高一数学解题公式篇（1）

关键词 高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f＇（a），则相应的切线方程就是y-b=f＇（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R,f＇(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),设f＇（x）=0，得到x=±2，当,x>2或x<-2时，,f＇(x)>0，所以函数在（负无穷，-2）和（2，正无穷）上是增函数；当-2<x<2时，f＇(x)<0，所以函数在（-2，2）上是减函数，所以当x=-2时，函数有极大值为f（-2）=16，当x=2时，函数有极小值为f（2）=-16能够利用导数公式对函数极值进行求解中，应该从方程f（x）=0出发，可以更加准备的得到函数的大小极值。

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1,0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间

解：当f(x)=x3-3x+1，可以得出f＇(x)=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f(x)有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1,1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

参考文献

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现—案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

高一数学解题公式篇（2）

在高中数学教学中，很多数学教师习惯于采用“题海战术”帮助学生掌握数学知识，提高学生的数学分析能力和解题能力，但是如果始终采用这种方法，会使很多学生产生单调枯燥的感觉，从而使其对数学学习失去兴趣. “一题多变”可以让学生通过不同的思路找到多种解题的方法，既可以帮助学生实现数学知识的灵活运用，又可以减轻学生解题的负担，使学生乐于学习、善于学习. 笔者在从事高中数学教学的过程中一直注重“一题多变”教学手段的合理运用，在本文中对实施的具体细节进行阐述，以期对高中数学的教学质量和学生的数学能力的全面发展的提供一点积极的效应. 具体如下：

[?] 注重在公式推导中“一题多变”，帮助学生掌握数学基础公式

高中数学中的公式有很多，掌握公式及其应用不但可以简化学生的解题思路与过程，而且对学生理解教学内容有很大帮助. 但是很多高中数学教师和学生只注重公式的应用，而忽视了对公式的推导，认为推导只是帮助学生记忆公式，其重要性不能与应用相提并论；认为在课堂教学中推导公式只是浪费时间，并没有太大的作用，从而使得学生对公式的理解有限，在解题中灵活应用公式更是无从谈起. 所以在高中数学教学中应注重公式推导中的“一题多变”，为学生熟练应用公式解题打下坚实的基础.

例如：高中数学教师在推导三角函数中二倍角公式时，可以从两角和与差公式进行推导，也可以采用向量知识进行推导，尤其是在推导余弦函数二倍角公式时，可以将其与三角函数的基本关系式相互结合起来，从而推导出余弦函数二倍角公式的三种形式. 这样变换不同的思路与推导方式，既可以帮助学生将数学知识串联起来形成有机整体， 又可以让学生清楚了解公式的来龙去脉，在加深对公式推导过程理解的基础上做到灵活应用.

[?] 注重知识讲解时“一题多变”，加深学生对知识的理解与掌握

高中数学教学内容中涉及很多的概念、定理与公理，而掌握和理解这些教学内容对学好高中数学至关重要. 如果高中数学教师在课堂教学中只是简单地照本宣科，那么学生对抽象、深奥的数学知识的理解则会较为片面，无法在应用时做到游刃有余，所以高中数学教师在知识讲解时可以采用“一题多变”的方式，从而达到教学相长的目的. 高中数学教师在讲解抛物线中焦点弦的问题时，就可以通过“一题多变”的方式让学生理解与掌握此知识点.

例1 已知过抛物线y2=2px焦点的一条直线与其相交，设两交点A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1・y2=-p2.

变式1：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线和抛物线的准线三线共点.

变式2：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线相互垂直.

点评：例题的证明并不难，但是其结论对于学生理解和应用焦点弦却非常重要，在学生明白焦点弦的定义及其结论后，数学教师可以采用“一题多变”的方式，加深学生对焦点弦的理解；而学生在例题及变式的证明过程中可以掌握焦点弦的知识，并将其延伸到椭圆与双曲线中，从而有助于构建起完整的圆锥曲线知识体系.

[?] 注重例题讲解中“一题多变”，引导学生学会融会贯通

虽然学生是教学活动的主体，但是教师的指导作用至关重要，尤其是在高中数学例题讲解中，教师通过“一题多变”的讲解方式，既可以让学生摆脱繁重的课业之苦，又可以培养学生的发散思维与应变能力，让学生从例题讲解中掌握解题的技巧与规律，对知识做到融会贯通.高中数学教师在讲解函数最值时，可以通过“一题多变”的例题讲解，以循序渐进的方式逐渐加大例题难度，从而使学生对数学知识的综合应用做到得心应手.

