。统计研究时需要分门别类，把他们界定为一个个客观存在的、具有某种共同性质的许多个别现象或事物组成的集合体，即统计总体。个别现象或事物就是总体单位。总体具有大量性、同质性、差异性三大特征。大量性即总体是由许多单位组成的，一个或少数单位不能形成总体，因为统计研究的目的是要揭示大量事物的普遍规律性，所以，统计研究的对象必须包括足够多的个体。同质性即构成总体的各单位必须具有某种共同性质，这是形成总体的客观依据，也是我们确定总体范围的标准。差异性即总体的各单位除了某些方面的共同性外，在其他方面必须有差异，这些差异是统计研究的基础和前提。如果学生不理解“总体”这个概念，就不能在特定的统计研究目的下，准确地界定总体的范围，描述总体的总量指标、相对指标、平均指标就无从理解和计算，更谈不上利用这些指标进行统计推断和统计分析。

统计学的标准差篇（6）

在各种医学期刊论文中，对统计学处理与统计指标的合理运用问题，已比过去有所重视，但尚存在不少问题。

（一）均数与标准差、标准误的合理运用问题

在医学论文中运用均数（表示各变量值平均水平与集中趋势）、标准差（表示变量值个体问离散情况与程度）和标准误（表示样本群体间差异程度，衡量抽样误差大小）的地方是很常见的，而达到合理运用尚存在一些问题。例如，在比较两样本统计量时只考虑平均水平（均值），而忽视了离散情况（标准差）和抽样误差（标准误）；在正常值研究时，如资料近似正态分布，应当用均值加减K倍标准差（X±KS）来确定95％的正常值范围（K根据样本大小查K值表而定），应当标明标准误，而错用了标准差等。如《正常小儿三种不同剂量及正常成人50微克PHA皮试反应强度研究》一文中写道：“正常值范围为均值±2×标准误”。井写道：“小儿50微克组：均值±2×标准误＝2.01～18.1毫米”。显然是错误地把标准误当成标准差用作估计正常值了。

（二）正常值研究中的几个问题

临床正常值确定方法依资料频数分布类型而定，主要有两种：一是均值加减标准差法适用于近似正态分布资料，二是百分位数法，适用任意分布资料。此外，角度资料（如脑血流图、心电图等的角度数据）运用圆形分布法，Poisson分布资料用Poisson分布法，正偏态分布资料用对数正态分布法等来处理。现今全国发表的一些医学论文中，正常值方面的问题也较多。引一些实例加以研究。

如在《迁延性、慢性肝炎患者植物血凝素皮试应用价值的探讨》一文中写道：“正常人甲组156人…平均值±标准误为15.4±0.4mm（平均值上标准差为15.4±5.6mm）。”那么，正常值是角标准误与标准差咖个统钎量来计算的呢？是加减1倍还是2倍标准差（或标准误）呢？作者均来说明。

又如《正常儿童尿游离α氨基酸氮的测定》一文，对1～13岁（分四个年龄组）125名正常儿进行研究，在正常值研究设计及分析时存在三个问题：（1）样本含量不足：如不同性别、不同年龄组的测定值仅据15人的结果而定正常值，显然是不妥的。作者针对各组结果矛盾现象，在讨论中两八提到“可能因例数太少，不能切实反映客观规律的缘故。”若按不同性别、年龄组确定正常值，一般要求每组100～12O人方能悦明问题。（2）错把标准误当作标准差用作估计正常值范围：文中说：“1～13岁正常儿童的游离α氮基酸氮／总氮％的均值可信限为：1.30±3×0.036，即1.19～1.41”。这里将标准误0.036当作标准差用作估计正常值了。正确的应是：“游离α氨基酸氮×l00／总氮％的95％正常值范围为1.30±2×0.4＝0.～2.3。这里0.4是标准差。正常值范围在正态分布资料时，如考虑到样本大小及把握度，最好表达为单侧：＋KS或－KS；双侧±KS。式中K值表（见周达生：医学问答，中华儿科杂志（4）：245，1980）。（3）按性别、年龄组制订正常值问题：当研究对象有多个年龄组时，两组均数间比较用t检验，多组均数间比较可用F－Q检验，若差异显著，则需按不同性别、年龄组分别制订正常值。