例2 函数y=-x2+4x-2的最大值是_______.

变式1：已知函数y=-x2+4x-2，则其在区间[0，3]上的最大值为_______，最小值为_______.

变式2：已知函数f（x）=-x2+4x-2，其定义域为[t，t+1]，求函数f（x）在定义域内的最值.

变式3：已知x2≤1，且a-2≥0，求函数f（x）=x2+ax+3的最值.

变式4：已知函数f（x）=-x（x-a），求x∈[-1，a]上的最大值.

分析：（1）例题非常简单，没有定义区间的要求，只需要将其化为顶点式，即可以求出其最大值；（2）变式1在例题的基础上，增加了定义区间这一条件，分析定义区间与对称轴的关系既可以求出其最值；（3）变式2将变式1中明确的定义区间以参数代替，这样在例题讲解时，数学教师需要分析对称轴与参数之间的位置关系，并依据位置关系确定其在定义区间的最值，在此过程中引入了分类讨论的思想，帮助学生在分析问题时更为条理化；（4）变式3给出了定义区间，但是对称轴中含有参数，仍然需要讨论定义区间与对称轴之间的关系，与变式2稍有区别的是变式2是围绕定义区间进行分类讨论，而变式3是围绕对称轴进行分类讨论，两者虽然形式上有所区别，但是其思路本质却相同；（5）变式4中对称轴与定义区间均含有参数，所以分类讨论相对更为复杂，但是解题的思路却与变式2和变式3相同.

在例题和变式中，从开始的实数范围内的最值求解，到指定区间最值求解，再到对称轴或者定义区间存在参数的最值求解，最后到对称轴和定义区间都存在参数的最值求解，其难度逐渐加大，但是其最值求解的思路基本相同，教师通过逐层递进的方式进行讲解，既可以帮助学生掌握解题方法和技巧，又可以培养学生的分析思考能力.

[?] 注重习题练习时“一题多变”，提高学生学以致用的能力

虽然“一题多变”可以减少学生的作业量，但是对典型例题的练习仍然必不可少.这样既有利于学生通过练习巩固数学知识和解题技巧，培养学生的创新思维，又不会让学生产生枯燥之感，从而提高学生学以致用的能力，使学生即使在遇到新题时也不会轻言放弃，而敢于大胆进行尝试.高中学生在学习数列时，很多学生虽然记住了很多与数列有关的公式，但是在实际解题的时候仍然不知道应该怎么应用，其原因即为练习较少，片面地认为记住公式就可以顺利解题，结果却不尽如人意. 因此，高中数学教师需要以“一题多变”的方式布置练习题，提高学生学以致用的能力.

例3 在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.

变式1：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+n，求数列{an}的通项公式.

变式2：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式.

高一数学解题公式篇（3）

高中数学的数列问题解题方法思路灵活多样，其中包含递推思想、函数思想等许多数学思想和方法，因此，掌握和灵活运用数列问题的解题思路和技巧对提高数学思维能力有重要作用。笔者作为一名高中数学爱好者，结合高中数学学习实践，对数列问题的求解思路和方法进行总结，希望对数列部分的学习有所帮助。

一、运用化归的思想和方法求解数列问题

数列的通项公式、前n项和公式和数列知识应用是整个高中数列解题的核心问题。在数列问题的解题中，求通项公式对解决数列问题来说非常重要。其解题方法多种多样，其中许多数列问题可以用化归的思想方法，把问题转化成等差（比）数列问题进行解决，这样就能非常方便地进行求解。

例1.把数列问题转化成等差型数列an-an-1=f（n）形式求通项公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解题分析：对于此类等差型数列，常采用叠加法进行求解。

an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，an= 。

解题要点：用该方法求通项公式，一是叠加后等式左边能进行错项相消，二是等式右边要能容易求和。

例2.把数列问题转化成等比型数列 =f（n）形式求通项公式。

已知a1=1， = 求：通项公式an。

解题分析：对于等比型数列求通项公式，一般采用把若干等式的左右两边分别相乘的方法，即累乘方法来求通项公式。

= ， = ， = … = 。

把这些等式左右分别相乘可得： = ，an= 。

要求：运用累乘方法求通项公式，要求等式两边能够化简。

二、运用函数和方程的思想求解数列问题

运用函数的概念与性质对数列问题进行分析转化，从而使数列问题容易求解；运用方程的思想求解数列问题，就是从数列问题的数量关系出发，把数列问题转化成方程或不等式的形式来使问题得到解决。运用这两种方法求解数列问题，要注意挖掘问题中的隐含条件，建立函数解析式和方程式是其解题的重点。

例3.有等差数列an，其前n项之和是Sn，a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范围；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并讲出原因。

解题分析：（1）在本题中利用方程（不等式）的思想就比较容易求解问题，通过利用通项公式an和前n项和公式Sn来构建不等式就能方便求出公差的范围。（2）对于在数列问题中求前n项和的最大值问题，利用函数的思想和方法，把Sn的表达式转化成二次函数，这样问题就变成求函数的最值问题，此题就容易解

决了。

解题思路：（1）a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d0156+52d

（2）求Sn的函数表达式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，d

对于本题还可以换另一种思路来求解，即通过求出an>0，an+1a3>…>a13，根据S13=13a70，可得出S6的值最大。

三、运用数学归纳法求解数列问题

数学归纳法也是求解数列问题的常用基本方法之一，运用归纳法其关键是要证明n=k+1时命题成立，该方法也是由递推来进行归纳的解题方法。

例4.假设有an= + + +…+ ，n∈N

证明： n（n+1）

解题分析：此题和自然数n相关，可运用数学归纳法求解证明。当n=1容易求证，重点在于求n=k+1时，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再与所证明的结论进行比较来求解。根据归纳法的步骤，其求解思路如下：

当n=1时，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，n=1时结论成立。

假设n=k时结论成立，即有， k（k+1）

当n=k+1时，只要证明下式成立即可：

k（k+1）+

可先证明结论左边式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再证明结论右边式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

解题思路要点：本题在解题中适当运用了缩放法，即分别将 缩小成了k+1和将 放大成了k+ ，这两步的放与缩是证明结论成立的关键步骤，如何缩与放要与结论进行比较后确定，但要按照适当的原则进行缩与放。

总之，在数列问题的解题中思路方法比较多，只要灵活运用各种解题的思路和方法就能高效快速地求解数列问题。

高一数学解题公式篇（4）

一、高考中的数列知识

1、高考中常见的数列知识点：①数列②等差数列③等比数列④数学归纳法⑤数列极限

2、新旧教材的比较

新课标高考大纲（以下简称新大纲）与旧大纲相比较，对数列的要求有了以下变化：旧大纲要求理解数列的概念，新大纲只要求通过具体实例了解概念，难度有所降低，但更重视实用性；旧大纲突出数列通项公式的地位，而新大纲是把它视为与列表表示和图像表示相同的地位的数列表示方法；新大纲要求把数列作为一种函数来了解，说明函数思想在解决一些数列问题中的重要作用；对于等差数列、等比数列的应用，旧大纲只要求能够解决简单问题，而新大纲则要求能解决相应的问题，显示了在应用方面的能力要求有所加强；新大纲明确提出了等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，显示新课程要求学生能够在多种数学思想间相互渗透和转化。

二、高考数列知识的复习策略

1、基础知识复习策略

（1）在数列概念中，n的值具有一般性和特殊性的双重含义，因此，复习中要重点关注“第n项”与“有n项”、“含n的项”与通项之间区别，努力提高学生的观察识别能力和归纳转化能力。

（2）通项公式与递推公式是反映数列结构特征的重要数量关系，在复习中要重视以下练习：利用数量结构归纳数列的通项公式；用递推公式演绎或归纳通项公

式。

（3）等差数列和等比数列是两个特殊的数列，也是高考考查数列的重点内容。由于它们都有着严格的递推式定义格式，复习时要着重从递推关系来把握这两种数列的特殊结构，从本质上认识数列的数量关系并准确的识别；复习中要重视公式及等差(等比)中项公式的应用，加强基本运算的练习；重视两种数列的转化变形，通过特定的数量关系如通项公式及前n项和公式等组成的综合问题，锻炼学生的理解、分析能力。