（三）联系与因果

在临床实验研究中，经某种处理（如治疗）后受试对象出现某种反应（如治愈），并不能肯定是因果关系。有时比较两变量之间关系时，虽明显相关，但也不能断言其间有因果关系，只能说有一定统计联系（苏德隆：联系与因果。中华预防医学杂志13:106，1979）。在医学论文中甚至有不作相关回归分析就胃然下类似结论的。要了解有无因果关系，有时可进一步作回归分析（当然因果可表现为回归关系，但呈回归关系不一定是因果关系）。

（四）多组多级小值频数处理问题

在临床及动物实验研究中常遇到多组多级（R×C表）小值频数的比较，论文中大多忽视此类数据的合理统计处理，主要问题有：（1）未加适当统计处理，不考虑抽样误差而凭表面数字差别就轻易下结论。（2）处理方法不恰当。对此类数据可采用超几何概率计算法（见周达生：医学科研中乡组小值频数统计处理方法探讨。中华预防医学杂志（4）:211，1980）、薛仲三氏X3检验公式（见薛仲三，医学统计方法和原理。366页，人民卫生出版社，北京1978）和秩和检验与等级指数法（黄镇南：等级型资料的三种统计分析方法，湖南医学院，长沙，1980）等。

（五）零反应的统计处理

两组计数比较，若一组有零反应，即出现0％或100％情况时，可用零反应公式处理。

统计学的标准差篇（7）

在统计学及其相关课程中，有关差异指标（也称“差异量数”，下同）的教学要点有二：一是差异指标的意义，二是差异指标的种类。前者的要义可概括为：综合反映总体（或样本）各个单位标志值（或数据）的差异程度（或离中趋势、离散程度等）；后者的意思是说：差异指标的种类很多，它们各有自己的计算方法和特点。如果我们把后者的这种不同种类、特点也统称做“差异”的话，那么，我们在统计学有关学科的教学过程中，就应把这两个方面的“差异”向学生交代清楚，使他们对差异指标之“差异”有个客观、全面而准确的理解，从而避免由于理解的片面性得出错误的判断。

一、正确理解不同差异指标之间的“差异”

人教版初中代数第三册教师教学用书第171页有这样一段话：“在表示各数据与其平均数的偏离程度时，……为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方，……这主要是因为在很多问题里含有绝对值的式子不便于计算，且在衡量一组数据波动大小的‘功能’上，方差更强些。例如有两组数据：

甲 9 ，1 ，0 ，－1 ，－9；

乙 6 ，4 ，0 ，－4 ，－6。

从直观上看，甲组数据的波动要比乙组数据大些，但它们的平均差都是4，区分不出其波动大小；而甲组数据的方差是32.8，乙组数据的方差是20.8，用方差可将它们的波动大小区别开来。”

其实，上述的一段描述是在告诉读者这样一个命题：在平均差与方差（或标准差）之间，方差（或标准差）表示数据波动大小的“功能”强于平均差。

这个命题是真的么？请看下一个例子：

在一次射击比赛中，甲乙两射手成绩记录如下：

甲 9 ，7 ，9 ，9 ，7 ，7 ，7 ，9；

乙 6 ，8 ，8 ，8 ，10 ，8 ，8 ，8 。

计算他们的平均值、标准差、平均差（如表）。

在这里，两组数据的标准差都是1，区分不出波动的大小，但甲组的平均差为1，乙组的平均差为0.5，我们通过平均差得出结论：甲组成绩的波动性大于乙组的波动性。于是又否定了上述命题，并得到一个于完全相反的命题（叙述从略）。

显然，若综合以上两种（假）命题，取其正确部分的话，那么，正确命题应为：

平均差和标准差（或方差），在所反映的总体（或样本）单位标志值的差异性上具有一致性，但区分这种差异大小的“功能”谁更强些不是绝对的。

那么，为什么人们在学习、应用统计学的多个差异指标时更多关注的是标准差呢？主要有以下理由：（1）反映灵敏，它随任何一个数据的变化而变化；（2）严密确定，一组数据的标准差有确定的值；（3）适合代数运算，可以将几个标准差合成一个总的标准差；（4）可以用样本数据推断总体差异量；（5）在计算其它统计量时，如差异系数、相关系数、标准分数等，都需要标准差。