2、植根于课本，突出基础

高考中数列主要考查的都是等比数列和等差数列的定义、通项公式和数列求和等基础知识，特别强调基本概念的辨析和两种数列的“知三求二”。针对以上特点，在高考复习中要指导学生做好基础训练，重视细节，例如像q≠0,q=1与q≠1的讨论等，同时留心研究和开发课本上的练习题，那么在高考试题中就不会出现令人意外的超纲题了。

3、注重方法，加强变式训练

很多学生在高考复习中由于方法不当，往往采用题海战术，做了海量的练习，但是收效却并不明显。分析原因主要是因为，在做题的时候学生的注意力都集中在对结果的获得，而没有重视解题的方法和解题过程中的思想。这样在遇到一些老题的变型，就仿佛又是面对一道新题，没有思路，也浪费时间。因此在复习中，要强调常规题型的示范功能，在复习中明确“万变不离其宗”的道理，要求学生能够熟练掌握解决数列题的基本方法与技巧，注重题与题之间的差别与联系，特别是教材中等差、等比公式的推导方法与运算技巧在解题中的应用。这样才能减轻题海战术对学生的负担，真正实现“减负高效”。

4、在公式推导中重视一题多解

学好数列，必须熟练运用公式。很多学生只是对公式死记硬背，而忽视了公式的推导过程。殊不知公式的推导过程就是数学理念中最基础的解题方法和技巧。若我们能够在重视公式推导过程的同时，渗透一题多解的方法，将更有利于学生掌握数列的解题规律，对公式的记忆也将更扎实深刻。

高一数学解题公式篇（5）

2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨. 笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.

（2014・新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：

[?] 对本题第（Ⅰ）问的思考

首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度. 所以，第（Ⅰ）问不存在“超标” 的说法. 其次，再从教材的角度来看，第（Ⅰ）问的题目原型是普通高中数学课程标准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移项得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比数列. 由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.

本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材――人教版高中数学代数下册的复习参考题：“已知an+1=b，

c・an+d，求数列的前4项及其通项公式.”

对于问题（Ⅰ），其解题起点在于对递推关系式an=3an-1+1的观察，与an=3an-1相比，多了一个常数项1，而an=3an-1是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向――构造以公比为3的等比数列.

数学归纳法的证明过程在此不再赘述.

对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.

以上三种方法比较，显然参考答案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.

[?] 对2014高考新课标卷二17题的第（Ⅱ）问的思考

这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看. 笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.

放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题. 那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远. 基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.

评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++…+=++…+

上述解题思路当中有两个关键点，第一：向等比数列转化，第二，运用“主体部分拆分法”，拆出主体部分等比数列后，对其剩余部分实施放缩.

受此触动，笔者尝试将上述结论适当推广.

既然可以放大，能否考虑缩小呢？

高一数学解题公式篇（6）

中图分类号:G633．6 文献标识码:A 文章编号:2095－4379－(2016)01－0284－02

一、引言

随着教学模式的不断进步，在高中数学中也不断涌现出全新的教学模式。问题解决教学模式是通过解决学生难以解决的数学问题，达到针对性的教学效果，帮助学生更好的理解高中数学知识。在我国的高中数学教学过程中，由于高中数学知识纷繁复杂，难度较大，学生在学习的过程中都会感受到沮丧的情绪，针对学生在学习过程中遇到的难题，教师要采用问题解决式的教学模式来进行教学。以下主要论述了在高中函数的教学中如何使用问题解决式的教学模式。

二、函数概念教学中的问题解决式教学方式

在高中数学的函数教学当中，函数概念的学习是其他函数知识学习的基础和前提。因此高中数学教师在开展函数教学时，要注意对学生函数基础的教学。具体来说，在高中数学函数基础的教学中，主要是要让学生明确“是什么?”这一问题。在高中数学教师开展数学函数知识的概念教学中，应该让学生适当的总结在函数概念课程当中经常出现的问题，从这些问题的解题方法和思路进行讲解，让学生对自己所学到的函数基础概念知识进总结和运用，也便于学生在今后探索更加高深的函数解题思路和方法。一般来说，函数基础概念课程上所提出的问题包含了以下几个方面:其一是关于函数概念的内涵内容;其二是考察了函数概念的外延内容;其三则是要求学生运用函数概念进行问题的判别。在具体的教学实例当中可以分为以下几个步骤开展问题解决式教学模式。首先是高中数学教师可以在课堂上将之前关于函数的知识提出来，让学生再次回归和复习关于一次函数和二次函数的定义和基础内容。然后教师就可以在课堂上引入相关教学问题，比如让学生观察等式:y=x，y=x2，y=x3，学生分别对其进行回答，为一次函数或者正比例函数、二次函数和三次函数。然后让同学们观察y=x2，y=x－1，以上两个函数分别是哪种类型的函数。然后将上述讲解的五个函数结合在一起，让学生共同观察其中的特征并且让学生对其进行讨论。最终由教师将其中的特征进行引导表达出其中的共同点即:幂的底数是自变量，指数则是常数，并在最后引入幂函数的定义:一般的，类似y=xα(α∈R)的函数都被称之为幂函数，其中，α为常数。其次就是对函数概念的讲解，在这部分教学内容当中，教师可以将自己任务概念中容易出现混淆的地方特别讲解UC胡来，然后让学生提出需要注意和忽略的地方，教师再进行概念上的补充讲解，帮助学生更好的理解函数知识的基本概念。