二、正确理解同一个差异指标值在实际背景中释义的“差异”

某社出版的数学辅导教材有题如下：

甲乙两组学生各有8人，参加某门学科测试成绩如表2（100分制），请比较两组学生的成绩哪组较好一些。

因为 ，甲组成绩的波动比乙组小一些，所以甲组学生的成绩较好一些。

笔者认为：标准答案制订者是建立在“组内学生之间学习差异越小，成绩越好”的教育教学理念下做出这一判断及结论的。要知道，在新课程的教育教学理念下是允许学生与学生之间存在差异的，倡导学生在学习各门课程时敢于“冒尖”、创新，不搞“一刀切”，要让学生在全面发展的基础上培养个人特长。在评价学生时，以多元智能理论为依据，多方法、多手段、多尺度地考查学生的学习效果。基于此，我们又可以认为乙组的成绩好于甲组。甚至，倘若再对照例题中两组学生的其他指标情况，比如优秀率：若规定90分以上为优秀，则两组持平；若规定85分以上为优秀，则甲组为1/8，乙组为1/2，也会得出乙组的成绩好于甲组的结论。

统计学的标准差篇（8）

中图分类号：G633文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）07-0-01

在学习统计学过程中，许多学生会觉得很多的统计指标很抽象、很难理解，比如标准差的意义：标准差越大，说明离散程度就越大，均数的代表性就越差；反之，标准差越小，说明离散程度就越小，均数的代表性就越好。很多学生在离散程度大小上感到难以理解。在教学中，我通过图解法，许多学生就觉得标准差的意义好理解，非常的简单。下面我就举例说明如何使用图解法来讲解标准差。

例：有三组资料：

甲组4，5，6，7，8，9，10；

乙组2，3，5，7，9，11，12；

丙组2，4，6，7，8，10，12；

若用均数来描述其集中趋势，均数均等于7，但大家一看就知道，这三组资料的分布并不相同，或者说离散程度不同，这是在分析资料时必须加以考虑的。表示离散程度的指标有：极差、方差、标准差、变异系数等。

极差是观察值中的最大值与最小值之差。极差大，说明离散程度大，极差小，说明离散程度小。=10-4=6，=12-2=10，=12-2=10。＜，说明乙组的离散程度大于甲组。但=，能不能就说乙组和丙组的离散程度一样了呢？显然不能，极差只和观察值中的最大值和最小值有关系，跟组内其他数据无关，大家一看就知道，乙组和丙组内部数据分布并不相同。下面我们就画个图（如图1）大家可以看得更清楚。

大家一看图便知，乙组的5和9、3和11比丙组的6和8、4和10离均数7都更远（这两对数据可以用不同颜色的粉笔在黑板上标出来），其他2和12相同。显然乙组内部分布比丙组内部分布的离散程度大。这是极差所不能反映的。也就提醒要考虑组中每一个数与均数的离散程度，也就是可以用离均差表示，

但数理统计可以证明，由于正负号相互抵消，各观察值的离均差之和必等于。

这样还不能反映各个数的离散程度，那我们可以用离均差平方以后再相加，这样负数也变成正数，离均差平方和即可以把乙组和丙组的数据代入计算，得乙组的离均差平方和

=(2-7)2+(3-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)2+(12-7)2=90

大于丙组的离均差平方和

=(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2=70，

而乙组和丙组的变量个数相同，由此可以得到这样结论，离均差平方和越大，离散程度就越大（这个从图中可以很直观地看出来）。

L(x-e)2=70+（m1-7）+（m2-7）就要大于70了（在离散程度不变的前提下，可以得出m1=7-，m2=7+）。

为了消除变量个数对离均差平方和大小的影响，可以考虑取离均差平方和的均数，得到的是总体方差，如下式所示。

由于各个离均都经过平方，原来的度量单位都变为平方单位了，为了用原来单位表示，可以把总体方差开平方，得到总体标准差，公式如下

由于变异度越大，则离均差平方和越大，标准差就越大，故标准差越大，说明个体变异度越大，则平均数的代表性就越差。

我们再把前面本组数据分别代入公式计算

可得

统计学的标准差篇（9）

中图分类号：TH824 文献标识码：A 文章编号：1671—7597（2013）022-051-2

1 惯性导航系统加速度计误差

捷联惯性导航系统属于一种隐蔽性很强、自主实时待命的导航系统，能够提供全天候连续监控功能。但是，随着时间的推移，捷联惯性导航系统的精度会逐渐降低。而且，导航系统精度降低的另外一个原因就是加速度计存在误差，因此，需要对导航系统加速度计进行误差标定补偿。

目前，对于惯性导航系统加速度计误差补偿方法的研究较多，补偿方案也各不相同。例如：基于椭圆球对惯性导航系统加速度计误差测量的方法，将多个姿态测试的加速度计得出的结果全部拟合到椭圆曲面中，使椭圆球的具体参数进行转换之后得到加速度计的偏置度和敏感度；或者基于重力场静态翻滚的测试方法，对导航系统加速度计的输入输出量进行测量，加速度计误差系数的辨识是通过最小二乘发法加权的形式得到的。但是，上述两种加速度计标定方法都是处于开箱状态标定，这种方法不但耗费大量资金成本，而且实际工作量很大。

加速度计误差包括两种，分别是随机性误差和非随机性误差。惯性导航系统加速度计的随机性误差主要是通过一阶马尔科夫过程构成，在实施标定的过程中，将其等效为零均值白噪声。非随机性误差属于惯性导航系统器件的特有属性，能够在一段时间内保持误差不变，因此，可以采取加速度计标定方法得到其误差模型，加速度计的误差共由四部分组成，分别是安装误差、常值误差、测量噪声和刻度因数误差。

2 惯性导航系统加速度计误差机理分析

在捷联惯性导航系统中，包括三个加速度计和三个陀螺仪，均直接装配于导航飞行器表面，按照相关要求，三个输入轴与机体正交坐标系中的三个输入轴相同。但是，器件安装过程中是无法完全避免误差存在的，因此，使得惯性导航系统加速度计坐标系全部成为非正交坐标系。将二维非正交坐标系变换成为三维非正交坐标系之后，可以通过利用两个参数对每个轴向的加速度计误差进行详细描述。和是根据以下方法进行确定的：沿着oxa 向 oxpyp平面作一个直面，得到相交线 ox'。是 ox'和两线之间oxp的夹角，是ox'和 oxa之间的夹角，如图1所示。

由此，得到惯性导航系统加速度计坐标系在正交坐标系的投影：

由于加速度计的安装误差角全部属于小量，因此可以表示为：

由此，得到加速度计安装误差角的矩阵：

加速度计的刻度因数误差指的是当加速度计以脉冲信号的形式输出时，需要根据相应比例计算得到实际加速度值数，其具体比例系数是利用测试方法获取的，由于惯性导航系统器件的实际比例系数与经过测试得到的比例系数不一定完全相同，由此导致测量误差的出现。当惯性导航系统加速度计的输入量为 时，由以下公式得到实际加速度测量值：

上式中，则作为惯性导航系统加速度计的刻度系数矩阵。加速度计零偏误差指的是当对加速度计的输入比例为零时其具体输出数值。通常情况下以作为加速度计的常见误差，以作为加速度计的测量随机噪声

。

3 惯性导航系统加速度计标定补偿方案

将某个标准装置确定为理想标准装置，以理想装置作为基准，在同一环境和条件下，对待测装置和标准装置的激励要选择相同的激励信号，并得到待测装置和标准装置各自的加速度输出量，对这些加速度输出量进行比较之后获得比较偏差，对加速度计误差系数的辨识通过待测装置输出值和比较偏差完成，将加速度计误差系数代入到模型中，同时对模型和装置进行激励，最终利用误差模型得到的输出对待测装置输出进行误差标定补偿，具体过程如图2所示。