三、函数定理或公式中问题解决式的教学

在高中数学的函数教学当中，概念是其基础，而定理和公式则是内容的核心。在高中函数知识当中，定理和公式都占据了重要的地位。在函数知识当中尤其是三角函数的部分，有许多需要学生进行记忆的公式。学生只有记忆下这些需要明确的公式和定理，才能在学习当中遇到函数类型的题目时运用相关的定理和公式去解决问题。因此，高中数学教师在教授函数定理的内容时需要格外注意以下几点:首先是要让学生充分的熟悉和了解函数知识当中的公式和定理，让学生掌握公式定理的适用范围、使用时机等;其次是要让学生明确该项公式和定理的推导过程和思路，让学生体会其中的解题思维;然后是要让学生了解定理公式之间的联系并且记忆下来，教师要在其中充分发挥自己的教学引导作用，让学生根据其中的联系来进行记忆，为今后的解题打下良好的基础;最终是要总结公式和定理的解题技巧，这方面需要教师通过大量的实际例题来进行讲解，帮助学生积累这方面的知识。在实际的教学实例当中，如下图图1－1所示，首先在单位圆当中，作出∠α，然后以逆时针方向在∠α上作∠β，以顺时针方向在∠α下做∠β，那么∠AOC=α+β，∠BOD=α+β。当A的坐标为(1，0)，B的坐标为(cosα，sinα)，C的坐标为(cos(α+β)，sin(α+β))，D的坐标(cosβ，－sinβ)。得到:#AC#=#BD#解:√［cos(α+β)－1］2+sin2(α+β)=√(cosα－cosβ)2+(sinα+sinβ)2那么:cos(α－β)=cosαcosβ－sinαsinβ利用该式子，将其中的β替换成－β;通过一系列的推理，可以得到六个公式。证明了两角和的余弦公式是高中三角函数当中的核心内容。

四、函数课程中问题的问题解决式教学

在函数问题的解决教学当中，高中数学教师首先应该做到的是营造良好的学习氛围，让学生能够在轻松活跃的环境中完成学习;其次是要创设良好的学习情境，让学生根据教师所设置的问题，对数学函数知识进探究;然后要做到的是教师要对学生进行鼓励，让学生创造更多解题的方法和思路;最后是要教师和学生一起来进行探讨，归纳函数问题解决方法的中心，将其概括成为一般定理。在具体的教学案例中，高中数学教师可以将多媒体信息技术运用到其中。例如在解决关于圆和直线联系的问题方面，教师就可以通过多媒体技术来制作一个会动的圆(见下图)，让其在直线上运用并且归纳出其中的轨迹。通过这样的教学方式能够让学生更加直观和例题的了解圆中的轨迹问题。

五、结论

问题解决式教学方法能够从学生难以解决的问题入手，帮助学生体会和学习其中的知识内涵，达到深入探究高中数学知识的成效。以上主要是通过高中数学的函数教学知识来展示了具体的教学实例，说明了高中数学的教学过程中该如何利用问题解决式教学方法来开展教学活动。也希望能够为今后高中数学开发更多教学方式提供参考经验。

［参考文献］

［1］马文杰．高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究［D］．华东师范大学，2014，11:21－26．

［2］任兴发．化归思想在高中函数教学中的应用研究［D］．内蒙古师范大学，2013，12:45－49．

高一数学解题公式篇（7）

高考是全国普通高等院校统一招生考试的简称,是一种竞争、选拔性的考试。作为我国高中教学的唯一评价标准,它关系到社会的方方面面。数学是高考的主要考试科目,数学试题又是高考中数学科目的关键,因此高考中的数学试题也是值得注意的方面。

数列在整个高中数学教学内容中,处于数学知识和教学方法的汇合点。与高中的许多知识,如方程、不等式、函数、解析几何、三角函数等,都有着密切的联系。在数列的题目中,这些知识点都能充分运用。因此数列部分在我国高考数学这一科目中占有重要地位。

对2009年全国高考的18份数学理科试卷:全国卷Ⅰ,全国卷Ⅱ,北京卷,湖北卷,陕西卷,四川卷,安徽卷,福建卷,辽宁卷,江苏卷,山东卷,广东卷,浙江卷,天津卷,江西卷,重庆卷,湖南卷,宁夏、海南卷的比较分析,均有数列这部分内容的试题。对其中的考查题型与命题知识点的分析如下。

一、考查题型比较

高考数学考试的题型有三种:选择题、填空题和简答题。其中填空题和选择题都属于提供型试题。选择题与填空题在数学考试中每道题的分值在5分左右,而简答题的分值一般都在10分以上。

所研究的18套2009年高考试卷,都涉及了数列内容的试题。而且其中在11份试卷中,数列部分的内容被列为简答题,在这11份试卷中有7份试卷,除了将数列的题目列为简答题外,也将其知识点放在填空或选择题中考查,数列知识点在卷面上的分值都在12分以上。只有5份试卷对数列知识的评价分值放在5分左右,只将其作为填空题或者选择题。有两份试卷对这部分内容既作为选择题又作为填空题来考查,分值都在10分左右。

通过比较发现,全国卷的两套试题和安徽卷、江苏卷、江西卷、广东卷、重庆卷对数列部分的试题分值都达到了15分以上,考查的内容均为综合性的知识,大多涉及数列通项公式的推导和数列与函数知识点、数列与不等式知识点的结合。而北京卷、陕西卷、福建卷、浙江卷这几套高考试题对数列的试题分值较小,只有5分左右,而且以考查基本知识点为主。

二、考查的知识点

从考查的知识点来说,高考在考查数列部分内容过程中主要有以下几个主要的知识点。

1.等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用,以及它们之间的关系。

如2009年浙江卷填空题第11题。

这道题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式,以及它们之间的关系。在历年的考试题中,对等差、等比数列的基本概念、性质、通项公式、前n项和,以及通项公式与前n项和之间关系的题目屡见不鲜。不仅在填空选择题,还在简答题中也作为基本题型出现。

2.数列的求和问题,递推数列问题,数列应用问题。

如2009年湖北卷简答题第19题。

这道题主要考查数列的通项公式、等差数列的定义、数列求和、数学归纳法等基础知识和基本技能,考查学生分析问题的能力和推理论证的能力。解决此类问题要熟练数列等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式,也要掌握常用的通项公式及前n项和的求法,如错位相减法,拆项法等。这种题目主要是数列知识点的综合运用。

3.数列与其它知识点的综合问题。

如:2009年广东卷第21题是一道考查函数、数列、不等式的综合题目。

这道高考题以数列知识为基础,分别考查了数列的递推关系、数列的通项公式、不等式的放缩等内容,是函数、数列、不等式的综合题目,还能够考查学生的抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力和创新意识。

在对数列这部分高考试题的研究,我们不难发现数列内容命题的多元化。这些题目也反映出了我国高考数学命题的方方面面。

三、总结与反思

1.总结

通过对2009年不同数学试卷中数列部分命题研究,以及对数列试题的异同分析,我们不难得出以下结论。

(1)单纯基础知识点的试题较少,学生能力的考查较多。

在这18份数学高考试卷中,就数列这部分内容来看,单纯考查学生数列的基本概念、性质、通项公式的题目很少,大部分的试题是数列知识的综合运用、学生的归纳推理能力,以及数列知识与其它数学知识的综合运用。

“过去多年的改革基本上是在科目设置上,科目多少上做文章,没有去触动影响高中学生能力和素质的关键――高考的内容,把高考内容作为改革的重点是新一轮高考改革的关键”。[1]而这里所说的高考内容就是高考试题。数列试题的命题现在已经重视考查学生的数学能力及数学思想方法。