整个加速度计标定补偿分为两个步骤，一是标定加速度计误差模型中的误差系数；二是通过已经获得的加速度计误差模型输出对待测装置加速度计的输出进行补偿。

3.1 加速度计车载激励方式

加速度计待测装置和标准装置的安装过程如下。

1）待测装置处于车载筒装导弹状态。

2）标准装置的精确度较高。

3）标准装置采用 xyz坐标系，待测装置采用xbybzb 坐标系。其中， xyz和xbybzb的指向相同。

通过加速度计车载激励实验证明设置车载激励方式，对惯性导航系统加速度计的激励能够满足车载激励实验要求。

如图3（a）所示，在水平路面上，车载筒装导弹沿着一个方向做加速运动或者减速运动，对 x轴产生车载激励，重力场也对加速度计 y轴产生车载激励。但是，z 轴方向加速度计敏感量等于零。

如图3（b）所示，在倾斜路面上，将其坡度设为，车载筒装导弹按照其路线行驶。在此种情况下，重力场对 x轴和y轴产生车载激励，z轴方向加速度计敏感量等于零，如果车载筒装导弹基于激励方式2继续行驶，对 x轴和 y轴产生的激励不同。

如图3（b）所示，在倾斜路面上，将其坡度设为°，车载筒装导弹按照其路线行驶。重力场对x 轴和 y轴产生车载激励， x轴方向加速度计敏感量等于零。

3.2 加速度计标定实施与仿真

上述文章中提到，车载激励方式分为三种，采用这三种车载激励方式分别对惯性导航系统加速度计进行激励。采取户外实验的方式，通过选择不同的路面坡度，车载筒装导弹以不同的速度在不同坡度路面上行驶，再将这些车载激励方式进行组合，从而获得不同的车载激励方式。与此同时，采集待测装置和标准装置的加速度计输出数值，以此得到更多组合的加速度计输出数值，当具有相同时刻时，比较待测装置和标准装置加速度输出数值，从而能够得到正确的惯性导航系统待测装置加速度计的误差数值。

本文对车载筒装导弹沿着不同路面坡度激励进行了仿真实验，假设惯性导航系统已经完成初始对准，当重力加速度为时，对加速度计进行标定补偿之前，惯性导航系统待测装置加速度计输出误差值数较大，但是经过加速度计标定补偿之后，精度提升比较明显，因此证明了本文提出的加速度计标定方案切实可行。

4 结论

综上所述，在分析了不开箱车载筒装导弹加速度计标定方法背景下，提出了一种开箱惯性导航系统加速度计误差标定方案，设计了详细车载激励方式和的标定补偿方案，通过仿真实验能够发现，本文采用的惯性导航系统加速度计标定补偿方案是行之有效的，而且，这种补偿方案在工程安装是比较容易实现，真正提高了惯性导航系统的测量精度。

参考文献

统计学的标准差篇（10）

中图分类号：R318 文献标识码：A

颈椎病也被称为颈椎综合征，是临床常见的多发病之一。随着信息时代不断发展和完善，颈椎病的患病率逐年增加，发展势态更是呈现出年轻化的趋势。长时间伏案工作，不良的习惯姿态以及缺少运动锻炼，都会使颈椎长时间压迫，积劳成疾，常给人带来疼痛无力的感觉，严重者甚至会对日常生活和工作产生较大影响，导致其他后果。介于手术会造成一定的创伤，且利用手术进行治疗有着十分严格的适应症标准，不列为首选考虑，牵引可以适用于任何类型的颈椎病，通过治疗可以缓解血管紧张度，促使血管中血流的畅通，增加一定的血流量，所以临床上颈椎牵引一般会作为首选的治疗方案，但因各种类型颈椎病特点不同，单一使用牵引治疗不具有针对性疗效有所偏差。

本研究探讨不同类型的颈椎病患者在颈椎牵引治疗后自我感X和颈部功能活动的改变，比较其疗效差异，在临床治疗中，符合病情的基础上酌情选择，更有针对性地选择适合的治疗方案。