(2)高中课程改革对高考数列试题的影响。

高中课程改革与高考改革是当前教育改革的两大热点问题,高考的命题关系到新课程改革的实施与高校人才的选拔。作为高中课程改革的一部分,高考命题也充分反映了高中新课程标准的要求。“数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型”,“学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用他们解决一些实际问题”。[2]

各地的高考卷中,数列这部分的命题表现出了题目新颖,提供了新的信息、新的材料,从不同的角度对数列的知识点进行考查,通过与不等式、方程、函数、解析几何等知识点融合起来,引导学生从不同的角度思考数列的模型。

2.2009年高考试题对2010年高考的启示

2010年普通高校招生全国统一大纲――数学(理)(必修+选修Ⅱ)中对数列这部分的考试要求为:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。大纲中还强调了数学能力、数学思想方法、数学意识等方面提出了考查要求。从2009年各种数学试卷对数列命题可以看出,2010年的试卷中仍然不会单独地考查单独的数列知识点,仍然会以数列的综合题型或与解析几何、函数、不等式等知识点结合起来。因此,学生学习数列的过程中,应运用数列的思想,通过类比归纳,将数列的通项公式之间的关系和数列与其它数学知识点之间的关系结合起来,真正认识数列的本质。

参考文献:

高一数学解题公式篇（8）

一、高考数学数列中的考点分析

虽然数列在《教学大纲》中只有12课时,但在高考中,数列内容却占有重要的地位。高考对数列的考试要求是:①理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。②理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。③理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。

由上述考试要求,我们知道,数列内容的考试试题,应以等差数列和等比数列的相关概念、通项公式、前n项和公式为主线,以数列的其他内容如通项与前n项和公式的关系、递推数列等相关内容为辅助。但从高考新大纲的变化来看,加入了利用递推公式进行数列的相关问题的证明,考察由递归数列派生出来的新的等差或等比数列的相关问题。

二、复习建议

1.加大等差、等比数列通项公式、求和公式的训练力度。

在等差、等比数列的训练中,让学生回到首项和公差(或公比)中去,无疑是非常本色的方法。

例1:如在等差数列{an}中,点(a3+a5+a4+a5+a6)在直线y=2x+1 上,则该数列的首项a1=。

(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2.(答:B)

对于这道试题,采用下标规律而不能自拔者受阻了,回到首项和公差中去的学生(不见得是数学成绩好的学生)轻易解出来了。

例2:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2 =74,S3 =111,则S5=。(答:185)

对于这道试题,只记住死结论:在等比数列中, Sn,S2n -Sn ,S3n -.S2n 成等比数列的学生不知从何下手,机械地应用公式Sn=的学生在算出q=1(q=-)( 舍去)后,又发现代入上述公式不成立,只有知道讨论使用等比数列的求和公式的学生才能得到正确的答案。

通过以上两个例子,我们认为,对于数列通项公式和求和公式的训练,应尽量让学生能反复使用最原始的公式,并注意使公式成立的环境,让学生训练到求一般等差数列和等比数列的通项公式前项和公式变得轻松自然为止。

2.加强数列问题的运算训练,教会学生必要的运算检验方法。

高考数学中运算问题,历来令我们在高考一线的教师们头痛,而数列的运算,则将学生的运算水平低下暴露得非常具体。

运算训练从哪里入手?这里有几点建议:①进行单一公式运用的反复训练,特别是针对经过前一阶段检测发现学生普遍应用不过关的公式(如等比数列的前n项和公式)进行相应的训练。②对数列问题的通性通法进行反复训练,使方法的牢固掌握和运算能力的提高同步进行。③对同一方法进行变式训练,一直练到学生运算结论准确为止。

3.有计划地对学生进行数列综合问题的综合运算训练,提高学生的综合运算能力。

4.加强数列证明问题(或与之相关的题型)的训练,此类问题也是学生的一个薄弱环节。

例3.在数列{an}中,an+1=3an+2n +4 且a2= 6

(1)求a1; (2)求证数列{an+2n +2}是等比数列,并求an。

怎样证明数列{an}是等比(或等差)数列?证明(或an+1 -an)是一个与n无关的常数即可。这么浅显的道理,怎么会有大量的学生不知从何下手?原因还是我们的训练力度不够。

对于上述问题,可进行如下变式训练:

1.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n-2,证明数列{an+2n}是等比数列,并求an。

2. 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1+3,证明数列{}是等差数列,并求出数列{an}的前n项和。

高一数学解题公式篇（9）

在数学的学习中，解题的过程能让学习数学变得更加生动精彩，通过数学解题，可以使学生获得数学知识和进一步生活所必需的基础知识和基本技能.近年来，在初等数学的考试中题目越来越灵活，特别是在中考，高考等选拔性考试中，不仅注重学生对基础知识的掌握，而且越来越重视学生对知识的灵活运用，在解题时对有些题目采取正确的解题技巧，作出适当的变形，可以使解题过程充满趣味同时提高解题效率.

一、一元二次方程的变形技巧

在一元二次方程的求解过程中或者是在解可化为一元二次方程的分式方程时，常常会通过适当的式求的方程的解.变形使问题简化.

二、三角函数化简的变形技巧

三角函数的化简就是对三角函数的恒等变形，使之成为最简形式.而化简的最重要策略就是进行三角恒等变形，三角函数式的恒等变形中包含的公式多，涉及的知识面广，题型变化大，若探索不出解题规律，就会无从下手.克服方法有：（1）要能灵活的运用公式，熟记三角公式，深刻领会公式的实质，弄清公式的来龙去脉，不但会顺用公式，而且能逆用公式，掌握公式的各种变形情况及派生公式，还要明确各类公式的主要作用；（2）要能掌握三角变换的基本规律，如化复为单，化不同角为同角，化异名为同名，化高次为低次，化多项为单项等；（3）要注意代数式恒等变形法则的作用，如乘法公式、因式分解、分式运算、根式运算、配方等.

三、代数中的变形技巧

代数学习在中学数学学习中及其重要，在代数学习中，掌握好变形技巧能够使我们更好的明确解题方向，简化问题.代数中常见的变形有对数变形，指数变形等等.

1.指数的变形技巧

高一数学解题公式篇（10）

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）14-187-01

等差数列是高中新课程标准数学必修⑤中的一个重要内容之一，也是每年高考的重点考查内容之一，学生在学习这一内容时并不感到有特别困难，因为等差数列的定义、通项公式、前项和公式都是比较易懂易记的，但是在解决有关等列数列的具体一些问题时，很多学生往往不能得心应手，甚至感到力不从心，觉得束手无策，无从下手。究其原因，就是对等差数列的定义、通项公式、前项公式没有进一步深入的研究，缺乏透彻理解，只是一知半解。下面通过对一道课本例题的再思考，简要谈谈如何理解等差数列的概念、公式、性质，和怎样运用它们去解决有关具体问题。

这道例题是：已知一个等差数列前10项和是310，前20项的和是1220，由这些条件确定这个等差数列的前项和公式吗？

这是一道探究性的问题。课本给出的解法是：

设的首项为，公差为，由题设条件及等差数列的前项和公式，得方程组

解之得

于是

这种解法思路自然，顺畅，抓住了等差数列的两个基本量和，整个解题过程只涉及到等差数列最基本的求和公式。记忆方面没有任何障碍，而且一旦求出了和后，与之有关的问题就能迎刃而解，是学生学完了等差数列后必须熟练掌握的一种最基本的方法，也是教学的重点，也是每年高考的要求，但是，在解方程组时有较大的运算量，让人感到美中不足。

那么是否有别的办法和途经可以解决运算量比较大这一问题呢？

根据等差数列的前项和公式再整理之后就可以得到，即公差不为0的等差数列前项和公式的表达式是关于的无常数项的二次式，于是可设为，由题设条件有

容易解得

所以

这种解法从理性的高度观察分析等差数列的前项和公式的结构特征，这里我们得到一个启示，教学时不只是引导学生去观察分析思考弄清概念公式的内涵和外延，还要注意启发学生对公式的结构特征的思考，这一点也是相当重要的，因为这样才能透彻理解概念，熟练掌握公式，灵活运用它们解决有关问题，逐步提高思维水平和解题能力。因此，以上这种解法是课本给出的解法的一种优化，这是我们熟练掌握等差数列的前项和公式的体现。

至此，我们不要满足以上两种解法，而应当寻找是否还有更好更简捷的思路。

由解法二可以知道，对公差不为0的等差数列，其前项和公式的表达式是关于的无常数项的二次式，那么必为关于的一次式，故新数列也是一个等差数列，其图象是位于一条直线上的各点，那么，，三点共线，于是有