1对象与方法

1.1研究对象

选取武汉市人民医院门诊收治的颈椎病患者共一百例，根据主诉核磁共振等影像学检查，肌电图检查和压顶试验、臂丛牵拉试验、旋颈试验等物理检查进行明确诊断。纳入标准：首诊且未接受过其他任何治疗方案者；知情同意并签署知情同意书。排除标准：颈椎结核患者和肿瘤患者以及严重骨质疏松患者还有陈旧性颈椎外伤或有外科手术史的患者还有部分椎动脉硬化患者及患有先天颈椎畸形的患者根据诊断分型进行分组，颈型、神经根型以及椎动脉型各二十五，交感神经型十五，脊髓型十。

1.2研究方法

颈椎牵引按照标准流程进行操作。仪器采用日本医用颈椎牵引仪，患者规定为端坐位，采用坐式枕颌带牵引，角度为颈部自躯干前倾十五到二十度，同时注意避免过伸，牵引时间每次三十分钟，牵引方式为间歇式，牵引力值为体质量的百分之十五到二十，首次量小之后可根据患者的耐受量进行调节，每日一次，十次为一个疗程，两个疗程后统计疗效。

1.3观察指标

疼痛指数观察应用疼痛视觉模拟评分对主观疼痛感觉进行评定；颈椎功能观察应用颈椎功能障碍指数，对颈椎现有颈椎功能和对生活工作等造成的障碍进行综合评定。

1.4评定标准

1.4.1 VAS评定标准

用一条游动标尺，十个刻度，一端为零，表示无痛；另一端为十，表示剧痛；中间以渐进方式表示不同程度疼痛。可以让病人凭借主观感觉指示其所承受的痛感与之对应的刻度上，以数值表示所感觉的疼痛程度。

1.4.2 NDI评定标准

评分量表中含有十个选项，每一个选项得分零到五分，零分表示无残疾，五分表示完全残疾，总分五十。量表从疼痛、自理生活能力、日常活动、工作、学习、娱乐几个角度出发，患者可根据自己的实际情况进行作答，得分与颈部功能成反比，即分数越高则颈部功能活动越差。

2结果

（1）五种颈椎病治疗前后VAS评分比较。不同类型颈椎病患者在治疗前后，评分都有明显的改变，后一次的评分均低于治疗前的评分，显示具有显著统计学意义，其中颈型患者恢复明显，疼痛明显减轻，而脊髓型较其余四种类型疼痛等级略高，不同类型颈椎病患者治疗前后评分比较。NDI治疗前十五点左右，治疗后二点二零左右。VAS治疗前七点六八左右，治疗后二点七二左右。

（2）五种颈椎病治疗前后NDI评分比较。治疗后的NDI评分均低于治疗前所进行的评分，具有显著统计学意义。

（3）五种颈椎病治疗疗效比较。

（4）脊髓型较其余四种疗效比较。从VAS评定标准看，脊髓-较颈型、神经根型具有显著统计学差异，脊髓型-椎动脉型、交感神经型结果无统计学差异；从NDI评定标准来看，脊髓型-颈型、神经根型、交感神经型具有显著统计学差异，脊髓型-椎动脉型结果无统计学差异。

脊髓型较其他四种类型颈椎病患者治疗前后P值。对照组颈型，VAS治疗前零点一七二，治疗后为零，NDI治疗前零点零七八，治疗后为零。神经根型VAS治疗前零点六二二，治疗后为零，NDI治疗前零点六七二，治疗后为零。

2.1椎动脉型较其余三种疗效比较

从VAS评定标准看，椎动脉型-颈型、神经根型具有显著统计学差异，椎动脉型-交感神经型无统计学差异；从NDI评定标准来看，椎动脉型-颈型具有显著统计学差异，椎动脉型-神经根型具有统计学差异，椎动脉型-交感神经型无统计学差异。

椎动脉型较其他三种类型颈椎病患者治疗前后P值。对照组颈型，VAS治疗前零点七八七，治疗后为零，NDI治疗前零点四三四，治疗后为零。

2.2交感神经型较其余两种疗效比较

从VAS评定标准看，交感神经型-颈型具有显著统计学差异，交感神经型-神经根型具有统计学差异；从NDI评定标准来看，交感神经型-颈型具有显著统计学差异，交感神经型-神经根型不具有统计学差异。